高等代數(shù)北大版教案-第8章λ-矩陣

1、第八章 -矩陣本章主要介紹-矩陣及其性質(zhì)，并用這些性質(zhì)證明若當標準形的主要定理。§1 -矩陣如果一個矩陣的元素是的多項式，即的元素，這個矩陣就稱為-矩陣。為了與-矩陣相區(qū)別，我們把以數(shù)域P中的數(shù)為元素的矩陣稱為數(shù)字矩陣。由于數(shù)域中的數(shù)也是中的元素，所以在-矩陣中包括以數(shù)為元素的矩陣，即數(shù)字矩陣為-矩陣的一個特殊情形。同樣可以定義一個-矩陣的行列式，既然有行列式，也就有-矩陣的子式的概念。利用這個概念。我們有定義1 如果-矩陣中有一個級子獅不為零。而所有級子式（如果有的話）全為零，則稱的秩為，零矩陣的秩規(guī)定為零。定義2 一個的-矩陣稱為可逆的，如果有一個的-矩陣使 = （1）這里是級單

2、位矩陣。適合（1）的矩陣（它是唯一的）稱為的逆矩陣，記為關(guān)于-矩陣可逆的條件有定理1 一個的-矩陣是可逆的充分必要條件為行列式是一個非零的數(shù)。§2 -矩陣在初等變換下的標準形-矩陣也有初等變換。定義3 下面的三種變換叫做-矩陣的初等變換：（1）矩陣的兩行（列）互換位置；（2）矩陣的某一行（列）乘以非零的常數(shù)；（3）矩陣的某一行（列）加另一行（列）的倍，是一個多項式。初等變換都是可逆的，并且有。為了寫起來方便起見，我們采用以下的記號：代表行（列）互換位置；代表用非零的數(shù)去乘行（列）；代表把行（列）的倍加到行（列）。定義4 -矩陣稱為與等價，如果可以經(jīng)過一系列初等變換將化為。等價是-矩陣

3、之間的一種關(guān)系，這個關(guān)系，顯然具有下列三個性質(zhì)：（1） 反身性：每一個-矩陣與自己等價。（2） 對稱性：若與等價，則與等價。這是由于初等變換具有可逆性的緣故。（3） 傳遞性：若與等價，與等價，則與等價，引理 設(shè)-矩陣的左上角，并且中至少有一個元素不能被它除盡，那么一定可以找到一個與等價的矩陣，它的左上角元素也不為零，但是次數(shù)比的次數(shù)低。定理2 任意一個非零的的-矩陣都等價與下列形式的矩陣 最后化成的這個矩陣稱為的標準形。例 用初等變換化-矩陣§3 不變因子現(xiàn)在來證明，-矩陣的標準形是唯一的。為此，我們引入定義5 設(shè)-矩陣的秩為，對于正整數(shù)，中必有非零的級子式。中全部級子式的首項系數(shù)為

4、1的最大公因式稱為的級行列式因子。由定義可知，對于秩為的-矩陣，行列式因子一共有個。行列式因子的意義就在于，它在初等變換下是不變的。定理3 等價的-矩陣具有相同的秩與相同的各級行列式因子現(xiàn)在來計算標準形矩陣的行列式因子。設(shè)標準形為其中，是首項系數(shù)為1的多項式，且。不難證明，在這種形式的矩陣中，如果一個級子式包含的行與列的標號不完全相同，那么這個級子式一定為零。因此，為了計算級行列式因子，只要看由列組成的級子式就行了，而這個級子式等于顯然，這種級子式的最大公因式就是。定理4 -矩陣的標準形是唯一的。定義6 標準形的主對角線上非零元素稱為-矩陣的不變因子。定理5 兩個-矩陣等價的充分必要條件是它們

5、有相同的行列式因子，或者，它們有相同的不變因子。由(3)可以看出，在-矩陣的行列式之間，有關(guān)系 。 （4）在計算-矩陣的行列式因子時，常常是先計算高級的行列式因子。這樣，由（4）我們就大致有了低級行列式因子的范圍了。作為一個例子，我們來看可逆矩陣的標準形。設(shè)為一個可逆矩陣，由定理1知 其中是一非零常數(shù)。這就是說，。于是由（4）可知， 。因此，可逆矩陣的標準形是單位矩陣。反過來，與單位矩陣等價的矩陣一定是可逆的，因為它的行列式是一個非零的數(shù)。這就是說，矩陣可逆的充分必要條件是它與單位矩陣等價。又矩陣與等價的充分必要條件是有一系列初等矩陣，使得=。特別地，當=時，就得到定理6 矩陣是可逆的充分必要

6、條件是它可以表成一些初等矩陣的乘積。由此又得到矩陣等價的另一條件推論 兩個的-矩陣與等價的充分必要條件為，有一個可逆矩陣與一個可逆矩陣，使 =。§4 矩陣相似的條件在求一個數(shù)字矩陣的特征值和特征向量時曾出現(xiàn)過-矩陣，我們稱它為的特征矩陣。這一節(jié)的主要結(jié)果是證明兩個數(shù)字矩陣和相似的充分必要條件是它們的特征矩陣和等價。引理1 如果數(shù)字矩陣，使=（） （1）則與相似。引理2 對于任何不為零的數(shù)字矩陣和-矩陣與，一定存在-矩陣與以及數(shù)字矩陣和使 =（）+， （2） =（）+。 （3）定理7 設(shè)，是數(shù)域上兩個矩陣。與相似的充分必要條件是它們的特征矩陣和等價。矩陣的特征值的不變因子以后就簡稱為的

7、不變因子。因為兩個-矩陣等價的充分必要條件是它們有相同的不變因子，所以定理7即得推論 矩陣與相似的充分必要條件是它們有相同的不變因子。應(yīng)該指出，矩陣的特征矩陣的秩一定是。因此，矩陣的不變因子總是有個，并且，它們的乘積就等于這個矩陣的特征多項式。以上結(jié)果說明，不變因子是矩陣的相似不變量，因此我們可以把一個線性變換的任一矩陣的不變因子（它們與該矩陣的選取無關(guān)）定義為此線性變換的不變因子。§5 初等因子這一節(jié)與下一節(jié)中我們假定討論中的數(shù)域是復(fù)數(shù)域。上面已經(jīng)看到，不變因子是矩陣的相似不變量。為了得到若當標準形，再引入定義7 把矩陣（或線性變換）的每個次數(shù)大于零的不變因子分解成互不相同的一次因

8、式方冪的乘積，所有這些一次因式方冪（相同的必須按出現(xiàn)的次數(shù)計算）稱為矩陣（或線性變換）的初等因子。例 設(shè)12級矩陣的不變因子是1， 1（9個），。按定義，它的初等因子有7個，即 ，。其中出現(xiàn)三次，出現(xiàn)二次?，F(xiàn)在進一步來說明不變因子和初等因子的關(guān)系。首先，假設(shè)級矩陣的不變因子，為已知。將分解成互不相同的一次因式方冪的乘積： =， =， =，則其中對應(yīng)于的那些方冪 就是的全部初等因子。我們注意不變因子有一個除盡一個的性質(zhì)，即 ，從而 。因此，在，的分解式中，屬于同一個一次因式的方冪的指數(shù)有遞升的性質(zhì)，即 。這說明，同一個一次因式的方冪作成的初等因子中，方次最高的必定出現(xiàn)在的分解中，方次次高的必定出

9、現(xiàn)在的分解中。如此順推下去，可知屬于同一個一次因式的方冪的初等因子在不變因子的分解式中出現(xiàn)的位置是唯一確定的。上面的分析給了我們一個如何從初等因子和矩陣的級數(shù)唯一地作出不變因子的方法。設(shè)一個級矩陣的全部初等因子為已知，在全部初等因子中將同一個一次因式 的方冪的那些初等因子按降冪排列，而且當這些初等因子的個數(shù)不足時，就在后面補上適當個數(shù)的1，使得湊成個。設(shè)所得排列為 ， 。于是令 則，就是的不變因子。這也說明了這樣一個事實：如果兩個同級的數(shù)字矩陣有相同的初等因子，則它們就有相同的不變因子，因而它們相似。反之，如果兩個矩陣相似，則它們有相同的不變因子，因而它們有相同的初等因子。綜上所述，即得定理8

10、 兩個同級矩陣相似的充分必要條件是它們有相同的初等因子。引理 設(shè) = =如果多項式，都與，互素，則與等價。下面的定理給了我們一個求初等因子的方法，它不必事先知道不變因子。定理9 首先用初等變換化特征矩陣為對角形式，然后將主對角線上的元素分解成互不相同的一次因式的乘積，則所有這些一次因式的方冪（相同的按出現(xiàn)的次數(shù)計算）就是的全部初等因子。§6 若當(Jordan)標準形的理論推導(dǎo)我們用初等因子的理論來解決若當標準形的計算問題。首先計算若當標準形的初等因子。不難算出若當塊 的初等因子是。事實上，考慮它的特征矩陣 。顯然=，這就是的級行列式因子。由于有一個級子式是,所以它的級行列式因子是1

11、，從而它以下各級的行列式因子全是1。因此，它的不變因子，。有此即得，。在利用§5的定理9，若當形矩陣的初等因子也很容易算出。設(shè) 是一個若當形矩陣，其中 既然的初等因子是所以與 與 等價。因此，全部初等因子是：，。這就是說，每個若當形矩陣的全部初等因子就是它的全部若當塊的初等因子構(gòu)成的，由于每個若當塊完全被它的級數(shù)與主對角線上元素所刻劃，而這兩個數(shù)都反映在它的初等因子中。因此，若當塊被它的初等因子唯一決定。由此可見，若當形矩陣除去其中若當塊排列次序外被它的初等因子唯一決定。定理10 每個級的復(fù)數(shù)矩陣都與一個若當形矩陣相似，這個若當形矩陣除去若當塊的排列次序外是被矩陣唯一決定的，它稱為的若當標準形例1 在第5節(jié)的例中，12級矩陣的若當標準形