高等代數(shù)期末復習試題

1、數(shù)學系高等代數(shù)期末考試試卷年級 專業(yè) 學號 姓名 注：考試時間120分鐘，試卷滿分100分 。題號一二三四五總分簽 名得分裝 訂 線一得 分閱卷教師一判斷題（正確的在題后的括號內打“”；錯誤的在題后的括號內打“”.每小題2分，共18分）1向量空間一定含有無窮多個向量. ( )2若向量空間的維數(shù),則沒有真子空間. ( )3. 維向量空間中由一個基到另一個基的過渡矩陣必為可逆矩陣. ( )4線性變換把線性無關的向量組映成線性無關的向量組. ( )5每一個線性變換都有本征值. ( )6若向量是線性變換的屬于本征值的本征向量，則由生成的子空間 為的不變子空間. ( )7保持向量間夾角不變的線性變換是正

2、交變換. ( ) 8兩個復二次型等價的充分必要條件是它們有相同的秩. ( )9. 若兩個階實對稱矩陣均正定,則它們的和也正定. ( )二得 分閱卷教師二單項選擇題（在每小題的四個備選答案中，選出一個正確的答案，并將其號碼填在題目的括號內.每小題2分，共10分）1. 下列命題不正確的是 ( ).A. 若向量組線性無關，則它的任意一部分向量所成的向量組也線性無關； B. 若向量組線性相關，則其中每一個向量都是其余向量的線性組合；C.若向量組線性無關，且每一可由向量 線性表示，則；D. 維向量空間的任意兩個基彼此等價. 2. 下列關于同構的命題中，錯誤的是( ).A向量空間的可逆線性變換是到的同構映

3、射；B數(shù)域上的維向量空間的全體線性變換所成向量空間與數(shù)域 上的所有階矩陣所成向量空間同構； C若是數(shù)域上向量空間到的同構映射，則是到的同構映射；D向量空間不能與它的某一個非平凡子空間同構.3階矩陣有個不同的特征根是與對角矩陣相似的 ( ). A充分而非必要條件； B必要而非充分條件； C充分必要條件； D. 既非充分也非必要條件4二次型 的矩陣是( ).A； B； C； D5.實二次型正定的充分且必要條件是 ( ).A； B秩為3； C合同于三階單位矩陣； D對某一有.三得 分閱卷教師三填空題（每小題2分，共10分，把答案填在題中橫線上）1. 復數(shù)域作為實數(shù)域上的向量空間，它的一個基是_.2.

4、 設是數(shù)域上元行空間，對任意，定義，則是一個線性變換，且的核的維數(shù)等于_.3. 若是一個正交矩陣，則的行列式=_.4. 在歐氏空間中向量與的夾角=_.5. 實數(shù)域上元二次型可分為_類，屬于同一類的二次型彼此等價，屬于不同類的二次型互不等價.四得 分閱卷教師四 計算題（每小題14分，共42分）1求齊次線性方程組的解空間的一個基，再進一步實施正交化，求出規(guī)范正交基2設,求的特征根及對應的特征向量.問是否可以對角化？若可以，則求一可逆矩陣，使為對角形.3 寫出3元二次型的矩陣試用非奇異的線性變換，將此二次型變?yōu)橹缓兞康钠椒巾?五得 分閱卷教師五證明題（每小題10分，共20分）1設為階矩陣的屬于不同

5、特征根，分別是的屬于的特征向量，證明不是的特征向量.2設是維歐氏空間的正交變換，且為單位變換，是關于的某一規(guī)范正交基的矩陣，證明為對稱矩陣數(shù)學系高等代數(shù)期末考試試卷（A卷）年級 專業(yè) 學號 姓名 注：考試時間120分鐘，試卷滿分100分 。題號一二三四五總分簽 名得分裝 訂 線一得 分閱卷教師一判斷題（正確的在題后的括號內打“”；錯誤的在題后的括號內打“”.每小題2分，共18分）1任意數(shù)域可以看成是它自身上的向量空間. ( )2歐氏空間的兩個子空間的并還是子空間 ( )3.一個向量組存在兩個極大無關組，它們所含向量的個數(shù)不相同. ( )4兩個向量空間之間的同構映射的逆映射還是同構映射. ( )

6、5若數(shù)域上的兩個階矩陣、相似，則、合同. ( )6任何一個階實對稱矩陣都相似且合同于一個實對角矩陣. ( )7兩個復二次型等價的充要條件是它們有相同的秩. ( )8向量空間的可逆線性變換的核是空集. ( )9兩個階正交矩陣、的和還是正交矩陣. ( )二得 分閱卷教師二單項選擇題（在每小題的四個備選答案中，選出一個正確的答案，并將其號碼填在題目的括號內.每小題2分，共10分）1. 下列命題正確的是 ( ) .A. 線性變換保持向量長度不變； B. 對稱變換保持向量的內積不變； C. 正交變換保持向量夾角不變； D. 線性變換保持向量的線性無關性. 2兩個n元實二次型等價的充要條件是( ) . A

7、它們的秩相等； B它們的慣性指標相等； C它們的符號差相同； D它們有相同的秩和符號差.3數(shù)域F上所有對稱矩陣的全體關于矩陣的加法及數(shù)乘所成的向量空間的維數(shù)是( ) . A.； B.； C.； D. .4. 向量空間中的下列變換，只有( )不是 的線性變換. A. ；B. ； C.； D.5設是一個階酉矩陣，則 ( ) . A. 的行列式等于； B. 的特征根的模為； C. 的行列式的模等于或； D. 的特征根為或.三得 分閱卷教師三填空題（每小題2分，共10分，把答案填在題中橫線上）1. 3元實二次型是正定的，則取值范圍為 .2. 設A是n階實對稱矩陣,則A為正定的充要條件是 .3. 向量空間中, 向量(1,2,3)在基(1,1,1),(0,1,1),(0,0，1)下的坐標為 . 4.設是數(shù)域F上向量空間的線性變換，是的子空間，則是的不變子空間的充分必要條件是 5.在歐氏空間中， 柯西-施瓦茨不等式成立，且等式成立：的充要條件是 四得 分閱卷教師五 計算題（每小題14分，共42分）1求齊次線性方程組的解空間的一個基，再進一步實施正交化，求出規(guī)范正交基2設,求的特征根及對應的特征向量.問是否可以對角化？若可以，則求一可逆矩陣，使為對角形.3 寫出3元二次型的矩陣試用非奇異的線性變換，將