專題2：待定系數(shù)法應(yīng)用探討

1、【2013年中考攻略】專題 2:待定系數(shù)法應(yīng)用探討在數(shù)學(xué)問題中，若得知所求結(jié)果具有某種確定的形式，則可設(shè)定一些尚待確定的系數(shù)（或參數(shù)）來表示這樣的結(jié)果，這些待確定的系數(shù)（或參數(shù)），稱作待定系數(shù)。然后根據(jù)已知條件，選用恰當(dāng)?shù)姆椒?，來確定這些系數(shù)，這種解決問題的方法叫待定系數(shù)法。待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中的基本方法之一。它滲透于初中數(shù)學(xué) 教材的各個部分，在全國各地中考中有著廣泛應(yīng)用。應(yīng)用待定系數(shù)法解題以多項(xiàng)式的恒等知識為理論基礎(chǔ)，通常有三種方法：比較系數(shù)法；代入特殊值法；消除待定系數(shù)法。比較系數(shù)法 通過比較等式兩端項(xiàng)的系數(shù)而得到方程（組），從而使問題獲解。例如：“已知x2 3=（ 1 A） x2+ Bx

2、+ C,求A , B, C的值”，解答此題，并不困難，只需將右式與左式的多項(xiàng)式中對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)加以比 較后，就可得到 A , B, C的值。這里的A , B , C就是有待于確定的系數(shù)。代入特殊值法 通過代入特殊值而得到方程（組），從而使問題獲解。例如： “點(diǎn)（2,- 3）在正比例函 數(shù)圖象上，求此正比例函數(shù)”，解答此題，只需設(shè)定正比例函數(shù)為y=kx，將（2, - 3）代入即可得到k的值，從而求得正比例函數(shù)解析式。這里的k就是有待于確定的系數(shù)。消除待定系數(shù)法 通過設(shè)定待定參數(shù)，把相關(guān)變量用它表示，代入所求，從而使問題獲解。例如：“已知b 2，求-_b的值”，解答此題，只需設(shè)定 - -=k，則a=

3、3k， b=2k，代入-b即可求解。這a 3 a ba3a b里的k就是消除的待定參數(shù)。應(yīng)用待定系數(shù)法解題的一般步驟是：（1）確定所求問題的待定系數(shù)，建立條件與結(jié)果含有待定的系數(shù)的恒等式；（2）根據(jù)恒等式列出含有待定的系數(shù)的方程（組）；（3）解方程（組）或消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決。在初中階段和中考中應(yīng)用待定系數(shù)法解題常常使用在代數(shù)式變型、分式求值、因式分解、求函數(shù)解析 式、求解規(guī)律性問題、幾何問題等方面。下面通過2011年和2012年全國各地中考的實(shí)例探討其應(yīng)用。一.待定系數(shù)法在代數(shù)式變型中的應(yīng)用：在應(yīng)用待定系數(shù)法解有關(guān)代數(shù)式變型的問題中，根據(jù)右式與左式多項(xiàng)式中對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等的原理列

4、出方程（組），解出方程（組）即可求得答案。典型例題：例：（2011云南玉溪3分）若x2 6x k是完全平方式，則 k=【】A . 9B9C. ±9D .出【答案】A。【考點(diǎn)】待定系數(shù)法思想的應(yīng)用?！痉治觥吭O(shè)X26xk= x+A 2 則 x2 6xk=x2 2Ax A2 ,A=3故選A。.2A=6k=9 °A2=k練習(xí)題：1. （ 2012江蘇南通3分）已知x2 + 16x + k是完全平方式，則常數(shù)k等于【】A . 64B. 48C. 32 .D. 162. （ 2012貴州黔東南4分）二次三項(xiàng)式x2- kx+9是一個完全平方式，則k的值是 。3. （ 2011江蘇連云港3

5、分）計(jì)算（x + 2） 2的結(jié)果為x 2+ < + 4,則"匚中的數(shù)為【】A . - 2B . 2C . - 4D . 44. （ 2011湖北荊州3分）將代數(shù)式x2 4x 1化成（x p）2 q的形式為【 】A. （x 2）23B. （x 2）24C. （x 2）25 D. （x 4）24二.待定系數(shù)法在分式求值中的應(yīng)用：在一類分式求值問題中，已知一比例式求另一分式的值，可設(shè)定待定參數(shù)，把相關(guān)變量用它表示，代入所求分式，從而使問題獲解。典型例題:例：（2012四川涼山4分）已知-5則b的值是【】a13，ab2394A .-B.C .D .3249【答案】D?！究键c(diǎn)】比例的性質(zhì)

6、?！痉治觥?b5設(shè)b 5k，則 b=5k,a ba=13k，把a(bǔ), b的值代入，得,a13a 13a ba b13k5k8k4。故選Doa b13k5k18k9練習(xí)題:1. （ 2012北京市5分）已知a = b230，求代數(shù)式5a 2b(a+2b)(a 2b)2 b）的值。oQK2（2011四川巴中3分）若2Tb 3，則b=三.待定系數(shù)法在因式分解中的應(yīng)用：在因式分解問題中，除正常應(yīng)用提取公因式法、應(yīng)用公式法、十字相乘法、分組分解法等解題外還可應(yīng)用待定系數(shù)法求解，特別對于三項(xiàng)以上多項(xiàng)式的分解有很大作用（如：x3 6x2+11x 6, 3x2 5xy 2y2 x 9y 4，目前這類考題很少，但

7、不失為一種有效的解題方法）。典型例題:例1 : （2012湖北黃石3分）分解因式:x2【答案】(x 1) (x+ 2)?！究键c(diǎn)】因式分解?！痉治觥吭O(shè)x2x2B=1，解得A B= 2A=B=21 或 A=2,B= 12=可2 :分【解因式：3x25xy2y2 x9y4。【答案】3x y4x 2y 1。【考點(diǎn)】因式分解軍?！痉治觥?3x25xy2y23x yx2y ,可設(shè)3x25xy2y2 x9y4 3x y ax 2yb ./ 3xy ai x2y b3x25xy 2y2a3b x(2ab)yab, 3x25xy2y2x 9y4 32 2>x5xy 2ya 3bx(2ab)y ab。1注：

8、本題實(shí)際用十字相乘法解題更容易，但作為一種解法介紹于此。a比較兩邊系數(shù),3b=1 b=9 。2aab= 4 聯(lián)立，得a=4, b= 1。代入式適合。3x2 5xy 2y2 3x y4 x 2y 1。練習(xí)題：1.（2012四川南充3分）分解因式：x2 4x 12 =2.（2012山東濰坊3分）分解因式：x34x2 12x=3.（2011貴州黔東南4分）分解因式:x2 2x 8_。四待定系數(shù)法在求函數(shù)解析式中的應(yīng)用：待定系數(shù)法是解決求函數(shù)解析式問題的常用方法，求函數(shù)解析式是初中階段待定系數(shù)法的一個主要用途。確定直線或曲線方程就是要確定方程中x的系數(shù)與常數(shù)，我們常常先設(shè)它們?yōu)槲粗獢?shù)，根據(jù)點(diǎn)在曲線上，

9、點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程的關(guān)系，將已知的條件代入方程，求出待定的系數(shù)與常數(shù)。這是平面解析幾何的重要內(nèi)容，是求曲線方程的有效方法。初中階段主要有正比k例函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)這幾類函數(shù)，前面三種分別可設(shè)y=kx，y=kx+b，y k的形式x(其中k、b為待定系數(shù)，且k豐0)。而二次函數(shù)可以根據(jù)題目所給條件的不同，設(shè)成一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a、b、c為待定系數(shù))，頂點(diǎn)式y(tǒng)=a (x h) 2+k(a、k、h為待定系數(shù))，交點(diǎn)式y(tǒng)=a (x xi)(x X2)( a、xi、X2為 待定系數(shù))三類形式。根據(jù)題意(可以是語句形式，也可以是圖象形式 )，確定出a、b、c、k、xi、x2等待定

10、系數(shù)，求出函數(shù)解析式。典型例題：例1: (2012江蘇南通3分)無論a取什么實(shí)數(shù)，點(diǎn) P(a 1, 2a 3)都在直線I上，Q(m, n)是直線I上的點(diǎn)，則(2m n + 3)2的值等于.【答案】16。【考點(diǎn)】待定系數(shù)法，直線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，求代數(shù)式的值?！痉治觥坑捎赼不論為何值此點(diǎn)均在直線 I上，令 a=0,則 P1 ( 1, 3);再令 a=1，則 P2 (0, 1)。設(shè)直線I的解析式為y=kx+b (20,3，解得直線I的解析式為：y=2x 1。/ Q (m, n)是直線 I 上的點(diǎn)， 2m 1=n，即 2m n=1。 (2m n + 3尸=(1+3)2=16。例2: (2012

11、山東聊城7分)如圖，直線 AB與x軸交于點(diǎn)A (1 , 0),與y軸交于點(diǎn)B (0, - 2).(1) 求直線AB的解析式；(2) 若直線AB上的點(diǎn)C在第一象限，且 Sboc=2，求點(diǎn)C的坐標(biāo).【答案】解：（1）設(shè)直線直線.kb=.直線AB的解析式為y=kx+b ,AB 過點(diǎn) A (1 , 0)、點(diǎn) B (0, - 2),b 0，解得k 2。2b= 2AB的解析式為2。（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x, y）,1 Smoc=2,?2?x=2,解得 x=2。2 y=2X2 - 2=2。點(diǎn)C的坐標(biāo)是（2, 2）?！究键c(diǎn)】待定系數(shù)法，直線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系?！痉治觥浚?）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b

12、，將點(diǎn)A（ 1，0）、點(diǎn)B（0，- 2）分別代入解析式即可組成 方程組，從而得到 AB的解析式。（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x, y）,根據(jù)三角形面積公式以及Saboc=2求出C的橫坐標(biāo)，再代入直線即可求出y的值，從而得到其坐標(biāo)。例3: （2012湖南岳陽8分）游泳池常需進(jìn)行換水清洗，圖中的折線表示的是游泳池?fù)Q水清洗過程排水-清洗-灌水”中水量y （m3）與時(shí)間t （min、之間的函數(shù)關(guān)系式.（1） 根據(jù)圖中提供的信息，求整個換水清洗過程水量y （m3、與時(shí)間t （min、的函數(shù)解析式；（2）問：排水、清洗、灌水各花多少時(shí)間？【答案】解：（1、排水階段：設(shè)解析式為： y=kt+b ,圖象經(jīng)過（0,

13、1500）, （ 25, 1000）,b=150025k+b=1000，解得:k= 20b=1500排水階段解析式為:y= - 20t+1500。清洗階段：y=0。灌水階段：設(shè)解析式為：y=at+c,195a+c=100095a+c=0排水階段解析式為:圖象經(jīng)過(195, 1000) , (95, 0),，解得：。灌水階段解析式為：y=10t - 950。b= 950y= - 20t+1500,.令 y=0,艮卩 0= - 20t+1500，解得：t=75。排水時(shí)間為75分鐘。清洗時(shí)間為：95 - 75=20 （分鐘），根據(jù)圖象可以得出游泳池蓄水量為1500 m3, 1500=10t - 95

14、0,解得：t=245。故灌水所用時(shí)間為：245 - 95=150 （分鐘）?！究键c(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法，直線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系?！痉治觥浚?）根據(jù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法分別得出排水階段解析式，以及清洗階段：y=0和灌水階段解析式即可。（2）根據(jù)（1）中所求解析式，即可得出圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出答案。例4: （2012湖南婁底3分）已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（-1 , 2）,則它的解析式是【】a1221A. yB. yc. yD. y 2xxxx【答案】Bo【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系。k【分析】設(shè)反比例函數(shù)圖象設(shè)解析式為y k ,xk

15、2將點(diǎn)（-1, 2）代入y 得，k= - 1X2=-2。則函數(shù)解析式為 y 。故選B。xx例5: （2012江蘇連云港12分）如圖，拋物線y = x2 + bx + c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn) E在拋物線上，點(diǎn)F在x軸上，四邊形 OCEF為矩形，且OF=2, EF= 3, （1）求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式;求 ABD的面積;將 AOC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90 °【答案】 解：(1) 四邊形OCEF為矩形，0F= 2, EF= 3,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0, 3)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2, 3).把 x= 0, y = 3; x= 2, y = 3 分

16、別代入 y= x2+ bx + c,得c=34+2b+c=3，解得b=2c=3拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式為y= x2+ 2x+ 3。/ y = x2 + 2x + 3= (x 1)2 + 4,拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 D(1 , 4) o ABD中AB邊的高為4。令 y= 0,得一 x2+ 2x + 3= 0,解得 Xi = 1 , X2= 3o AB = 3 ( 1) = 4o1ABD 的面積=X4 4= &2(3) 如圖， AOC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90 ° CO落在CE所在的直線上，由(1)可知OA = 1, OC=3,點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)G的坐標(biāo)為(3, 2) o當(dāng) x = 3 時(shí)，y =

17、 32+ 2X3 + 3 = 0工2點(diǎn)G不在該拋物線上。【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，矩形的性質(zhì)，曲線圖上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，解一元二次方程，二次函數(shù)的 性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)?！痉治觥?1)在矩形OCEF中，已知OF、EF的長，先表示出 C、E的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法確定該函 數(shù)的解析式。(2) 根據(jù)(1)的函數(shù)解析式求出 A、B、D三點(diǎn)的坐標(biāo)，以 AB為底、D點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對值為高，可 求出 ABD的面積。(3) 根據(jù)旋轉(zhuǎn)條件求出點(diǎn) A對應(yīng)點(diǎn)G的坐標(biāo)，然后將點(diǎn) G的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中直接進(jìn)行 判定即可。例6: (2012江蘇無錫2分)若拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)是A (2, 1),且經(jīng)過

18、點(diǎn)B (1, 0),則拋物線的 函數(shù)關(guān)系式為.【答案】y= - x2+4x - 3o【考點(diǎn)】待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系?！痉治觥繏佄锞€y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)是A (2, 1), 可設(shè)拋物線的解析式為y=a (x- 2) 2+1。2 2又拋物線 y=a (x - 2) +1 經(jīng)過點(diǎn) B (1, 0), ( 1, 0)滿足 y=a (x - 2) +1。2 2將點(diǎn) B (1, 0)代入 y=a (x- 2) 得，0=a (1 - 2) 即 a=- 1。2 2拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y= -( x- 2) +1，即y= - x +4x - 3。O例7: (2012浙江寧波12分)如圖，二

19、次函數(shù) y=ax +bx+c的圖象交x軸于A (- 1, 0), B (2, 0)，交y 軸于C (0, - 2),過A , C畫直線.(1) 求二次函數(shù)的解析式；(2) 點(diǎn)P在x軸正半軸上，且 PA=PC,求OP的長；(3) 點(diǎn)M在二次函數(shù)圖象上，以 M為圓心的圓與直線 AC相切，切點(diǎn)為H . 若M在y軸右側(cè)，且 CHM AOC (點(diǎn)C與點(diǎn)A對應(yīng))，求點(diǎn)M的坐標(biāo)； 若O M的半徑為4 5，求點(diǎn)M的坐標(biāo). 丿/ 1V弋【答案】解：(1 )二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象交x軸于A (- 1, 0), B (2, 0)設(shè)該二次函數(shù)的解析式為：y=a ( x+1) (x - 2),將 x=0,

20、y= - 2 代入，得-2=a (0+1) ( 0- 2),解得 a=1。拋物線的解析式為 y= (x+1 ) (x - 2),即y=x(2 )設(shè) OP=x ,貝U PC=PA=x+1 ,在Rt POC中，由勾股定理，得 x2+22= (x+1)33解得，x=,即 OP=。22(3) CHMAOC，/MCH= / CAO。(i)如圖1,當(dāng)H在點(diǎn)C下方時(shí)， / MCH= / CAO , CM / x 軸，.yM=- 2。- x2- x - 2=- 2，解得 x仁0 (舍去)，x2=1。 M (1 , - 2 )。(ii)如圖2，當(dāng)H在點(diǎn)C上方時(shí),/ M CH=/ CAO , PA=PC。由（2）

21、得，M為直線CP與拋物線的另一交點(diǎn),設(shè)直線CM的解析式為y=kx - 2,3把P (, 0)的坐標(biāo)代入,24- y= x - 2。3由-x - 2=x2- x - 2,解得34此時(shí)y=3 M (7,3得 3 k - 2=0,解得 k=-。23X1=0 (舍去),x2=。37310)。9102=。9在x軸上取一點(diǎn)D，如圖3,過點(diǎn)D作DE丄AC于點(diǎn)E,4 _使 DE= 5 ,5在 Rt AOC 中，AC= AO2+CO2 = 12+22 = 5。/ COA= / DEA=90，/ OAC= / EAD ,AD=DE 即 AD =AC OC '54 5二 5 ，解得 AD=2。2 D (1,

22、 0) 或 D (- 3, 0)。過點(diǎn)D作DM / AC ,交拋物線于 M ,如圖則直線 DM的解析式為：y= - 2x+2或y= - 2x - 6。當(dāng)-2x - 6=x2 - x - 2時(shí)，即x2+x+4=0 ,方程無實(shí)數(shù)根,2 2 1當(dāng)-2x+2=x - x - 2 時(shí)，即 x +x - 4=0 ,解得 x1 一' DA1hf> E¥172點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1 E , 3+百7 ）或（1+" , 32 2【考點(diǎn)】 二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，勾股定理，x21+217。17 )。平行的判定和性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程

23、?！痉治觥浚?）根據(jù)與x軸的兩個交點(diǎn) A、B的坐標(biāo)，故設(shè)出交點(diǎn)式解析式，然后把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入計(jì)算求出a的值，即可得到二次函數(shù)解析式。（2）設(shè)OP=x，然后表示出PC、PA的長度，在Rt POC中，利用勾股定理列式，然后解方程即可。（3）根據(jù)相似三角形對應(yīng)角相等可得/MCH= / CAO,然后分（i ）點(diǎn)H在點(diǎn)C下方時(shí)，利用同位角相等，兩直線平行判定CM / x軸，從而得到點(diǎn) M的縱坐標(biāo)與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相同，是-2,代入拋物線解析式計(jì)算即可；（ii）點(diǎn)H在點(diǎn)C上方時(shí)，根據(jù)（2）的結(jié)論，點(diǎn) M為直線PC與拋物線的另一交點(diǎn)， 求出直線PC的解析式，與拋物線的解析式聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)。在x軸上取

24、一點(diǎn) D，過點(diǎn)D作DE丄AC于點(diǎn)E,可以證明厶AED和厶AOC相似，根據(jù)相 似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可得到AD的長度，然后分點(diǎn)D在點(diǎn)A的左邊與右邊兩種情況求出0D的長度，從而得到點(diǎn) D的坐標(biāo)，再作直線 DM / AC,然后求出直線 DM的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立 求解即可得到點(diǎn) M的坐標(biāo)。練習(xí)題：1. （2012上海市10分）某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，當(dāng)生產(chǎn)數(shù)量至少為10噸，但不超過50噸時(shí)，每噸的成本y （萬元/噸）與生產(chǎn)數(shù)量x （噸）的函數(shù)關(guān)系式如圖所示.（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；（2） 當(dāng)生產(chǎn)這種產(chǎn)品的總成本為280萬元時(shí)，求該產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量.（注：總成本=每噸的

25、成本x生產(chǎn)數(shù)量）2.（2012山東荷澤7分）3y軸交于點(diǎn)A、B，以線段AB為邊在第一象限內(nèi)作等腰3.（2012甘肅蘭州4分）距為0.25m，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為【】4.y=400B. y=4xC. y=®°D. y=400x（2012廣東佛山8分）（1）任選以下三個條件中的一個，求二次函數(shù)y=ax2 + bx+ c的解析式;y隨x變化的部分?jǐn)?shù)值規(guī)律如下表:有序數(shù)對(1, 0), (1, 4), (3, 0)滿足 y=ax2+ bx + c;直接寫出二次函數(shù) y=ax2 + bx+ c的三個性質(zhì).x10123y034305.(2012山東萊蕪12分)如圖，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,

26、1)的拋物線y = ax2+ bx+ c(a豐(與 y軸交于點(diǎn) C(0, 3),與x軸交于A、B兩點(diǎn).(1)求拋物線的表達(dá)式;設(shè)拋物線的對稱軸與直線 BC交于點(diǎn)D，連接AC、AD，求 ACD的面積;點(diǎn)E為直線BC上一動點(diǎn)，過點(diǎn) E作y軸的平行線EF,與拋物線交于點(diǎn) F.問是否存在點(diǎn) E,使得以D、E、F為頂點(diǎn)的三角形與 BCO相似？若存在，求點(diǎn) E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由A( 2, O)、B(2 , 0)、C(0， I)三點(diǎn)，過C、D(0， 2)作平行于x軸的直線l1、l2 .6.(2012山東濰坊11分)如圖，已知拋物線與坐標(biāo)軸分別交于 坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線y=kx與拋物線交于M、N兩點(diǎn).分

27、別過點(diǎn)(1)求拋物線對應(yīng)二次函數(shù)的解析式;求證以O(shè)N為直徑的圓與直線 h相切;（3）求線段MN的長（用k表示），并證明M、N兩點(diǎn)到直線12的距離之和等于線段 MN的長.五待定系數(shù)法在求解規(guī)律性問題中的應(yīng)用：近幾年中考數(shù)學(xué)中常會出現(xiàn)一種尋找規(guī)律的題型，其中有一類實(shí)際是高中數(shù)學(xué)中的等差數(shù)列或二階等差數(shù)列，由于初中沒有學(xué)習(xí)它們的通項(xiàng)公式和遞推 法求二階等差數(shù)列的通項(xiàng)，因此中考學(xué)生在確定數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)有一定的困難。對于等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an ai n 1 d dn a d （其中ai為首項(xiàng)，d為公差，n為正整數(shù)），若將n看成自變量，an看成函數(shù),則an是關(guān)于n的一次函數(shù)；若一列數(shù)ai,a2,a滿足a.a

28、.iknb（其中k,b為常數(shù)），則這列數(shù)是二階等差數(shù)列，即每一后項(xiàng)減去前項(xiàng)得到一新的數(shù)列，這一新數(shù)列是等差數(shù)列。 它的通項(xiàng)an an2 bn c是關(guān)于n的二次函數(shù)。前面，我們講過用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，由于數(shù)列是特殊的函數(shù)，因此我們可以 用待定系數(shù)法來確定等差數(shù)列和二階等差數(shù)列的通項(xiàng)。典型例題：例1 : （2012湖北孝感3分）2008年北京成功舉辦了一屆舉世矚目的奧運(yùn)會，今年的奧運(yùn)會將在英國倫敦 舉行，奧運(yùn)會的年份與屆數(shù)如下表所示：年份1896190019042012屆數(shù)123n表中n的值等于.【答案】30。【考點(diǎn)】 分類歸納（數(shù)字的變化類），待定系數(shù)法?！痉治觥繉ふ乙?guī)律：設(shè)奧運(yùn)會的屆數(shù)

29、為x,年份為y,二者之間的關(guān)系為 y=kx+b。將(1, 1896), (2, 1900)代入，得k+b=18962k+b=1900，解得k=4b=1892 y=4x+1892。檢驗(yàn)：（3, 1904）符合。二奧運(yùn)會的屆數(shù)與年份之間的關(guān)系為y=4x+1892 。當(dāng) y=2012 時(shí)，2012=4x+1892，解得 x=30。n=30。例2: (2012山西省3分)如圖，是由形狀相同的正六邊形和正三角形鑲嵌而成的一組有規(guī)律的圖案，則 第n個圖案中陰影小三角形的個數(shù)是.CD (4)【答案】4n 2?！究键c(diǎn)】 分類歸納(圖形的變化類)，待定系數(shù)法?！痉治觥坑蓤D可知：第一個圖案有陰影小三角形2個，第二

30、圖案有陰影小三角形6個，第三個圖案有陰影小三角形10個，即形成數(shù)對(1, 2), (2, 6), ( 3, 10),。設(shè)陰影小三角形的個數(shù)與圖案的次序之間的關(guān)系為y=kx+b ,k+b=2”k=4將(1 , 2), (2, 6)代入，得-廠，解得-j2k+b=6b= 2 y=4x 2。檢驗(yàn)：(3,10)符合。陰影小三角形的個數(shù)與圖案的次序之間的關(guān)系為y=4x 2。當(dāng) x= n 時(shí)，y=4n 2。第n個圖案中陰影小三角形的個數(shù)是4n 2。例3: (2012湖南永州3分)我們把按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，女口1 , 3, 9, 19, 33,就是一個數(shù)列，如果一個數(shù)列從第二個數(shù)起，每一個數(shù)與

31、它前一個數(shù)的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做這個等差數(shù)列的公差.如2, 4, 6, 8, 10就是一個等差數(shù)列，它的公差為2.如果一個數(shù)列的后一個數(shù)與前一個數(shù)的差組成的新數(shù)列是等差數(shù)列，則稱這個數(shù)列為二階等差數(shù)列.例如數(shù)列1 , 3, 9, 19, 33,，它的后一個數(shù)與前一個數(shù)的差組成的新數(shù)列是2, 6, 10, 14,，這是一個公差為4的等差數(shù)列，所以，數(shù)列 1 , 3, 9, 19, 33,是一個二階等差數(shù)列.那么，請問二階等差數(shù)列1,3, 7, 13,的第五個數(shù)應(yīng)是 .【答案】21?！究键c(diǎn)】新定義，分類歸納(數(shù)字的變化類)，待定系數(shù)法?！痉治觥坑梢阎?，二階等差

32、數(shù)列 1 , 3, 7, 13,與次序之間形成數(shù)對(1 ,1),( 2, 3),( 3, 7),(4, 13)-o設(shè)二階等差數(shù)列與次序之間的關(guān)系為y=ax2+bx+c ,a=1a+b+c=1將(1 , 1), (2, 3), ( 3, 7)代入，得4a+2b+c=3，解得 b= 1。9a+3b+c=7c=1 y=x2 x+1。檢驗(yàn)：(4,13)符合。二二階等差數(shù)列與次序之間的關(guān)系為 y=x2 x+1。當(dāng) x= 5 時(shí)，y=21。二階等差數(shù)列1, 3, 7, 13,的第五個數(shù)應(yīng)是 21。例牛(2012 SfflS仁4分如圖，第個圖形中一共肓1個平行四邊賂 第個圖旳中一斗育5個平行四迫冊，第個圖形

33、中一共有11個平行四邊形，則第個圖腿中平行四邊形的個數(shù)是【】圖b 110 匚 19 D.109S3?【答案】D.【若點(diǎn)】分類歸納(圏形的變化類鮎待定系數(shù)法.【分析】由圏知，圈中平行四邊形的個數(shù)與詵序之間形成數(shù)錄寸(h (2. 5)s C3, 11).'-Ba=l解得就二1c=- 1設(shè)平行四邊形的個數(shù)戟序之間的關(guān)系溝 +bx+c,將(L 1), (N 5), (3, 11)代入，得 4a+2b+(rf ,93b+c=ll平行四邊形的個數(shù)與枚序之間的關(guān)系角尸七-1兒當(dāng)證=10時(shí)，y=109o/.M©個團(tuán)形中平行四邊形的個數(shù)是1凹Od-練習(xí)題:1.(2012山東濟(jì)寧6分)問題情境：

34、 * « * « « * ««V*第1個圖形第】個圖形期個圉形第4個國形用同樣大小的黑色棋子按如圖所示的規(guī)律擺放，則第2012個圖共有多少枚棋子?建立模型:有些規(guī)律問題可以借助函數(shù)思想來探討，具體步驟：第一步，確定變量；第二步：在直角坐標(biāo)系中畫出函 數(shù)圖象；第三步：根據(jù)函數(shù)圖象猜想并求出函數(shù)關(guān)系式；第四步：把另外的某一點(diǎn)代入驗(yàn)證，若成立，則 用這個關(guān)系式去求解.解決問題：根據(jù)以上步驟，請你解答問題情境”.2. （ 2012江蘇宿遷3分）14個圖案中黑色小正方形地磚的塊數(shù)是分小正方形的個數(shù)是3. （ 2012廣西桂林3分）n個圖中陰影部4. (

35、2012青海省它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第六.待定系數(shù)法在幾何問題中的應(yīng)用:在幾何問題中，常有一些比例問題（如相似三角形對應(yīng)邊成比例，平行線截線段成比例，銳角三角函數(shù)等），對于這類問題應(yīng)用消除待定系數(shù)法，通過設(shè)定待*t * fr * *+ * *W * * * * * * * *n個圖形中共有 個.5. （ 2012浙江寧波6分）用同樣大小的黑色棋子按如圖所示的規(guī)律擺放:（1）第5個圖形有多少黑色棋子?（2）第幾個圖形有2013顆黑色棋子？請說明理由.定參數(shù)，把相關(guān)變量用它表示，代入所求，從而使問題獲解。典型例題:例1 : （2012江蘇南京2分）如圖，菱形紙片 ABCD中，/ A=

36、60 0,將紙片折疊，點(diǎn) A、D分別落在A' D'處，且A D經(jīng)過CFB, EF為折痕，當(dāng)D'F CD時(shí)，的值為【】FDDBi6【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題），在菱形紙片 ABCD中，/ A=60° ,【答案】A。菱形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥垦娱LDC與A D,'交于點(diǎn)M ,/ DCB= / A=60° , AB / CD。/ D=180 - / A=120。根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得/ A D F=D=120 ,/ FD'M=180 - / A D F=6Q° / D'F

37、丄 CD，/ D FM=90，/ M=90 -Z FD M=30 °/ BCM=18° -Z BCD=120CBM=18° -Z BCM- Z M=30 ° CBM= Z M °BC=CM °設(shè) CF=x, D F=DF=y 貝U BC=CM=CD=CF+DF=x+y ° FM=CM+CF=2x+y , 在 Rt D FM中，tanZ M=tan30° = D Fy2x y3-1CF xFD y3-12。故選A °例2 : （2012江蘇揚(yáng)州AB3分）如圖，將矩形ABCD沿CE折疊，點(diǎn)B恰好落在邊AD的F

38、處，如果 一BC那么tanZ DCF的值是 LcF【答案】5。2【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題），翻折對稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義?！痉治觥克倪呅蜛BCD是矩形， AB = CD , Z D = 90°將 矩形ABCD沿CE折疊，點(diǎn)B恰好落在邊AD的F處， CF= BC ,.AB 2 CD BC 3，CF- DF= CF2 CD22 沁。設(shè) CD = 2x, CF= 3x ,3-DF 5x 55x。二 tanZ DCF =CD 2x 2例3: （2012貴州銅仁10分）如圖，定義：在直角三角形ABC中，銳角a的鄰邊與對邊的比叫做角余切，記作 ctan a即ctan

39、%=角 的鄰邊 角的對邊ACBC，根據(jù)上述角的余切定義，解下列問題:FM(1) ctan30 °3（2）如圖，已知tanA=，其中/ A為銳角，試求 ctanA的值.4【答案】解：(1) /RtAABC 中，m=30S .BC-AE,/. AC=7-AB3 - BC =，如吟心(2) 1品=?二設(shè) BC=%, AC=4 a?則 AB=5 aH 4.十 A_ AC 4a 4【芳點(diǎn)】新定義含狩角的直角三角形的性疏 銳角三角函數(shù)的定*幻聰擊譯.【分析】（1）根據(jù)狩角刖頁角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出BC和朋與AB的關(guān)系,根據(jù)余切求解即可b3 根據(jù)tenA-,求出BC和AC,根據(jù)余切求解即可.

40、4例4: （2012江蘇鎮(zhèn)江11分）等邊 ABC的邊長為2, P是BC邊上的任一點(diǎn)（與B、C不重合），連接AP，以AP為邊向兩側(cè)作等邊 APD和等邊 APE，分別與邊 AB、AC交于點(diǎn)M、N （如圖1 ）。（1）求證：AM=AN ；(2)設(shè) BP=x。3若，BM= 3，求x的值;8記四邊形 ADPE與厶ABC重疊部分的面積為 S,求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式以及S的最小值;連接DE，分別與邊AB、AC交于點(diǎn)G、H （如圖2）,當(dāng)x取何值時(shí)，/ BAD=15 0?并判斷此時(shí)以 DG、GH、HE這三條線段為邊構(gòu)成的三角形是什么特殊三角形，請說明理由。【答案】 解：（1）證明： ABC、 APD和厶AP

41、E都是等邊三角形, AD=AP，/ DAP= / BAC=60 0，/ ADM= / APN=60 °。二/ DAM= / PAN。 ADM APN (ASA ) , AM=AN。(2)易證 BPM CAP,BMCPBPCA，/ BN= 3 , AC=2 , CP=2- x,83X，即 4x28x+3=0。2x2解得x=-或x= 3。2 2四邊形AMPN的面積即為四邊形ADPE與厶ABC重疊部分的面積。ADM = APN , S adm S apn。-S四邊形AMPN S APM S ANPS APM S ADM S ADP °如圖，過點(diǎn) P作PS丄AB于點(diǎn)S,過點(diǎn)D作DT

42、丄AP于點(diǎn)T ,則點(diǎn)T是AP的中點(diǎn)。在 Rt BPS 中，/ P=600, BP=x, PS=BPs in600= 32x, BS=BPcos60°=丄 x。2/ AB=2 , AS=AB1BC=2 x°2- Ah aS+pS“3 2 2 24=x 2x+42E1ADP 2APS四邊形AMPN1DT AP23 2 S ADP AP43AP=233AP2。42x+4+ 4°<x<2。&P Cx=1時(shí)，S的最小值為3 3。4連接PG,設(shè)DE交AP于點(diǎn)0。若/ BAD=15 0,/ DAP =60°,./ PAG =45°。/ A

43、PD和厶APE都是等邊三角形, AD=DP=AP=PE=EA 。四邊形ADPE是菱形。 D0垂直平分AP。 GP=AG。二/ APG = / PAG =45°。/ PGA =90°。設(shè) BG=t,在 Rt BPG 中，/ B=60°,. BP=2t, PG= 3t。二 AG=PG= 3t。3t+t=2，解得 t= 3 1 o BP=2t=23 2。當(dāng) BP= 2 3 2 時(shí)，/ BAD=150。猜想：以DG、GH、HE這三條線段為邊構(gòu)成的三角形是直角三角形。四邊形 ADPE 是菱形， AO 丄 DE,/ ADO= / AEH=30 0。/ BAD=15 0,a易得/