一個數(shù)論問題證明

1、關(guān)于一個數(shù)論問題的證明()這個問題可能對大家的數(shù)論知識有所幫助，我感覺我的方法比較通俗易懂，但它涉及了多項式思想和組合數(shù)有關(guān)公式，這里關(guān)鍵是解決思路，這時學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的根本。祝學(xué)習(xí)輕松愉快！如果你們有更好的解法，請 分享。命題：若a -1有奇素因子p，則ap-1必有異于p的奇素因子證明：因為P奇素因子，所以p為奇數(shù)，且P-3所以 ap -1 =(a - 1)(ap ap J| a2 a 1)當(dāng)a為偶數(shù)時，apJ ap° III a2 a 1 = a(ap，ap° III 1) 1 為奇數(shù)；當(dāng)a為奇數(shù)時，由于p為奇數(shù)，且p_3所以apapJUa2a1為奇數(shù)個奇數(shù)的和，故和為奇數(shù)。

2、所以apJapJHa2a1為ap-1的奇數(shù)因子。因此apJ-apJHa2a1只能有奇因子。下面證明這個結(jié)論設(shè) a -1 = kp，則 a = kp 1(kp 1)p (kp 1)z lli (kp 1)2 (kp 1) 1此多項式按p展開后，得一個關(guān)于p的P-1次多項式，f(p)二C0v(kp)2 (Cpcl)(kp)2 (Cp_1 Cp< cp_3)(kp)p+ lll+(Cp +cpH + c3+c°)(kp)(Cp+cpl +C； + c2 + C0)(kp) +(c；+c財+ "| + C； + C； + G1+1)二C肘(kp)2 (C防 C黑)(kp)2

3、(C貯 C cp；)(kp)2+Ili+(c2c2< +lll+c+c；)(kp)2 十(cp/cp/+lll + c3 +c2 + c；)(kp)(C04 CpC35 C0 c； - Co)= (kp)2C；(kp)2C匯(kp)2illC3(kp)2C：(kp) c；= (kp)2C畀(kp)2C匯(kp)2川Cp(kp)2P(；T)kppWppcpp(kp-2pU c匯(kp2)川 Cp(k2p2)p2<kpJpp Cpp(kp和心)C匯(kp：pp-4) |C3(k2p)1p珂kpWc陽(kfU 川寧kp 0p因為p為大于等于3的素數(shù)，所以P-1為偶數(shù)，故 丄為正整數(shù)2所以

4、kpp2 C陽(kp2)川 衛(wèi)1k為正整數(shù)2由apJ - apa2 a 1只能有奇因子可知，f(p)只有奇數(shù)因子所以kp'ppcp'(kp'p2) 川七Jkp 1 必為奇數(shù)，又因為奇數(shù)kp'ppJ3 Cp'(kpp2) IH - kp 1 p且不能被p整除，2所以kpVppJ3 cp(kP'pP冷川衛(wèi)】kp 1的因子都不等于p2又因為kmwpj川1的因子皆為奇數(shù)，故其必含奇素因子。其奇素因子也不等于p。這就證明了本題的結(jié)論。下面證明香港05年奧賽試題試題：存在無窮多個不含平方因子的正整數(shù) n ,使得n|(2005n - 1)證明：設(shè)p3，因為3|(2005 -1)，則 叩(2005- 1)，由結(jié)論至2005" - 1必存在異于p1的奇素因子，設(shè)為p2，即p212005p1 - 1因為pi、p2為奇素數(shù)(正整數(shù)即可)所以由 叩(2005-1)知 pj(2005p1p2 -1)，由 P2 |2005p1 -1 知 P2 |(2005p1p2 -1) 所以 piP2|(2005PlP2 -1), 而Po P2為奇素數(shù)，且 p p2故pp p2 一定不含完全平方因子， 上述過程可以 無限的進行下去，因此存