基本不等式最新1(1)

1、2abab 重要不等式重要不等式定理定理：如果如果 ，那么，那么 （當(dāng)且僅當(dāng)（當(dāng)且僅當(dāng) 時取時取“= =”號）號）Rba,abba222ba 我們可以用比較法證明我們可以用比較法證明探究探究n你能從幾何的角度解釋定理嗎？你能從幾何的角度解釋定理嗎？n幾何解釋課本第幾何解釋課本第5頁頁 .,成立等號時當(dāng)且僅當(dāng)所以時等號成立當(dāng)且僅因為證明bababaabba 02222:,1釋釋定定理理長長度度那那么么可可以以這這樣樣來來解解作作為為線線段段如如果果把把實實數(shù)數(shù)ba.,;,.,22211baSSbEFCEFGaABABCDbaCEFGABCD 正方形正方形那么中在正方形中在正方形如圖為例以bbba

2、aABCDEFGKIJH211 .圖圖的長和矩形矩形JCDIBCGH.,abSSbaJCDIBCGH2 矩形矩形它們的面積和是寬為均為的公共部分是正和和矩形矩形JCDIBCGH.,相等形其面積與正方等于它的邊長方形CEFGbJCGKbbbaaABCDEFGKIJH211 .圖圖,.,時當(dāng)且僅當(dāng)即的面積的和與正方形于正方形它不大影部分的面積陰中圖于等就和上述兩個矩形的面積baabbaCEFGABCDab 2222.,abbaCEFGABCD222 即面積和方形與正等于正方形積陰影部分面兩個正方形,所以兩個矩形成為ab22ab 動畫動畫幾何解釋幾何解釋221aab221ba幾何解釋幾何解釋 思考思

3、考 1220,0,2ababab當(dāng)在中以 a, b分別代替a,b能得到什么結(jié)果?2abababba2( (當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時取時取“ = = ”號）號） ba 如果如果 是正數(shù)，那么是正數(shù)，那么 ,a b 基本不等式基本不等式定理定理（均值定理）（均值定理）概念概念n如果、都是正數(shù)，我們就稱為、如果、都是正數(shù)，我們就稱為、n的的算術(shù)平均算術(shù)平均 ，稱為、的，稱為、的幾何平均幾何平均。2abab均值定理可以描述為：均值定理可以描述為： 兩個正數(shù)的兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)不小于（即大于或等于）不小于（即大于或等于）它們的它們的幾何平均數(shù)幾何平均數(shù).不等式的幾何意義下面我們討論一下基本.,.

4、bBDaADABOCABABCRtCD 上的中線是斜邊上的高中斜邊是中在圖311AODBC311 .圖圖 .baABOC 2121,于是,090 ADCA因為.,BDCAAB 所以090,BDCDCDADDBCRtDCARt 從而于是AODBC311 .圖.abCDbCDCDa 所以即.,abbaCDOCOCDRtba 2所以大于直角邊斜邊中在時當(dāng).,abbaCDOCABABCRtba 2所以重合和高上的中線斜邊時當(dāng).:,小于斜邊上的高三角形斜邊上的中線不直角是基本不等式的幾何意義綜上所述可知?其其他他幾幾何何解解釋釋嗎嗎你你能能給給出出基基本本不不等等式式的的探探究究ab.2abab2ab半

5、徑不小于半弦DBCEoA2ababOCCDaD 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 中的中的“ = = ”號成立號成立 ba 時時2abab這句話的含義是這句話的含義是: 思考思考 2ba abba2當(dāng)當(dāng)ba abba2當(dāng)當(dāng) 和成立的條件相同嗎？ 如： 成立，而 不成立。abba222abba2)5() 1(2)5() 1(22)5() 1(2)5() 1( 思考思考 3abba222成立的條件_abba2成立的條件_a，bRabR，222abcabbcac （1 1） 典例探討典例探討222abbcca222變式:求證:2a +2b +2c例例1 1 求證：求證：（）已知（）已知, , ,a b c d都是正

6、數(shù)，求證都是正數(shù)，求證()()4abcd acbdabcd證明：證明：由, , ,a b c d都是正數(shù)，得都是正數(shù)，得02abcdab cd02acbdac bd()()4abcd acbdabcd()()4abcd acbdabcd即2., ,a b c巳知均為正數(shù),求證:(a+b)(b+c)(c+a)8abc1 .0 ,0 ,11: ()()4 .ababab巳 知求 證 練習(xí)練習(xí)1例例2 2 求證：求證：（1）在所有周長相同的矩形）在所有周長相同的矩形中，正方形的面積最大；（中，正方形的面積最大；（2）在所有面）在所有面積相同的矩形中，正方形的周長最短。積相同的矩形中，正方形的周長最短

7、。 :,.,問問題題就就轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為這這樣樣面面積積為為為為那那么么該該矩矩形形的的周周長長寬寬為為設(shè)設(shè)矩矩形形的的長長為為分分析析xyyxyx 2 ?,最最大大有有什什么么關(guān)關(guān)系系時時那那么么正正數(shù)數(shù)為為定定值值從從而而如如果果xyyxyxyx 21 ?,最小最小從而從而有什么關(guān)系時有什么關(guān)系時那么正數(shù)那么正數(shù)為定值為定值如果如果yxyxyxxy 22.,式式證證明明所所以以可可以以利利用用基基本本不不等等間間的的數(shù)數(shù)量量關(guān)關(guān)系系及及兩兩個個正正數(shù)數(shù)的的和和與與積積之之由由于于基基本本不不等等式式恰恰好好涉涉.,yx 寬為設(shè)矩形的長為解 .,為定值即設(shè)矩形周長為定值lyxl 221,xyyx

8、 2根據(jù)基本不等式.xyl 4可得,162lxy 矩形的面積于是.,162lxy 取得最大值積面形時即當(dāng)且僅當(dāng)矩形是正方等號成立,時當(dāng)且僅當(dāng)yx .,Syxyx42值取得最小周長矩形是正方形時即當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪r當(dāng)且僅當(dāng) .,為定值即設(shè)矩形面積為定值SxyS 2,xyyx 2根據(jù)基本不等式 ,Sxyyx442 矩形的周長變形變形.1 如果積 已知yx,都是正數(shù)，求證：xy是定值 ,P那么當(dāng) yx 時,和 yx 有最小值 2P2 如果和 yx 是定值 ,S那么當(dāng) yx 時,積 xy有最大值 214S證：證： Ryx, xyyx21當(dāng) xyP（定值）時，2xyP 上式當(dāng) yx 時取“=” 當(dāng) yx

9、 時， xy有最小值2 P2當(dāng) xyS (定值)時， 2Sxy 214xyS 上式當(dāng) yx 時取“=” 當(dāng) yx 時， 214xyS有最大值yx 2 P注意：注意：1、最值的含義（最值的含義（“”取最小取最小值，值，“”取最大值）取最大值） 2、用極值定理求最值的三個必要條用極值定理求最值的三個必要條件：件：一一“正正”、二、二“定定”、三、三“相等相等”2()2()abab 22a+b由 公 式 a +b2ab,ab2可 得 以 下 結(jié) 論 ：ab(1)、同 號 ；baab（ 2）、異 號 。ba練習(xí)練習(xí)21.巳知x0,y0且xy=100,則x+y的最小 值是 _,此時x=_,y= _242

10、.0,xxx巳知則6的最小值是_,此時x=_.3.證明證明210loglgxx（1）) 1(x證：證： 1x 0lgx010logx于是 210lglg210loglgxxxxlglog 10_ 2xx（2）(01)x解解： 10 x0lgx010logx于是 2)10log()lg(xx從而 210loglgxx？4.已知 求證：（1） （2）, ,1.a b cRabc且1119abc22213abc1(3)3abbcca1cba2)(cbacabcabcba2222221abba222bccb222caac222（3）證明：）證明：cabcabcba222cabcabcba2221222

11、cabcab33331cabcabABCDEFGHMNPQ .,;,.,)(,)(,.,并并求求出出這這個個最最小小值值最最小小為為何何值值時時當(dāng)當(dāng)關(guān)關(guān)系系式式的的函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于試試建建立立米米長長為為元元設(shè)設(shè)總總造造價價為為元元造造價價每每平平方方米米坪坪上上鋪鋪草草圖圖中中四四個個三三角角形形再再在在四四個個空空角角元元平平方方米米造造價價為為每每鋪鋪花花崗崗巖巖地地坪坪圖圖中中陰陰影影部部分分同同的的矩矩形形上上在在四四個個相相元元造造價價為為每每平平方方米米壇壇上上建建一一座座花花計計劃劃在在正正方方形形域域平平方方米米的的十十字字型型地地構(gòu)構(gòu)成成的的面面積積為為和和是是由由兩兩個個

12、相相同同的的矩矩形形圖圖它它的的主主體體造造型型平平面面圖圖場場所所角角形形的的休休閑閑某某居居民民小小區(qū)區(qū)要要建建一一座座八八SxxSxADSMNPQEFGHABCD21802104200200411 411 .圖圖例3411 .圖圖ABCDEFGHMNPQ ,200412 xyxyDQ則米設(shè)解.xxy42002 從而于是2228042104200yxyxS 22224200280420042104200 xxxxxx22400000420038000 xx 411 .圖圖ABCDEFGHMNPQ 2240000040002xx 由基本不等式可知,800004000004000222 xx.

13、0001180008000038 S所以.,.,等號成立時即當(dāng)且僅當(dāng)163000400000422 xxx.,.,元最小值取休閑場所總造價米時約為當(dāng)由此可知000118163SAD解解： 1x 01x011x 11xx= 112111) 1(21111xxxx 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 111xx即即 0 x時 11xx有最小值有最小值1例例4.若，則為何值時若，則為何值時 11xx有最小值，最小值為幾？有最小值，最小值為幾？1.yxx1、求函數(shù)的值域解解:2121,0) 1 (xxxxx時當(dāng),1,0)2(Rxxx時當(dāng)2)1()(21xxxx21xx)., 22,(y 練習(xí)練習(xí)32(3)831xxxx21、求函數(shù)y=的最小值；x-3、求函數(shù)y=的值域.sin22sinxyx4.求（0 x）的最小值。例例5.已知，求（）的最大值證明：222( ,)1122abababa bRab 注意注意:利用算術(shù)平均數(shù)和幾何平均利用算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)定理時一定要注意定理的條件數(shù)定理時一定要注意定理的條件: 一正一正;二定二定;三相等三相等.有一個條件達(dá)不有一個條件達(dá)不到就不能取得最值到就不能取得最值.例例6