第3章 非穩(wěn)態(tài)導熱

1、華北電力大學華北電力大學梁秀俊梁秀俊高等傳熱學高等傳熱學第第3 3章章 非穩(wěn)態(tài)導熱非穩(wěn)態(tài)導熱非周期性非周期性( (瞬態(tài)的）瞬態(tài)的）周期性周期性0),(tzyxft一、非穩(wěn)態(tài)導熱的分類一、非穩(wěn)態(tài)導熱的分類知識回顧知識回顧溫度場隨時間變化特點溫度場隨時間變化特點溫度場隨空間變化特點溫度場隨空間變化特點二維二維零維零維一維一維三維三維華北電力大學華北電力大學梁秀俊梁秀俊高等傳熱學高等傳熱學二、特點二、特點(以非周期性的為例以非周期性的為例)導熱體的內能隨時間發(fā)生變化，導熱體要儲存或釋放能量。導熱體的內能隨時間發(fā)生變化，導熱體要儲存或釋放能量。 ),(zyxft ),(zyxfQ 如果平壁左側有如果平

2、壁左側有恒定的熱流恒定的熱流q加加熱，平壁內溫度熱，平壁內溫度如何變化？如何變化？初始溫度均勻為初始溫度均勻為t0，左側突然升溫至左側突然升溫至t1.華北電力大學華北電力大學梁秀俊梁秀俊高等傳熱學高等傳熱學無限大平板內的溫度分布如圖所示，試分析無限大平板內的溫度分布如圖所示，試分析（1 1）如果大平板為穩(wěn)態(tài)無內熱源導熱，）如果大平板為穩(wěn)態(tài)無內熱源導熱，（2 2）如果大平板為常物性無內熱源導熱）如果大平板為常物性無內熱源導熱, ,（3 3）如果大平板為常物性穩(wěn)態(tài)導熱，）如果大平板為常物性穩(wěn)態(tài)導熱，導熱系數(shù)隨溫度如何變化？導熱系數(shù)隨溫度如何變化？則該大平板是加熱過程還是冷卻過程？則該大平板是加熱過

3、程還是冷卻過程？則其內熱源為正還是負？則其內熱源為正還是負？華北電力大學華北電力大學梁秀俊梁秀俊高等傳熱學高等傳熱學三、第三類邊界下非穩(wěn)態(tài)導熱的定性分析三、第三類邊界下非穩(wěn)態(tài)導熱的定性分析 華北電力大學華北電力大學梁秀俊梁秀俊高等傳熱學高等傳熱學hhl1Bi畢渥準則數(shù)畢渥準則數(shù)物體表面對流換熱熱阻物體內部導熱熱阻hlBi(1) 當當 Bi 時，意味著表面?zhèn)鲿r，意味著表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)熱系數(shù) h （Bi=h / ），），對流換熱熱阻趨于對流換熱熱阻趨于0。平壁的表。平壁的表面溫度幾乎從冷卻過程一開始，面溫度幾乎從冷卻過程一開始，就立刻降到流體溫度就立刻降到流體溫度 t 。式中式中l(wèi)為特征尺度為特征尺度

4、華北電力大學華北電力大學梁秀俊梁秀俊高等傳熱學高等傳熱學(2) 當當Bi0時，意味著物體的導時，意味著物體的導熱系數(shù)很大、導熱熱阻熱系數(shù)很大、導熱熱阻 0（Bi=h / ）。任何時間物體內）。任何時間物體內的溫度分布都趨于均勻一致。的溫度分布都趨于均勻一致。(3) 當當0Bit。物。物性參數(shù)為常量。性參數(shù)為常量。1、導熱數(shù)學描述及求解、導熱數(shù)學描述及求解體積為體積為V表面積為表面積為A物性物性r r, , , , c初始溫度初始溫度t0流體溫度流體溫度t表面換熱系數(shù)表面換熱系數(shù)h華北電力大學華北電力大學梁秀俊梁秀俊高等傳熱學高等傳熱學能量守恒方程式能量守恒方程式VVAVqAqddtcVddr過

5、余溫度令： tt如果表面對流換熱，且導熱體內無內熱源時，如果表面對流換熱，且導熱體內無內熱源時，0ddrhAVc分離變量得分離變量得rdd1VchA)(tthAddtcVr華北電力大學華北電力大學梁秀俊梁秀俊高等傳熱學高等傳熱學r0dd10VchArVchAetttt00從從0到任意時刻到任意時刻 積分積分VVFoBiAVaAVhVchA2)/()/(r上式中右端的指數(shù)可作如下變化上式中右端的指數(shù)可作如下變化式中式中BiV V是特征尺度是特征尺度l用用V/AV/A表示的畢渥數(shù)。表示的畢渥數(shù)。華北電力大學華北電力大學梁秀俊梁秀俊高等傳熱學高等傳熱學導熱體在時間導熱體在時間 0 內傳給流體的總熱量

6、，即散熱量內傳給流體的總熱量，即散熱量 J )1 ()(d )(0000rrrVchAeVcttVcQ稱為傅立葉數(shù)稱為傅立葉數(shù)2)/(AVaFoV同樣同樣FoV V是特征尺度是特征尺度l用用V/AV/A表示的傅里葉數(shù)。表示的傅里葉數(shù)。華北電力大學華北電力大學梁梁 秀秀 俊俊 高等傳熱學高等傳熱學 2.2.符合集總體的判別條件符合集總體的判別條件 MAVhBiV1 . 0)/(對于厚為對于厚為22的平板：的平板： M=1AV /RAV21/半徑為半徑為R R的圓柱：的圓柱： M=1/2RAV31/半徑為半徑為R R的球的球： M=1/322R RR R華北電力大學華北電力大學梁梁 秀秀 俊俊 高

7、等傳熱學高等傳熱學 如果導熱體的熱容量如果導熱體的熱容量（ r rVc ）小、換熱條件好）小、換熱條件好（hA大），那么時間常數(shù)大），那么時間常數(shù) ( r rVc / hA) 小，導熱體的小，導熱體的溫度變化快。溫度變化快。時間常數(shù) rhAVcr3 3、時間常數(shù)、時間常數(shù)流體流體熱電偶接點熱電偶接點管道管道rVchAetttt00華北電力大學華北電力大學梁梁 秀秀 俊俊傳熱學傳熱學 Heat TransferHeat Transfer 對于測溫的熱電偶接點，時間常數(shù)越小，說明對于測溫的熱電偶接點，時間常數(shù)越小，說明熱電偶對流體溫度變化的響應越快。這是測溫技術熱電偶對流體溫度變化的響應越快。這是

8、測溫技術所需要的。所需要的。熱電偶時間常數(shù)熱電偶時間常數(shù)熱惰性級別熱惰性級別 時間常數(shù)（秒）時間常數(shù)（秒）901803090103010華北電力大學華北電力大學梁秀俊梁秀俊高等傳熱學高等傳熱學練習練習 一廚師在炒雞肉絲時要品嘗一下咸淡，于是他一廚師在炒雞肉絲時要品嘗一下咸淡，于是他從從100100的的 熱炒鍋中取出一雞肉絲，用口吹了一會，熱炒鍋中取出一雞肉絲，用口吹了一會，待其降至待其降至6565時再放入口中。試估算廚師需要吹多時再放入口中。試估算廚師需要吹多長時間？出鍋時雞肉絲可視為平均直徑為長時間？出鍋時雞肉絲可視為平均直徑為2mm2mm的圓條，的圓條，廚師口中吹出的氣流溫度為廚師口中吹出

9、的氣流溫度為3030，其與雞肉絲之間，其與雞肉絲之間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為100W/(m100W/(m2 2K),K), 雞肉絲的密度為雞肉絲的密度為810kg/m810kg/m3 3，比熱容為，比熱容為3350J/(kgK)3350J/(kgK)，導熱系數(shù)，導熱系數(shù)1.1W/(mK)1.1W/(mK)。華北電力大學華北電力大學梁秀俊梁秀俊高等傳熱學高等傳熱學三、環(huán)境溫度線性變化三、環(huán)境溫度線性變化 0bttf積分得積分得hAVcbVchAhAVcbrrrexp0tt 令該問題的數(shù)學描述為（能量方程）該問題的數(shù)學描述為（能量方程）0)(ftthAddtcVr隨時間按指數(shù)規(guī)律衰減隨時間

10、按指數(shù)規(guī)律衰減隨時間線性變化隨時間線性變化00ddrbhAVc華北電力大學華北電力大學梁秀俊梁秀俊高等傳熱學高等傳熱學華北電力大學華北電力大學梁秀俊梁秀俊高等傳熱學高等傳熱學四、環(huán)境溫度按簡諧波變化四、環(huán)境溫度按簡諧波變化( 周期性變化）周期性變化） )cos(ffAttfA振幅：周期：/2ftt 令：ftt 000，時數(shù)學描述（能量方程）數(shù)學描述（能量方程）ffttAhAVc000cosddr華北電力大學華北電力大學梁秀俊梁秀俊高等傳熱學高等傳熱學rrfrrfAAarctancos1exp122220解為：解為：其中：其中：hAcVrr隨時間按指數(shù)規(guī)律衰減隨時間按指數(shù)規(guī)律衰減隨時間周期性變化

11、隨時間周期性變化 )cos(ffAtt華北電力大學華北電力大學梁秀俊梁秀俊高等傳熱學高等傳熱學華北電力大學華北電力大學梁秀俊梁秀俊高等傳熱學高等傳熱學一、無限大平壁的分析解一、無限大平壁的分析解 厚度厚度 2 的無限大平壁，的無限大平壁， 、a為已知常數(shù)，為已知常數(shù)， =0時溫時溫度為度為 t0， 突然將其放置于兩突然將其放置于兩側介質溫度為側介質溫度為 t 并保持不變并保持不變的流體中，兩側表面與介質的流體中，兩側表面與介質之間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為之間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h。 1. 問題描述問題描述2h, th, t3-2 3-2 華北電力大學華北電力大學梁秀俊梁秀俊高等傳熱學高等傳熱學2、數(shù)學描述

12、、數(shù)學描述 由于平板溫度場對稱，因此只取平板的一半進行研究，由于平板溫度場對稱，因此只取平板的一半進行研究，以平板的中心為坐標原點建立坐標系，如圖所示。以平板的中心為坐標原點建立坐標系，如圖所示。22xtat , 00tt 0 , 0 xtx)(,tthxtx- 華北電力大學華北電力大學梁秀俊梁秀俊高等傳熱學高等傳熱學 tt22xa00 , 0 -tt0 , 0 xx0,hxx 為了表達式的簡潔便于求解，引入過余溫度為了表達式的簡潔便于求解，引入過余溫度華北電力大學華北電力大學梁秀俊梁秀俊高等傳熱學高等傳熱學) ,Fo Bi,(),( 0 xfx傅里葉數(shù)傅里葉數(shù)無量綱時間無量綱時間2FoahB

13、ix無量綱距離無量綱距離畢渥數(shù)畢渥數(shù)表示內部導熱熱阻與表表示內部導熱熱阻與表面對流換熱熱阻相對大小面對流換熱熱阻相對大小3.3.解的結果（分離變量法）解的結果（分離變量法）)cos()sin()cos()sin(21)(0022nnnnnnaxettttn華北電力大學華北電力大學梁秀俊梁秀俊高等傳熱學高等傳熱學 計算表明，當傅里葉數(shù)計算表明，當傅里葉數(shù)Fo 0.2（0.5）后，對于）后，對于公式只取級數(shù)的第一項計算和完整計算誤差很小。公式只取級數(shù)的第一項計算和完整計算誤差很小。221)(11110)cos()sin()sin(2ame)cos()cos()sin()sin(2),(1)(111

14、10221xexammxx),(),(00)cos(),(1xmx華北電力大學華北電力大學梁秀俊梁秀俊高等傳熱學高等傳熱學 對于無限大平板按如下公式和圖計算。對于無限大平板按如下公式和圖計算。1.1.采用近似擬合公式采用近似擬合公式 見相關文獻見相關文獻2.2.線算圖法線算圖法- -海斯勒圖海斯勒圖m 平板中心的過余溫度平板中心的過余溫度)Fo Bi,( ) Bi,( )()(),(),(00fxfxxmm華北電力大學華北電力大學梁秀俊梁秀俊高等傳熱學高等傳熱學)()exp(1210fFoA幾何形狀幾何形狀A平板平板圓柱圓柱球球)(1f1111sincossin2)()()(212112011

15、1JJJ111111sincos)cos(sin2)cos(1)(10J11)sin(華北電力大學華北電力大學梁秀俊梁秀俊高等傳熱學高等傳熱學)Fo Bi,( )( ;)()(),(),(000fxxmmm無限大平板中心無量綱過余溫度曲線無限大平板中心無量綱過余溫度曲線華北電力大學華北電力大學梁秀俊梁秀俊高等傳熱學高等傳熱學) Bi,( )(),( ;)()(),(),(00 xfxxxmmm無限大平板無量綱過無限大平板無量綱過余溫度曲線余溫度曲線四、無限長圓柱四、無限長圓柱過程類似過程類似圖線類似圖線類似華北電力大學華北電力大學梁秀俊梁秀俊高等傳熱學高等傳熱學四、乘積解四、乘積解 在二維和三

16、維非穩(wěn)態(tài)導熱問題中，幾種典型幾何在二維和三維非穩(wěn)態(tài)導熱問題中，幾種典型幾何形狀物體的非穩(wěn)態(tài)導熱問題可以利用一維非穩(wěn)態(tài)導形狀物體的非穩(wěn)態(tài)導熱問題可以利用一維非穩(wěn)態(tài)導熱分析解的組合求得。無限長方柱體、短圓柱體及熱分析解的組合求得。無限長方柱體、短圓柱體及短方柱體就是這類典型幾何形狀的例子。短方柱體就是這類典型幾何形狀的例子。 華北電力大學華北電力大學梁秀俊梁秀俊高等傳熱學高等傳熱學 矩形截面的無限長方柱體是由兩個無限大平壁矩形截面的無限長方柱體是由兩個無限大平壁垂直相交而成；短圓柱是由一個無限長圓柱和一個垂直相交而成；短圓柱是由一個無限長圓柱和一個無限大平壁垂直相交而成無限大平壁垂直相交而成 ；短

17、方柱體（或稱垂直六；短方柱體（或稱垂直六面體）是由三個無限大平壁垂直相交而成；面體）是由三個無限大平壁垂直相交而成；華北電力大學華北電力大學梁秀俊梁秀俊高等傳熱學高等傳熱學對于短圓柱體對于短圓柱體 對于無限長方柱體對于無限長方柱體對于短方柱體對于短方柱體000, y, x, y, x000, r, x, r , x0000, z, y, x, z , y, x無量綱過余溫度乘積解無量綱過余溫度乘積解華北電力大學華北電力大學梁秀俊梁秀俊高等傳熱學高等傳熱學華北電力大學華北電力大學梁秀俊梁秀俊高等傳熱學高等傳熱學ttttyx00),(令 對于厚度為對于厚度為2 21 1的大平壁，數(shù)學描述為的大平壁

18、，數(shù)學描述為對于厚度為對于厚度為2 22 2的大平壁，數(shù)學描述為的大平壁，數(shù)學描述為華北電力大學華北電力大學梁秀俊梁秀俊高等傳熱學高等傳熱學1 1證明證明滿足導熱微分方程滿足導熱微分方程2 2證明證明滿足初始條件滿足初始條件3 3證明證明滿足邊界條件滿足邊界條件華北電力大學華北電力大學梁秀俊梁秀俊高等傳熱學高等傳熱學3-3 3-3 半無限大物體的非穩(wěn)態(tài)導熱半無限大物體的非穩(wěn)態(tài)導熱一、半無限大物體概述一、半無限大物體概述所謂半無限大物體，幾何上是所謂半無限大物體，幾何上是指如圖所示的那樣的物體，其指如圖所示的那樣的物體，其特點是從特點是從x=0的界面開始可以的界面開始可以向向x正的方向及其它兩個

19、坐標正的方向及其它兩個坐標(y,z)方向無限延伸。半無限大方向無限延伸。半無限大物體是非穩(wěn)態(tài)導熱的特有概念。物體是非穩(wěn)態(tài)導熱的特有概念。0 xzy華北電力大學華北電力大學梁秀俊梁秀俊高等傳熱學高等傳熱學二、相似性變換法二、相似性變換法求解求解給定壁溫問題給定壁溫問題 一個半無限大物體一個半無限大物體, 初始溫度均勻為初始溫度均勻為t0 ，在，在 =0 時刻，在時刻，在x=0的一的一 側表面溫度突然升高到側表面溫度突然升高到tw ，并保，并保持不變，現(xiàn)在要確定物體內部溫度隨時間的變化。持不變，現(xiàn)在要確定物體內部溫度隨時間的變化。 0022),(), 0(0) 0 ,(0txtxttxtxtxta

20、tw0, 022xa0, 0, 0 x0, 0,xwtt 華北電力大學華北電力大學梁秀俊梁秀俊高等傳熱學高等傳熱學0022),(), 0(0) 0 ,(0txtxttxtxtxtatw0tt 一個半無限大物體一個半無限大物體, 初始溫度均勻為初始溫度均勻為t0 ，在，在 =0 時刻，在時刻，在x=0的一的一 側表面溫度突然升高到側表面溫度突然升高到tw ，并保，并保持不變，現(xiàn)在要確定物體內部溫度隨時間的變化。持不變，現(xiàn)在要確定物體內部溫度隨時間的變化。 二、相似性變換法二、相似性變換法求解求解給定壁溫問題給定壁溫問題0, 022xawx, 0, 00, 0,x華北電力大學華北電力大學梁秀俊梁秀

21、俊高等傳熱學高等傳熱學0 x二、相似性變換法二、相似性變換法求解求解給定壁溫問題給定壁溫問題相似變化法的基本思路：通過相似變化法的基本思路：通過對微分方程的自變量進行變換，對微分方程的自變量進行變換，來減少自變量的個數(shù)，所找到來減少自變量的個數(shù)，所找到的新的變換的變量稱之為相似的新的變換的變量稱之為相似性變量。性變量。優(yōu)點：減少自變量個數(shù)，偏微優(yōu)點：減少自變量個數(shù)，偏微分方程變換成常微分方程，求分方程變換成常微分方程，求解方便。解方便。缺點：應用條件苛刻。缺點：應用條件苛刻。 相似變化依賴經驗。相似變化依賴經驗。華北電力大學華北電力大學梁秀俊梁秀俊高等傳熱學高等傳熱學ax2令：22xa2221

22、axax212axx21222241ax華北電力大學華北電力大學梁秀俊梁秀俊高等傳熱學高等傳熱學0dd2dd22w , 00,原來的數(shù)原來的數(shù)學描述變學描述變換為：換為：通解為：通解為：ddz令02ddzz則)exp(dd21Cz0tt 華北電力大學華北電力大學梁秀俊梁秀俊高等傳熱學高等傳熱學代入定解代入定解條件可得：條件可得： erfcaxerfww)4(1 原問題解為通解為：通解為：)exp(dd21Cz再積分得：再積分得：2021)exp(CdCwwCC21/2duuerf)exp(2)(02高斯誤差函數(shù)華北電力大學華北電力大學梁秀俊梁秀俊高等傳熱學高等傳熱學 erfaxerfttttw

23、w)4(00 duuerferfc)exp(21)(1020tt 取wtt 取 erfcaxerfcttttww)4(00華北電力大學華北電力大學梁秀俊梁秀俊高等傳熱學高等傳熱學 erfaxerfttttww)4(00當當=2時時 ，當，當 ,該該x處的處的溫度仍保持初始溫度溫度仍保持初始溫度. .99532. 0/022axa4對于一塊初始溫度均勻厚度為對于一塊初始溫度均勻厚度為的平板，當其中一個的平板，當其中一個側面的溫度突然變化到某一恒定溫度時，如果側面的溫度突然變化到某一恒定溫度時，如果則在則在時刻之前該平板的非穩(wěn)態(tài)導熱過程可以采用半時刻之前該平板的非穩(wěn)態(tài)導熱過程可以采用半無限大物體模

24、型處理。無限大物體模型處理。華北電力大學華北電力大學梁秀俊梁秀俊高等傳熱學高等傳熱學據(jù)此可求得據(jù)此可求得任意位置任意時刻的熱流密度任意位置任意時刻的熱流密度 壁面處的熱流密度壁面處的熱流密度)4exp(),(2axaxqwrcqww erfcaxerfcttttww)4(00如果半無限大物體為第二類或第三類邊界條件，溫如果半無限大物體為第二類或第三類邊界條件，溫度分布如何？度分布如何？華北電力大學華北電力大學梁秀俊梁秀俊高等傳熱學高等傳熱學練習練習 如果受冷空氣侵襲，初始處于如果受冷空氣侵襲，初始處于20的均勻溫的均勻溫度的土壤，地表突然降至度的土壤，地表突然降至-15并保持不變，試確并保持不變，試確定地下定地下1m處溫度降到處溫度降到0需要多長時間？需要多長時間？華北電力大學華北電力大學梁秀俊梁秀俊高等傳熱學高等傳熱學三、積分方程求解三、積分方程求解