滬教版（上海）八年級(jí)第一學(xué)期數(shù)學(xué) 19.4 線段的垂直平分線教案

1、19.4 線段的垂直平分線 教案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理，會(huì)畫(huà)已知線段的垂直平分線2能運(yùn)用線段的垂直平分線的性質(zhì)理及其逆定理解決簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題及實(shí)際問(wèn)題【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、線段的垂直平分線定義經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線線段垂直平分線的尺規(guī)作圖求做線段AB的垂直平分線作法： （1）分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于C，D兩點(diǎn)； （2）作直線CD，CD即為所求直線要點(diǎn)詮釋：作弧時(shí)的半徑必須大于AB的長(zhǎng)，否則就不能得到交點(diǎn)了要點(diǎn)二、線段的垂直平分線定理線段的垂直平分線定理線段垂直平分線上的任意

2、一點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等要點(diǎn)詮釋： 線段的垂直平分線定理也就是線段垂直平分線的性質(zhì)，是證明兩線段相等的常用方法之一同時(shí)也給出了引輔助線的方法，那就是遇見(jiàn)線段的垂直平分線，畫(huà)出到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離，這樣就出現(xiàn)相等線段，直接或間接地為構(gòu)造全等三角形創(chuàng)造條件要點(diǎn)三、線段的垂直平分線逆定理線段的垂直平分線逆定理和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上要點(diǎn)詮釋：到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)組成了線段的垂直平分線，也就是線段的垂直平分線可以看做是和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的集合三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)到三角形三頂點(diǎn)的距離相等，這點(diǎn)是三角形外接圓的圓心外心【典型例題

3、】類型一、線段的垂直平分線定理例題1、如圖，在ABC中，AC的垂直平分線分別交AC、BC于E，D兩點(diǎn)，EC=4，ABC的周長(zhǎng)為23，則ABD的周長(zhǎng)為（）A13B15C17D19【思路點(diǎn)撥】根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出AD=DC，AE=CE=4，求出AC=8，AB+BC=15，求出ABD的周長(zhǎng)為AB+BC，代入求出即可【答案與解析】解：AC的垂直平分線分別交AC、BC于E，D兩點(diǎn)，AD=DC，AE=CE=4，即AC=8，ABC的周長(zhǎng)為23，AB+BC+AC=23，AB+BC=238=15，ABD的周長(zhǎng)為AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=15，故選B【總結(jié)升華】本題考查了線段垂直平分線

4、性質(zhì)的應(yīng)用，能熟記線段垂直平分線性質(zhì)定理的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等舉一反三：【變式1】如圖，在ABC中，AB=AC，A=36°，AB的垂直平分線DE交AC于D，交AB于E，下述結(jié)論錯(cuò)誤的是（）ABD平分ABC BBCD的周長(zhǎng)等于AB+BCCAD=BD=BC D點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn)【答案】D；提示:根據(jù)等邊對(duì)等角、三角形內(nèi)角和定理及線段垂直平分線的性質(zhì)定理即可推得選項(xiàng)A、B、C正確；所以選D,另外，注意排除法在解選擇題中的應(yīng)用【變式2】如圖，ABC中，BC=7，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)D、E，AC的垂直平分線分別交AC、BC于點(diǎn)

5、F、G求AEG的周長(zhǎng)【答案】解：DE為AB的中垂線，AE=BE，F(xiàn)G是AC的中垂線，AG=GC，AEG的周長(zhǎng)等于AE+EG+GA，分別將AE和AG用BE和GC代替得：AEG的周長(zhǎng)等于BE+EG+GC=BC，所以AEG的周長(zhǎng)為BC的長(zhǎng)度即7類型二、線段的垂直平分線逆定理例題2、如圖，已知AB=AC,ABD=ACD，求證AD是線段BC的垂直平分線【答案與解析】證明： AB=AC（已知）ABC=ACB (等邊對(duì)等角) 又ABD=ACD (已知) ABD-ABC =ACD-ACB (等式性質(zhì)) 即 DBC=DCB DB=DC （等角對(duì)等邊） AB=AC（已知）DB=DC（已證） 點(diǎn)A和點(diǎn)D都在線段BC

6、的垂直平分線上（和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上） AD是線段BC的垂直平分線?！究偨Y(jié)升華】本題需要注意的是對(duì)于線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理的應(yīng)用，部分學(xué)生可能錯(cuò)誤地認(rèn)為“因?yàn)榈骄€段兩端距離相等的點(diǎn)在線段垂直平分線上，所以已知AB=AC就可以說(shuō)明AD是線段BC的垂直平分線了”，但卻忽略了兩點(diǎn)才確定一條直線，所以只有當(dāng)AB=AC，DB=DC時(shí)，才能說(shuō)明AD是線段BC的垂直平分線【變式】如圖，P是MON的平分線上的一點(diǎn)，PAOM,PBON,垂足分別為A、B求證：PO垂直平分AB【答案與解析】證明：OP是角平分線，AOP=BOPPAOM,PBON,OAP=OBP=90

7、76;在AOP 和BOP中AOPBOP（AAS）OA=OBPO垂直平分AB（和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上）類型三、線段的垂直平分線定理與逆定理綜合應(yīng)用例題3、已知：如圖，AB=AC，DB=DC，E是AD上一點(diǎn) 求證：BE=CE 【答案與解析】證明：連結(jié)BCABAC，DBDC點(diǎn)A、D在線段BC的垂直平分線上（和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上） AD是線段BC的垂直平分線，點(diǎn)E在AD上， BE=CE（線段垂直平分線上的任意一點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等） 【總結(jié)升華】本例綜合運(yùn)用了線段垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理，通過(guò)本例要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用這兩個(gè)

8、定理解決幾何問(wèn)題，性質(zhì)定理可以用來(lái)證明線段相等，本題中要注意必須有和已知線段兩端距離相等的兩個(gè)點(diǎn)才能確定垂直平分線這條直線例題4、如圖RtABC中，ABC=90°，D是AB邊上的點(diǎn)，AD的垂直平分線EF交AC于E，垂足為F，ED的延長(zhǎng)線與CB的延長(zhǎng)交于點(diǎn)G求證：點(diǎn)E在GC的垂直平分線上【答案與解析】證明：EF垂直平分ADAE=DEA=FDE=GDBABC=90°C+A=90°G+GDB=90°G+A=90°G=CGE=CE點(diǎn)E在GC的垂直平分線上【總結(jié)升華】綜此題同樣是綜合運(yùn)用了線段垂直平分線的定理及逆定理，同時(shí)注意，在三角形中，當(dāng)給出一個(gè)角是90°時(shí)，另外兩角的和也是90°，是在直角三角形中推導(dǎo)角時(shí)經(jīng)常用到的方法類型四、實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題例題5、某旅游景區(qū)內(nèi)有一塊三角形綠地ABC，如圖所示，現(xiàn)要在道路AB的邊緣