人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 平行四邊形講義 中位線及矩形

1、第10講 中位線、矩形第一部分 知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一：三角形中位線三角形的中位線的定義：連結(jié)三角形兩邊_叫做三角形的中位線三角形中位線性質(zhì)：三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半知識(shí)點(diǎn)二：基本概念 1、矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形。 2、基本性質(zhì)： （1）角：矩形的四個(gè)內(nèi)角都是直角； （2）邊：矩形的對(duì)邊平行且相等； （3）對(duì)角線：矩形的對(duì)角線相等且互相平分； （4）對(duì)稱性：矩形是軸對(duì)稱圖形，中心對(duì)稱圖形，旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形； （5）面積：S=長(zhǎng)×寬。知識(shí)點(diǎn)三：矩形的判定方法 （1）有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形； （2）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形； （3）對(duì)角

2、線相等的平行四邊形是矩形； （4）對(duì)角線相等且互相平分的是矩形。知識(shí)點(diǎn)四：直角三角形中線的性質(zhì)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。第二部分 考點(diǎn)精講精練考點(diǎn)1、中位線例1、如圖，D，E，F(xiàn)分別為ABC三邊的中點(diǎn)，則圖中平行四邊形的個(gè)數(shù)為_例2、如圖，在ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，OE3cm，則AD的長(zhǎng)是_cm例3、如圖，已知四邊形ABCD中，R、P分別是BC、CD上的點(diǎn)，E、F分別是AP、RP的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在CD上從C向D移動(dòng)而點(diǎn)R不動(dòng)時(shí)，那么下列結(jié)論成立的是（ ） A、線段EF的長(zhǎng)逐漸增大 B、線段EF的長(zhǎng)逐漸減小 C、線段EF的長(zhǎng)不變 D、線段EF的長(zhǎng)與點(diǎn)P （例

3、1） （例2） （例3）例4、如圖，四邊形ABCD中，一組對(duì)邊AB=DC=4，另一組對(duì)邊ADBC，對(duì)角線BD與邊DC互相垂直，M、N、H分別是AD、BC、BD的中點(diǎn)，且ABD=30°求：（1）MH的長(zhǎng) ； （2）MN的長(zhǎng)。例5、已知：如圖，E為ABCD中DC邊的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CEDC，連結(jié)AE分別交BC、BD于點(diǎn)F、G，連結(jié)AC交BD于O，連結(jié)OF求證：AB2OF舉一反三：1、如圖，已知ABC的周長(zhǎng)為1，連結(jié)ABC三邊的中點(diǎn)構(gòu)成第二個(gè)三角形，再連結(jié)第二個(gè)三角形三邊的中點(diǎn)構(gòu)成第三個(gè)三角形，依此類推，第2019個(gè)三角形的周長(zhǎng)為 。2、如圖所示，在ABC中，AC=6cm，BC=8cm，

4、AB=10cm，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，求DEF的面積3、如圖：已知D、E、F分別是ABC各邊的中點(diǎn)，求證：AE與DF互相平分4、如圖所示，已知在ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，求證：MNBC5、如圖，已知四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AB、CD、AC、BD的中點(diǎn)，并且點(diǎn)E、F、G、H有在同一條直線上求證：EF和GH互相平分6、如圖所示，在ABCD中，EFAB且交BC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，連接AE，BF交于點(diǎn)M，連接CF，DE交于點(diǎn)N，求證：MNAD且MN=AD考點(diǎn)2、矩形的性質(zhì)例1、若順次連結(jié)一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的圖形是矩形，那么這個(gè)四邊形的對(duì)角線（ ）

5、 A、互相垂直 B、相等 C、互相平分 D、互相垂直且相等例2、如圖所示，O為矩形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)，DF平分ADC交AC于E，BC于F，BDF=15°，則COF=_例3、如圖，矩形的面積為，順次連結(jié)各邊中點(diǎn)得到四邊形，再順次連結(jié)四邊形四邊中點(diǎn)得到四邊形，依此類推，求四邊形的面積是 。 （例2） （例3）例4、如圖，已知矩形ABCD ，一條直線將該矩形 ABCD 分割成兩個(gè)多邊形，若這兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和分別為 M 和 N ，則 M + N 不可能是（ ）A . 360 B . 540 C. 720 D . 630例5、如圖，ABCD是矩形紙片，翻折B、D，使BC、AD恰好落在AC上

6、。設(shè)F、H分別是B、D落在AC上的兩點(diǎn)，E、G分別是折痕CE、AG與AB、CD的交點(diǎn)。 （1）求證：四邊形AECG是平行四邊形； （2）若AB4cm，BC3cm，求線段EF的長(zhǎng)舉一反三：1、如圖，矩形ABCD中，E點(diǎn)在BC上，且AE平分BAC若BE=4，AC=15，則AEC面積為（） A、15 B、30 C、45 D、602、矩形的兩邊長(zhǎng)分別為10cm和15cm，其中一個(gè)內(nèi)角平分線分長(zhǎng)邊為兩部分，這兩部分分別為（     ）  A、6cm和9cm        B、5cm和1

7、0cm         C、4cm和11cm         D、7cm和8cm3、矩形ABCD的兩對(duì)角線AC與BD相交于O點(diǎn)，AOB=2BOC，若對(duì)角線AC的長(zhǎng)為18 cm，則AD=     cm。4、如圖，四邊形ABCD是矩形，PBC和QCD都是等邊三角形，且點(diǎn)P在矩形上方，點(diǎn)Q在矩形內(nèi)求證：（1）PBA=PCQ=30°； （2）PA=PQ考點(diǎn)3、矩形判定例1、已知：如圖，

8、在ABC中，BAC=90°，DE、DF是ABC的中位線，連接EF、AD求證：EF=AD例2、設(shè)凸四邊形ABCD的4個(gè)頂點(diǎn)滿足條件：每一點(diǎn)到其他3點(diǎn)的距離之和都要相等試判斷這個(gè)四邊形是什么四邊形?例3、如圖，在ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過A點(diǎn)作BC的平行線交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且AF=BD，連接BF（1）試判斷線段BD與CD的大小關(guān)系；（2）如果AB=AC，試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結(jié)論；例4、如圖，ABCD中，AE、BF、CG、DH分別是各內(nèi)角的平分線，E、F、G、H為它們的交點(diǎn)，求證：四邊形EFGH的矩形。DACBHGFE例5、如圖，在RtABC中，

9、C=90°，E、O是邊AC，AB上的中點(diǎn)，BFAC，連接EO交BE于F（1）求證：AOEBOF；（2）求證：四邊形BCEF是矩形舉一反三：1、在四邊形ABCD中，ADBC，B=C，要使四邊形ABCD為矩形，還需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以 2、已知：如圖，平行四邊形ABCD的四個(gè)內(nèi)角的平分線分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，求證：四邊形EFGH是矩形。 3、如圖，在矩形 ABCD 中，AB = 20 cm，BC = 4 cm動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) A 開始沿 AB 邊以 4 cm/s 的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn) Q 從點(diǎn) C 開始沿 CD 邊以 1 cm/s 的速度運(yùn)動(dòng)點(diǎn) P 和點(diǎn) Q 分別從點(diǎn) A

10、 和點(diǎn) C 同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)設(shè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t s，（1）當(dāng)t=1秒時(shí),四邊形APQD的面積是多少？（2）當(dāng) t 為何值時(shí)，四邊形 APQD 是矩形？4、如圖，在ABC中，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，四邊形ABDE是平行四邊形求證：四邊形ADCE是矩形5、在ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，連接AF、CE（1）求證：BECDFA；（2）連接AC，當(dāng)CA=CB時(shí)，判斷四邊形AECF是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論考點(diǎn)4：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半例1、如圖，BE和AD是ABC的高，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，則圖中的三角形一定是等腰三角形的有（） A、

11、2個(gè) B、3個(gè) C、4個(gè) D、5個(gè)例2、如圖所示，BD、CE是三角形ABC的兩條高，M、F分別是BC、DE的中點(diǎn)。 求證：MNDE例3、過矩形ABCD對(duì)對(duì)角線AC的中點(diǎn)O作EFAC分別交AB、DC于E、F，點(diǎn)G為AE的中點(diǎn)，若AOG30o 求證：OG=DC例4、如圖，四邊形ABCD中，DAB=DCB=90o，點(diǎn)M、N分別是BD、AC的中點(diǎn)。MN、AC的位置關(guān)系如何？證明你的猜想。例5、如圖，已知：ABC中，AD是高，CE是中線，DC=BE，DGCE，G是垂足求證：（1）G是CE的中點(diǎn)； （2）B=2BCE舉一反三：1、在ABC中， ACB=90 °，CE是AB邊上的中線，那么與CE相

12、等的線段有_，與A相等的角有_，若A=35°，那么ECB= _。2、如圖，在RtABC中，ACB=90°，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，DEAC，垂足為E，若BC=4，CD= ，則BE的長(zhǎng)為（） A、 B、 C、 D、3、如圖，M是RtABC斜邊AB上的中點(diǎn)，D是邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，B=2D，AB=16cm，求線段CD的長(zhǎng)ABMCD4、如圖，在RtABC中，CD是斜邊上的中線，CE是高已知AB=10cm，DE=2.5cm（1）求：BDC的度數(shù)；（2）求BCD的面積5、如圖所示；過矩形ABCD的頂點(diǎn)A作一直線，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，連接FC、FD。求證：FDA=FCB

13、第三部分 課堂小測(cè)1、矩形具有而一般的平行四邊形不具有的性質(zhì)是（ ） A、對(duì)角相等 B、對(duì)角線相等 C、對(duì)邊相等 D、對(duì)角線互相平分2、如圖，ABC中，C=90°，D在CB上，E為AB之中點(diǎn)，AD、CE相交于F，且AD=DB若B=20°，則DFE=（） A、40° B、50° C、60° D、70°3、如圖，ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分BAC交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，連接DE，則CDE的周長(zhǎng)為（） A、20 B、12 C、14 D、134、在矩形ABCD中, 對(duì)角線交于O點(diǎn)，AB=0.6, BC=0.8, 那么

14、AOB的面積為 ; 周長(zhǎng)為 .5、已知，矩形的一條邊上的中點(diǎn)與對(duì)邊的兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直，且該矩形的周長(zhǎng)為24 cm，則矩形的面積為 cm2。6、如圖所示，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，AD的中點(diǎn)，則四邊形EFGH是平行四邊形嗎？為什么？7、如圖，將矩形ABCD沿著直線BD折疊使點(diǎn)C落在點(diǎn) C處，BC交AD于E，AD=8，AB=4，BE=5,求BED的面積。8、如圖所示，A，B兩點(diǎn)被池塘隔開，在A，B外選一點(diǎn)C，連接AC和BC，并分別找出AC和BC的中點(diǎn)M，N，如果測(cè)得MN=20m，那么A，B兩點(diǎn)間的距離是多少？9、如圖,AD/BC,AB=DC,BDC=

15、BAC=90°,BC=2AD=4CM,E是BC中點(diǎn) 問：（1）求ADE周長(zhǎng) （2）ADE是什么三角形?說明理由. （3）線段AC與DE有什么關(guān)系?10、如圖在ABC中，D、E分別為AB、AC上的點(diǎn)，且BDCE，M、N分別是BE、CD的中點(diǎn)過MN的直線交AB于P，交AC于Q，線段AP、AQ相等嗎?為什么?第四部分 提高訓(xùn)練1、如圖所示，在ABCD中，AB=2AD，A=60°，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，EF=1cm，那么對(duì)角線BD的長(zhǎng)度是多少？你是怎樣得到的？2、如圖所示，在ABC中，E為AB的中點(diǎn)，CD平分ACB，ADCD于點(diǎn)D試說明：（1）DEBC ； （2）DE=（B

16、C-AC）3、如圖，ABC中，B=2C，AD為BC邊上的高，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)求證：DE=AB4、（1）如圖1，四邊形ABCD是矩形，E為AD上一點(diǎn)，且BE=ED，P為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，PFBE于點(diǎn)F，PGAD于點(diǎn)G判斷PF、PG和AB的數(shù)量關(guān)系并說明理由（2）如圖2，當(dāng)四邊形ABCD變?yōu)槠叫兴倪呅?，其他條件不變，若ABC=60°，判斷PF、PG和AB的數(shù)量關(guān)系并說明理由（3）如圖3，當(dāng)四邊形ABCD滿足ABD=90°，AB=3，BD=4，其它條件不變，判斷PF、PG和AB的數(shù)量關(guān)系并說明理由第五部分 課后作業(yè)1、如果矩形的一條對(duì)角線與一邊的夾角為40°那么兩條對(duì)角

17、線所夾銳角的度數(shù)為_2、矩形中，對(duì)角線、交于點(diǎn)，于若則 3、如圖，在ABC中，ABC=90°，AB=8，BC=6若DE是ABC的中位線，延長(zhǎng)DE交ABC的外角ACM的平分線于點(diǎn)F，則線段DF的長(zhǎng)為（ ） A、7 B、8 C、9 D、10 4、如圖，已知OP平分AOB，AOB=60°，CP=2，CPOA，PDOA于點(diǎn)D，PEOB于點(diǎn)E如果點(diǎn)M是OP的中點(diǎn)，則DM的長(zhǎng)是（ ） A、2 B、 C、 D、2 （3） （4）5、已知AD是三角形ABC的中線，E是AD中點(diǎn)，F(xiàn)是BE的延長(zhǎng)線與AC的交點(diǎn)。求證:AF =FC6、如圖，在等腰直角ABC中，ABBC ，點(diǎn)E在AB上，DEAC，

18、DE交AC于點(diǎn)D，M是EC的中點(diǎn)，求證：（1）MBD是等腰三角形；（2）將DEA繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在AB上，如圖（2）中的“MBD為等腰直角三角形”仍然成立嗎？請(qǐng)說明理由7、在等邊ABC中，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，以AD為邊作等邊ADE（1）求CAE的度數(shù)；（2）取AB邊的中點(diǎn)F，連接CF、CE，試證明四邊形AFCE是矩形8、如圖，平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，延長(zhǎng)OA到N，ON=OB，再延長(zhǎng)OC至M，使CM=AN，求證：四邊形NDMB為矩形9、如圖所示，ABC中，點(diǎn)O是AC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MNBC，設(shè)MN交BCA的平分線于E，交BCA的外角平分線于點(diǎn)F.（1

19、）求證：EO=FO（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？并證明你的結(jié)論.第10講 中位線、矩形參考答案第二部分 考點(diǎn)精講精練考點(diǎn)1、中位線例1、3 例2、6例3、C例4、由勾股定理 ：例5、舉一反三：1、2、3、4、5、6、考點(diǎn)2、矩形的性質(zhì)例1、A例2、75°例3、例4、D例5、舉一反三：1、B2、B3、94、考點(diǎn)3、矩形判定例1、證明：DE，DF是ABC的中位線，DEAB，DFAC，四邊形AEDF是平行四邊形，又BAC=90°，平行四邊形AEDF是矩形，EF=AD例2、例3、例4、例5、舉一反三：1、略 （符合條件即可）2、3、（1）當(dāng)t=1秒時(shí),四邊形APQD的面積是462；4、5、考點(diǎn)4：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半例1、D例2、例3、例4、例5、舉一反三：1、AE，BE ； ACE ； 55°2、D3、4、5、解：連接BF。 矩形ABCD ADBC <DAE=<AEB 點(diǎn)F是AE的中點(diǎn) BF=1/2 AE=AF （RT斜邊上的中線等于斜邊的一半） AD=BC  (矩形的對(duì)邊相等） ADFBCF （SAS) <FDA=<FCB （全等三角形對(duì)應(yīng)邊