高中數(shù)學(xué)必修⑤22《等差數(shù)列》教學(xué)設(shè)計(jì)

1、課題：必修2.2等差數(shù)列三維目標(biāo)： 1知識與技能（1）通過實(shí)例，理解等差數(shù)列、公差的概念，明確一個數(shù)列是等差數(shù)列的限定條件；（2）了解等差數(shù)列的各種表示法，能靈活運(yùn)用通項(xiàng)公式求等差數(shù)列的首項(xiàng)、公差、 項(xiàng) 數(shù)、指定的項(xiàng)；（3）體會等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系。2過程與方法（1）讓學(xué)生對日常生活中實(shí)際問題分析，經(jīng)歷等差數(shù)列的簡單產(chǎn)生過程和應(yīng)用等差數(shù)列的基本知識解決問題的過程。并引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，推導(dǎo)，歸納抽象出等差數(shù)列的概念； （2）引導(dǎo)學(xué)生建立等差數(shù)列模型用相關(guān)知識解決一些簡單的實(shí)際問題，在合作探究的過程中，通過類比函數(shù)概念、性質(zhì)、表達(dá)式得到對等差數(shù)列相應(yīng)問題的研究；（3）培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，進(jìn)一步

2、提高學(xué)生的推理歸納能力；（4）培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力及鉆研精神，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣以及解題的規(guī)范性。3情態(tài)與價值觀（1）通過等差數(shù)列概念的歸納概括，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析資料的能力，積極思維，追求新知的創(chuàng)新意識；（2）借助函數(shù)的背景和研究方法來研究有關(guān)數(shù)列的問題，可以進(jìn)一步讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)知識間的聯(lián)系，培養(yǎng)用已知去研究未知的能力。形成學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的思維和意識，培養(yǎng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，為遠(yuǎn)大的志向而不懈奮斗；（3）通過對數(shù)列知識的學(xué)習(xí)及探索，不斷培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)、主動探索、善于反思、勤于總結(jié)的科學(xué)態(tài)度和鍥而不舍的鉆研精神，并提高參與意識和合作精神，并進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生研究和發(fā)現(xiàn)能力，

3、讓學(xué)生在探究中體驗(yàn)愉悅的成功體驗(yàn)。 教學(xué)重點(diǎn)：1理解等差數(shù)列的概念及其性質(zhì)，探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；2會用公式解決一些簡單的問題，體會等差數(shù)列與一次函數(shù)之間的聯(lián)系。教學(xué)難點(diǎn)：1概括通項(xiàng)公式推導(dǎo)過程中體現(xiàn)出的數(shù)學(xué)思想方法。 2等差數(shù)列通項(xiàng)公式及性質(zhì)的靈活運(yùn)用教 具：多媒體、實(shí)物投影儀教學(xué)方法：合作探究、分層推進(jìn)教學(xué)法教學(xué)過程：一、 雙基回眸 科學(xué)導(dǎo)入：同學(xué)們，上兩節(jié)課我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的定義及相關(guān)的性質(zhì)，下面，請同學(xué)們簡單地回顧一下： 什么是數(shù)列？什么是數(shù)列的項(xiàng)？ 數(shù)列有幾種分類方法？ 什么是數(shù)列的通項(xiàng)公式？什么是數(shù)列的遞推公式？在日常生活中，我們經(jīng)常會遇到一類特殊的數(shù)列。如：由學(xué)生觀察分析并

4、得出答案：在現(xiàn)實(shí)生活中，我們經(jīng)常這樣數(shù)數(shù)，從0開始，每隔5數(shù)一次，可以得到數(shù)列：0，5，_,_,_,_,2000年，在澳大利亞悉尼舉行的奧運(yùn)會上，女子舉重被正式列為比賽項(xiàng)目。該項(xiàng)目共設(shè)置了7個級別。其中較輕的4個級別體重組成數(shù)列（單位：kg）：48，53，58，63。水庫的管理人員為了保證優(yōu)質(zhì)魚類有良好的生活環(huán)境，用定期放水清理水庫的雜魚。如果一個水庫的水位為18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么從開始放水算起，到可以進(jìn)行清理工作的那天，水庫每天的水位組成數(shù)列（單位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5我國現(xiàn)行儲蓄制度規(guī)定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息

5、加入本金計(jì)算下一期的利息。按照單利計(jì)算本利和的公式是：本利和=本金×（1+利率×寸期）.例如，按活期存入10 000元錢，年利率是0.72%。那么按照單利，5年內(nèi)各年末的本利和分別是：時間年初本金（元）年末本利和（元）第1年10 00010 072第2年10 00010 144第3年10 00010 216第4年10 00010 288第5年10 00010 360各年末的本利和（單位：元）組成了數(shù)列：10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360。思考：同學(xué)們觀察一下上面的這四個數(shù)列：0，5，10，15，20， 48，53，58，63 18，15.

6、5，13，10.5，8，5.5 10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360 看這些數(shù)列有什么共同特點(diǎn)呢？今天，我們就來探究這類數(shù)列：二、 創(chuàng)設(shè)情境 合作探究：通過上面的四個實(shí)例，同學(xué)們觀察相鄰兩項(xiàng)間的關(guān)系回答、探究下列問題： 對于數(shù)列，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于 ； 對于數(shù)列，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于 ； 對于數(shù)列，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于 ； 對于數(shù)列，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于 ；總結(jié)歸納得到等差數(shù)列的概念：一般地，如果一個數(shù)列 ，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列。 叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。那么對于以上四組

7、等差數(shù)列，它們的公差依次是 ， ， ， 。如果在與中間插入一個數(shù)A，使，A，成等差數(shù)列數(shù)列，那么A應(yīng)滿足什么條件？ 等差中項(xiàng)概念：由三個數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成最簡單的等差數(shù)列，這時，A叫做a與b的 。等差數(shù)列的通項(xiàng)公式（1）對于以上的等差數(shù)列，它們的通項(xiàng)公式存在嗎？如果存在，分別是什么？ （2）如果任意給了一個等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差d，它的通項(xiàng)公式是什么呢？根據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行歸納： 所以 由此我們可以得出：以為首項(xiàng)，d為公差的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為： 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的其他推導(dǎo)方法：1、（迭加法）： 是等差數(shù)列，所以 兩邊分別相加得 所以 2、（迭代法）：是等差數(shù)列，則有 所以

8、【小試牛刀】1、判定下列數(shù)列是否可能是等差數(shù)列？如果是，寫出通項(xiàng)公式（1） 9 ，8，7，6，5，4，；（2） 1，1，1，1，；（3） 1，0，1，0，1，；（4） 1，2，3，2，3，4，；（5） a, a, a, a, ；（6） 0，0，0，0，0，0，.2、在等差數(shù)列an中，1）已知a1=2,d=3,n=10,求an2）已知a1=3,an=21,d=2,求n3）已知a1=12,a6=27,求d4）已知d=,a7=8,求a1三、互動達(dá)標(biāo) 鞏固所學(xué)：問題.1求等差數(shù)列8，5，2，的第20項(xiàng).-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13，的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？【分析】要求出第20項(xiàng)，可以利用通

9、項(xiàng)公式求出來。首項(xiàng)知道了，還需要知道的是該等差數(shù)列的公差，由公差的定義可以求出公差； 這個問題可以看成是上面那個問題的一個逆問題。要判斷這個數(shù)是不是數(shù)列中的項(xiàng)，就是要看它是否滿足該數(shù)列的通項(xiàng)公式，并且需要注意的是，項(xiàng)數(shù)是否有意義?！窘馕觥坑?8，d=5-8=-3，n=20，得 由=-5，d=-9-（-5）=-4，得這個數(shù)列的通項(xiàng)公式為由題意知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n,使得-401=-4n-1成立。 解這個關(guān)于n的方程，得n=100，即-401是這個數(shù)列的第100項(xiàng)?！军c(diǎn)評】從該例題中可以看出，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式其實(shí)就是一個關(guān)于、d、n（獨(dú)立的量有3個）的方程；另外，要懂得利用通項(xiàng)公式來判

10、斷所給的數(shù)是不是數(shù)列中的項(xiàng)，當(dāng)判斷是第幾項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)時還應(yīng)看求出的項(xiàng)數(shù)是否為正整數(shù)，如果不是正整數(shù)，那么它就不是數(shù)列中的項(xiàng)。問題.2某市出租車的計(jì)價標(biāo)準(zhǔn)為1.2元/km，起步價為10元，即最初的4km（不含4千米）計(jì)費(fèi)10元。如果某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地，且一路暢通，等候時間為0，需要支付多少車費(fèi)？【分析】此題是一個實(shí)際問題，首先搞清題意，然后提取數(shù)學(xué)信息進(jìn)行分析，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，本題顯然是一個等差數(shù)列的模型【解析】解：根據(jù)題意，當(dāng)該市出租車的行程大于或等于4km時，每增加1km，乘客需要支付1.2元.所以，我們可以建立一個等差數(shù)列來計(jì)算車費(fèi). 令=11.2，表示4km處的車

11、費(fèi)，公差d=1.2。那么當(dāng)出租車行至14km處時，n=11，此時需要支付車費(fèi) 答：需要支付車費(fèi)23.2元?！军c(diǎn)評】這是等差數(shù)列用于解決實(shí)際問題的一個簡單應(yīng)用，要學(xué)會從實(shí)際問題中抽象出等差數(shù)列模型，用等差數(shù)列的知識解決實(shí)際問題。問題.3已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為其中p、q為常數(shù)，且p0，那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？【分析】判定是不是等差數(shù)列，可以利用等差數(shù)列的定義，也就是看（n1）是不是一個與n無關(guān)的常數(shù)?！窘馕觥咳?shù)列中的任意相鄰兩項(xiàng)（n1），求差得 它是一個與n無關(guān)的數(shù).所以是等差數(shù)列。思考：這個等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差分別是多少？這個數(shù)列的首項(xiàng)。由此我們可以知道對于通項(xiàng)公式是形如的數(shù)列，一定是等差

12、數(shù)列，一次項(xiàng)系數(shù)p就是這個等差數(shù)列的公差，首項(xiàng)是p+q.【點(diǎn)評】通過這個例題我們知道判斷一個數(shù)列是否是等差數(shù)列的方法：如果一個數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于正整數(shù)n的一次型函數(shù)，那么這個數(shù)列必定是等差數(shù)列?！咎骄俊恳龑?dǎo)學(xué)生動手畫圖研究完成以下探究：在直角坐標(biāo)系中，畫出通項(xiàng)公式為的數(shù)列的圖象。這個圖象有什么特點(diǎn)？在同一個直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=3x-5的圖象，你發(fā)現(xiàn)了什么？據(jù)此說一說等差數(shù)列與一次函數(shù)y=px+q的圖象之間有什么關(guān)系?！痉治觥縩為正整數(shù)，當(dāng)n取1，2，3，時，對應(yīng)的可以利用通項(xiàng)公式求出。經(jīng)過描點(diǎn)知道該圖象是均勻分布的一群孤立點(diǎn)；畫出函數(shù)y=3x-5的圖象一條直線后發(fā)現(xiàn)數(shù)列的圖象（點(diǎn)）在直

13、線上，數(shù)列的圖象是改一次函數(shù)當(dāng)x在正整數(shù)范圍內(nèi)取值時相應(yīng)的點(diǎn)的集合。于是可以得出結(jié)論：等差數(shù)列的圖象是一次函數(shù)y=px+q的圖象的一個子集，是y=px+q定義在正整數(shù)集上對應(yīng)的點(diǎn)的集合。該處還可以引導(dǎo)學(xué)生從等差數(shù)列中的p的幾何意義去探究。四、思悟小結(jié)：知識線：（1）等差數(shù)列的概念；（2）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）等差中項(xiàng)的概念。思想方法線： （1）公式法或定義法 ； （2）建模思想方法；（3）函數(shù)的思想方法。題目線：（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，解決相關(guān)的基本問題；（2）判斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列； （3）關(guān)于等差數(shù)列的實(shí)際問題。 五、針對訓(xùn)練 鞏固提高： 1、等差數(shù)列的相鄰四項(xiàng)是a+1,a+

14、3,b,a+b,那么a,b的值分別是( )A.2,7 B.1,6 C.0,5 D.無法確定2、若，成等差數(shù)列，則x得值為（ ）A7或-3 B. C. D.43、（1）求等差數(shù)列3，7，11，的第4項(xiàng)與第10項(xiàng)（2）101是不是等差數(shù)列2，9，16，的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？4、（1）在等差數(shù)列an中，已知a5=10,a12=31,求首項(xiàng)a1與公差d. （2）.在等差數(shù)列an中，已知a3=9,a9=3,求a125、一個首項(xiàng)為23，公差為整數(shù)的等差數(shù)列，如果前六項(xiàng)均為正數(shù)，第七項(xiàng)起為負(fù)數(shù)，則它的公差是多少？6、已知無窮an中,首項(xiàng)為a1，公差為d,其中 （1）數(shù)列中，第n項(xiàng)與第m項(xiàng)有什么關(guān)系？（2）若m+n=p+q，則數(shù)列中的第m，n，p，q項(xiàng)有什么關(guān)系？7、已知一個無窮等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d： （1）將數(shù)列中的前m項(xiàng)去掉，其余各