同濟大學(高等數(shù)學)-第十章-重積分

1、第十章重積分一元函數(shù)積分學中，我們曾經(jīng)用和式的極限來定義一元函數(shù)f x在區(qū)間a,b上的定積分，并已經(jīng)建立了定積分理論，本章將把這一方法推廣到多元函數(shù)的情形，便得到重積分的概念.本章主要講述多重積分的概念、性質(zhì)、計算方法以與應(yīng)用第1節(jié)二重積分的概念與性質(zhì)1.1二重積分的概念F面我們通過計算曲頂柱體的體積和平面薄片的質(zhì)量，引出二重積分的定義1.1.1. 曲頂柱體的體積曲頂柱體 是指這樣的立體，它的底是xOy平面上的一個有界閉區(qū)域D，其側(cè)面是以D的邊界為準線的母線平行于z軸的柱面，其頂部是在區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)z f x,y，且分析這個問題，我們看到它與求曲邊梯形的面積問題是類似的.可以用與定積分類似

2、的方法即分割、近似代替、求和、取極限的方法來解決圖10 2.圖 102t(1) 分割閉區(qū)域D為n個小閉區(qū)域2、同時也用表示第i個小閉區(qū)域的面積，用 d表示區(qū)域 厶申的直徑一個閉區(qū)域的直徑是指閉區(qū)域上任意兩點間距離的最大值，相應(yīng)地此曲頂柱體被分為 n個小曲頂柱體(2) 在每個小閉區(qū)域上任取一點 n ，$，n ， E，n對第i個小曲頂柱體的體積，用高為f ( E，n)而底為申的平頂柱體的體積來近似代替(3) 這n個平頂柱體的體積之和nf ( i, i) ii 1就是曲頂柱體體積的近似值用入表示n個小閉區(qū)域的直徑的最大值，即入maxd當入0 (可理解為1 i n收縮為一點)時，上述和式的極限，就是曲

3、頂柱體的體積：nV li叫f( i, i) i.i 1平面薄片的質(zhì)量設(shè)薄片在 xOy平面占有平面閉區(qū)域D，它在點(x, y)處的面密度是p p(x , y).設(shè)(x, y) 0且在D上連續(xù),先分割閉區(qū)域 D為n個小閉區(qū)域1，2,， n在每個小閉區(qū)域上任取一點近似地，以點(E, n)處的面密度 p E n)代替小閉區(qū)域 X上各點處的面密度， 那么得到第i塊小薄片的質(zhì)量的近似值為p( E, n) 廠于是整個薄片質(zhì)量的近似值是n(i, i) ii 1用入maxi 表示n個小閉區(qū)域 q的直徑的最大值，當 D無限細分，即當 入0時，1 i n上述和式的極限就是薄片的質(zhì)量M，即nM lim0p E, n)

4、入 0i 1以上兩個具體問題的實際意義雖然不同，但所求量都歸結(jié)為同一形式的和的極限抽象出來就得到下述二重積分的定義 定義1設(shè)D是xOy平面上的有界閉區(qū)域，二元函數(shù)z f(x,y)在D上有界將D分為n個小區(qū)域同時用 X表示該小區(qū)域的面積，記X的直徑為d “，并令 入maxd Ap.1 i n 在厶(f上任取一點(E，n), (i 1,2,，n)，作乘積f E, n (T并作和式nSnf ( E，n)i 1假設(shè)入0時，Sn的極限存在(它不依賴于D的分法與點(£, n)的取法)，那么稱這個極限 值為函數(shù)z f (x , y)在D上的二重積分，記作 f(x,y)d ，即Dnf(x,y)dli

5、叫f( i, i)A i ,(10-1-1)Di 1其中D叫做積分區(qū)域，f (x, y)叫做被積函數(shù)，d (叫做面積元素，f(x,y)d (叫做被積表達 n式，x與y叫做積分變量，f ( E, n)Aq叫做積分和.i 1在直角坐標系中，我們常用平行于x軸和y軸的直線(y =常數(shù)和x =常數(shù))把區(qū)域D分割成小矩形，它的邊長是x和Ay，從而A( Ax Ay，因此在直角坐標系中的面積元素可寫成d dx dy，二重積分也可記作nf(x, y)dxdy lim f( i, i) i .D0 i 1有了二重積分的定義，前面的體積和質(zhì)量都可以用二重積分來表示曲頂柱體的體積V是函數(shù)z f (x, y)在區(qū)域D

6、上的一重積分Vf(x, y)d ;D薄片的質(zhì)量M是面密度Pp(x, y)在區(qū)域D上的重積分M(x, y)d .D因為總可以把被積函數(shù) z f (x , y)看作空間的一曲面， 所以當f(x,y)為正時，二重積分的 幾何意義就是曲頂柱體的體積；當 f(x,y)為負時，柱體就在 xOy平面下方，二重積分就是曲 頂柱體體積的負值如果f(x,y)在某局部區(qū)域上是正的，而在其余的局部區(qū)域上是負的，那么f(x,y)在D上的二重積分就等于這些局部區(qū)域上柱體體積的代數(shù)和如果f(x,y)在區(qū)域D上的二重積分存在(即和式的極限(10-1-1)存在)，那么稱f (x , y)在 D上可積什么樣的函數(shù)是可積的呢？與一

7、元函數(shù)定積分的情形一樣，我們只表達有關(guān)結(jié)論，而不作證明.如果f (x , y)是閉區(qū)域D上連續(xù)，或分塊連續(xù)的函數(shù)，那么f (x , y)在D上可積.我們總假定z f (x, y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，所以f (x, y)在D上的二重積分都是存在的， 以后就不再一一加以說明.二重積分的性質(zhì)設(shè)二元函數(shù)f(x,y), g(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，于是這些函數(shù)的二重積分存在.利用二重積分的定義，可以證明它的假設(shè)干根本性質(zhì).下面列舉這些性質(zhì).性質(zhì)1常數(shù)因子可提到積分號外面設(shè)k是常數(shù)，那么kf(x,y)d k f(x,y)d DD性質(zhì)2函數(shù)的代數(shù)和的積分等于各函數(shù)的積分的代數(shù)和，即f (x，y) g(x,

8、y) d f (x,y)d g(x, y)d DDD性質(zhì)3設(shè)閉區(qū)域D被有限條曲線分為有限個局部閉區(qū)域，那么D上的二重積分等于各局部閉區(qū)域上的二重積分的和例如D分為區(qū)域D1和D2(見圖10-4)，那么f (x, y)d f (x, y)d f (x, y)d (10-1-2)性質(zhì)3表示二重積分對積分區(qū)域具有可加性.性質(zhì)4 設(shè)在閉區(qū)域D上f(x,y) 1 , 功D的面積，那么1d dDD從幾何意義上來看這是很明顯的.因為高為1的平頂柱體的體積在數(shù)值上就等于柱體的底面積性質(zhì)5 設(shè)在閉區(qū)域D上有f (x, y) g (x , y)，那么f(x, y)d g(x, y)d .由于DDf(x,y) f(x

9、,y) |f(x,y)又有f(x, y)d| f (x, y) d .DD這就是說，函數(shù)二重積分的絕對值必小于或等于該函數(shù)絕對值的二重積分性質(zhì)6 設(shè)M、m分別為f (x, y)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值，廳為D的面積，那么有上述不等式是二重積分估值的不等式m f(x,y)dD.因為 m f (x, y)M .M ，所以由性質(zhì)5有即性質(zhì)7使得md f (x, y)d Md ,DDDm mdf (x,y)dMd MDDD設(shè)函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，o是 D的面積，那么在D上至少存在一點f(x, y)d f(,)D這一性質(zhì)稱為二重積分的中值定理證顯然 0.因f(X , y)在有界閉區(qū)域 D

10、上連續(xù)，根據(jù)有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)取到最大值、最小值定理， 在D上必存在一點 Xi, yi使f Xi, yi等于最大值M，又存在一點(X2,y2)使f(X2,y2)等于最小 值m，那么對于D上所有點(x,y)，有m f x2 , y2f x, y f X1, y1M.由性質(zhì)1和性質(zhì)5,可得f(x,y)dD再由性質(zhì)4得f(x, y)dD根據(jù)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的介值定理知，111 f(x,y)dDd上必存在一點(e n,使得f(x,y)dDf(x,y)df(,)，f(,f (x,y)為空間一連續(xù)曲面時，對以f ( e n為高的平頂柱體，它的體積證畢二重積分中值定理的幾何意義可表達如下: 當S z以d某

11、點(e n的函數(shù)值積.S為頂?shù)那斨w，必定存在一個以 D為底, f(e n c就等于這個曲頂柱體的體1.根據(jù)二重積分性質(zhì),習題10 1比較 ln(x y)d 與 ln(xDD1,0)、(1,1為頂點的三角形；y)d的大小，其中(1) d表示以(0,1、(2) D表示矩形區(qū)域2.根據(jù)二重積分的幾何意義，確定以下積分的值:2x, y 13 x 5,0 y 2 .(1) a . x2y2 d ,D.a2DX2y2d , x, y |x2|X3.設(shè) f x ,y為連續(xù)函數(shù),rimo nn X,y | X4.根據(jù)二重積分性質(zhì)，估計以下積分的值:f(x,y)d2xoa2.yor2.112 2sin xs

12、in yd , D x,y |0 xDn0y n ;y2 4.2 xD24y 9 d , D x,y |x25.設(shè)D0,10,1 ,證明函數(shù)(1) IDJ4 + xyd , D x, y |0 x 2,0 y 2;1, f x,y0,在D上不可積x, y為D內(nèi)有理點 即x, y均為有理數(shù)，x, y為D內(nèi)非有理點第2節(jié)二重積分的計算只有少數(shù)二重積分被積函數(shù)和積分區(qū)域特別簡單可用定義計算外，一般情況下要用定義 計算二重積分相當困難下面我們從二重積分的幾何意義出發(fā)，來介紹計算二重積分的方法， 該方法將二重積分的計算問題化為兩次定積分的計算問題.2.1 直角坐標系下的計算在幾何上，當被積函數(shù)f x,y

13、 0時，二重積分fx,yd的值等于以D為底，以曲面Dz f x , y為頂?shù)那斨w的體積.下面我們用“切片法來求曲頂柱體的體積V .設(shè)積分區(qū)域D由兩條平行直線x a,x b與兩條連續(xù)曲線 y 1 x ,y 2 x 見圖10 5 所圍成，其中a b, 1 x 2 x，那么D可表示為用平行于yOz坐標面的平面x x0 a x0 b去截曲頂柱體，得一截面，它是一個以區(qū)間1 Xo2 x0為底，以zfxo，y為曲邊的曲邊梯形見圖106，所以這截面的面積為A Xo©2x 0心 fXo，ydy.圖 106由此，我們可以看到這個截面面積是X。的函數(shù).一般地，過區(qū)間a, b上任一點且平行于yOz坐標

14、面的平面，與曲頂柱體相交所得截面的面積為©2(x )wf(x，y)dy，bV a A(x)dxb$2(x)a,x)f(x,y)dy dx ,即得b2 (x)f(x,y)dDa 2)f(x,y)dydx，或記作b2(x)f(x,y)ddxf (x, y)dy .a1(x)其中y是積分變量，x在積分時保持不變.因此在區(qū)間a, b上，A x是x的函數(shù)，應(yīng)用 計算平行截面面積為的立體體積的方法，得曲頂柱體的體積為D上式右端是一個先對 y ,后對x積分的二次積分或累次積分這里應(yīng)當注意的是： 做第一次積分 時，因為是在求x處的截面積A x，所以x是a, b之間任何一個固定的值， y是積分變量；做

15、 第二次積分時，是沿著 x軸累加這些薄片的體積 A x dx，所以x是積分變量.在上面的討論中，開場假定了f(x,y) 0,而事實上，沒有這個條件，上面的公式仍然正確.這里把此結(jié)論表達如下：假設(shè)zf (x , y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，D : a x b, 1 x y 2 x，那么b2(x)f (x, y)dxdy dx f (x, y)dy.(10-2-1)a1(X)D類似地，假設(shè)z f (x , y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，積分區(qū)域D由兩條平行直線 y a, y b與兩 條連續(xù)曲線x 1 y ,x 2 y (見圖107)所圍成，其中c d, 1 x 2 x，那么D可表示 為D x,y|cyd，1y

16、x 2 y .那么有圖 107以后我們稱圖10-5所示的積分區(qū)域為 X型區(qū)域，X型區(qū)域D的特點是：穿過 D部且平行 于y軸的直線與 D的邊界的交點不多于兩個稱圖 10 7所示的積分區(qū)域為 Y型區(qū)域，Y型區(qū) 域D的特點是：穿過 D部且平行于x軸的直線與D的邊界的交點不多于兩個.從上述計算公式可以看出將二重積分化為兩次定積分，關(guān)鍵是確定積分限，而確定積分限又依賴于區(qū)域 D的幾何形狀因此，首先必須正確地畫出D的圖形，將D表示為X型區(qū)域或Y型區(qū)域如果 D不能直接表示成 X型區(qū)域或Y型區(qū)域，那么應(yīng)將 D劃分成假設(shè)干個無公共點的 小區(qū)域，并使每個小區(qū)域能表示成X型區(qū)域或Y型區(qū)域，再利用二重積分對區(qū)域具有可

17、加性相加，區(qū)域D上的二重積分就是這些小區(qū)域上的二重積分之和(圖10 8) 例1計算二重積分xyd ，其中D為直線y x與拋物線y x2所包圍的閉區(qū)域.D解畫出區(qū)域D的圖形，D (圖10 9)可表示為：求出 y x與y2x兩條曲線的交點，它們是 0,0與1,1 .區(qū)域因此由公式(10-2-1)得此題也可以化為先對(10-2-2)得積分后與上面結(jié)果一樣.例2計算二重積分xydD后對y的積分,xydD1x0xdx x2 ydy1350(x3 x5)dx124這時區(qū)域D可表為:1 的0ydy y XdX.dx2X'y 1, y xy .由公式y(tǒng) .1Dx2y2d,其中D是由直線y1所圍成的閉區(qū)

18、域.解畫出積分區(qū)域D，易知 得1，x y 1 (圖 10-10)，假設(shè)利用公式(10-2-1)，i y1/=x/0圖 10-10y 1x2y2dD1( xy1 x2 y2dy)dx1dx1 x31 dx1(x30 1)dx假設(shè)利用公式(10-2-2)，就有h 1yy1 x2y2d 1y 1 1 x2 y2dx dy,D也可得同樣的結(jié)果2例3計算二重積分 務(wù)d ,其中D是直線y 2, y x和雙曲線xy 1所圍之閉區(qū)域 y解 求得三線的三個交點分別是!，2 ,(1,1)與(2,2 ).如果先對y積分，那么當1 x 1時，y的下限是雙曲線y 丄，而當1 x 2時，y的下限是直線y x，因此需要用直

19、線x 1把 x區(qū)域D分為D1和D2兩局部(圖1011).D1：1 x 1， 1 y 2 ；2xD2 :1 x 2， x y 2.O圖 1011于是2 2 2務(wù)d弓dd yD1 yD2 y1丄dx22dx1dy2dx1-2xT13dx如果先對x積分，那么D：1 y2x . d d y2x"221dyyx21 -2y y2dxx2x .x2dx2dx2 y1 3由此可見，對于這種區(qū)域 D，如果先對 比先對x積分繁瑣多了 .所以，把重積分化為累次積分時, 選擇適當?shù)拇涡蜻M展積分.例4設(shè)f (x , y)連續(xù)，求證3y5 dy證 上式左端可表為其中 D : a xb， a y于是改變積分次序

20、，可得由此可得所要證明的等式例5計算二重積分811922764ydy1y2y_6y積分，就需要把區(qū)域需要根據(jù)區(qū)域12y4764D分成幾個區(qū)域來計算這D和被積函數(shù)的特點，bxadx a f(x,y)dyaabxa dx a f(x,y)dyaabadyby f (x,y)dx Df (x,y)d 6(xa yf (x, y)dDb bady y f (x, y)dxsjnd廠其中D是直線yxx與拋物線b,2x所圍成的區(qū)域解 把區(qū)域D表示為x型區(qū)域,即 D= x,y |01,x21dx0sin x y xx sinxdxx2dx1cosx x cosx sin x01 sin 10.1585注：如

21、杲化為y型區(qū)域即先對x積分，那么有1°dyy sin xdx .由于沁的原函數(shù)不能由初等函數(shù)表示，往下計算就困難了，這也說明計算二重積分時，x除了要注意積分區(qū)域 D的特點區(qū)分是x型區(qū)域，還是y型區(qū)域外，還應(yīng)注意被積函數(shù)的特 點，并適中選擇積分次序2.2二重積分的換元法與定積分一樣，二重積分也可用換元法求其值，但比定積分復(fù)雜得多.我們知道，對定積分b、a f x dx作變量替換x«t)時，要把f x變成f © t , dx變成$(t)dt ,積分限a,b也要變成對應(yīng)t的值.同樣，對二重積分f x,y d作變量替換Dx x u,v ,y y u,v ,時，既要把f x

22、,y變成f 我們知道，有些曲線方程在極坐標系下比較簡單，因此，有些二重積分f x,y dD用極坐標代換后，計算起來比較方便，這里假設(shè)z f x,y在區(qū)域D上連續(xù).在直角坐標系中，我們是以平行于x軸和y軸的兩族直線分割區(qū)域D為一系列小矩形，從而得到面積元素d o dxdy .在極坐標系中，與此類似，我們用“r常數(shù)"的一族同心圓，以與“0常數(shù)"的一族過極點的射線，將區(qū)域 D分成n個小區(qū)域o i,j 1,2，,n，如圖10 13所示. u，v，y u,v ,還要把xOy面上的積分區(qū)域 D變成uOv面上的區(qū) 域Duv，并把D中的面積元素d b變成Duv中的面積元素d o* .其中最

23、常用的是極坐標系的情 形.極坐標系的情形標系的原點，極軸與x軸重合，那么點P的極坐標Pr, 0與該點的直角坐標 P x,y有如下互換公式：x r cos 0 yr sin 00 r,00 2 n;2 2rx y ,0 arcta n y;x,y.下面我們討論利用極坐標變換，得出在極坐標系下二重積分的計算方法.把極點放在直角坐小區(qū)域面積1 2X 2 riri00.120ri ri 02 ri記/ 22pri0 ,i,j 1,2，,n ,那么有Xri ri 0op ,圖 1013故有d(X rdrd 0.那么f x ,y d x f r cos 0r sin 0 rdrd 0.DD這就是直角坐標二

24、重積分變換到極坐標二重積分的公式在作極坐標變換時，只要將被積函數(shù)中的x,y分別換成r cos 0,r sin 0，并把直角坐標的面積元素 d x dxdy換成極坐標的面積元素 rdrd 0即可但必須指出的是：區(qū)域 D必須用極坐標系表示在極坐標系下的二重積分，同樣也可以化為二次積分計算下面分三種情況討論：(1) 極點O在區(qū)域D外部，如圖1014所示設(shè)區(qū)域D在兩條射線0圖 1014a 0 B之間，兩射線和區(qū)域邊界的交點分別為A,B ,將區(qū)域D的邊界分為兩局部，其方程分別為r D 0 ,r a 0且均為a日上的連續(xù)函數(shù)此時D r, 0 |r1 0rr2 0 , a 0 3 于是B2 ef r cos

25、 er sin e rdrd e d e f r cos Qrsin e rdrai eD(2) 極點O在區(qū)域D部，如圖1015所示.假設(shè)區(qū)域D的邊界曲線方程為r r e,這時 積分區(qū)域D為r, e 10 r r e ,0 e 2 n ,且r e在0,2 n上連續(xù).ern2 f r cos e,r sin e r drd e0D極點O在區(qū)域f r cos e,r sin e rdr .de0eBr且r e在0,2 n上連續(xù)，那么有0 rdrd ef r cos e,r sinD在計算二重積分時，是否采用極坐標變換，應(yīng)根據(jù)積分區(qū)域f r cos e r sin e rdr .D與被積函數(shù)的形式來

26、決定般來說，當積分區(qū)域為圓域或局部圓域,與被積函數(shù)可表示為x2 y2或f等形式時,常采用極坐標變換，簡化二重積分的計算例6計算二重積分匚 2I 彳 一dxdy,d 1 x y其中 D x,y |x2 y2 a2 0 a 1 .解在極坐標系中積分區(qū)域D為D r, e |0 r a,0 e 2 n那么有2 na ir20 d 0 jr2rdr例7計算二重積分于是有n arcsint.1 t2a22a 1 t dt n0 2 dt 1 tn arcsin a21 a21 .D解米用極坐標系.xy2d ，其中D是單位圓在第I象限的局部.2 .xy dn2d01r coso2 . 2 r sinrdrn

27、2 cos0Osin 29d0 "(dr0例8計算二重積分x2dD解區(qū)域D : 0 O 2n, 1,其中D是二圓x2 y21和x2 y24之間的環(huán)形閉區(qū)域于是x2d2nd0圖 1018r cosrdr2 n1 cos202r3dr1154.直角坐標系的情形我們先來考慮面積元素的變化情況設(shè)函數(shù)組x x(u,v), y y(u,v)為單值函數(shù)，在 Duv上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且其雅可比 行列式J空0,(u,v)那么由反函數(shù)存在定理，一定存在著D上的單值連續(xù)反函數(shù)u u(x, y), v v(x, y).這時Duv與D之間建立了對應(yīng)關(guān)系， uOv面上平行于坐標軸的直線在映射之下成為0,xO

28、y面上的曲線u(x,y) u°, v(x, y) v°.我們用uOv面上平行于坐標軸的直線u u, v Vj (i 1,2,- , n;j1,2，m)將區(qū)域Duv分割成假設(shè)干個小矩形，那么映射將UOv面上的直線網(wǎng)變成xOy面上的曲線網(wǎng)圖10 19.積記為圖 1019在Duv中任取一個典型的小區(qū)域ADuv (面積記為；)與其在D中對應(yīng)的小區(qū)域Ac)，如圖1020所示.AD (面P4(XoAD的四條邊界限的交點為比3, yo 勺3).當Au, Av很小時,圖 1020R(X0,y0), P2(x°X1,y°y) P3(x°X2,y°Axi

29、, Ayi i 1,2,3也很小，AD的面積可用y2)和P1P2 與P1P4構(gòu)成的平行四邊形面積近似即P1P2 P1P4 .P1P2Ax1 iAy1 j同理從而得x uoAu,vox uUo,Vo AuP1P4X vPlP2因此，二重積分作變量替換x Uo,Vo ii y u uo,voUo ,Vo Av ix Au ux Avvy uo Au,voy(uo,vo jy v Uo,Vo Av j . Au 雹Av (x,y) (u,v)的絕對值(x,y)(u,v)x(u, v), y y(u, v)后，面積元素d t與d T的關(guān)系為(x,y)d *,(u,v)A (T .dxdy紬dudv.由

30、此得如下結(jié)論：定理1 假設(shè)f(x,y)在xOy平面上的閉區(qū)域 D上連續(xù)，變換T : x x(u,v),y y(u,v)， 將uOv平面上的閉區(qū)域 Duv變成xOy平面上的D ,且滿足：(1) x(u, v),y(u, v)在Duv上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，在Duv上雅可比式J0 ；(u,v)(3) 變換T : Duv D是一對一的，那么有f (x,y)dxdy f x(u, v), y(u,v) J dudv.DDuvy x例9計算二重積分Dedxdy，其中D是由x軸，y軸和直線x y 2所圍成的閉區(qū)域解令u y x, v y x，那么在此變換下,xv u y v u2 ，y 2圖 1021雅可比

31、式為J (x,y)(u,v)1 12 21 12 212，那么得y xe dxdy1 dudvDD2I1 2 -0 dv2 0v 上1 21vevdu0(e e )vdv=1e e .例10設(shè)D為xOy平面由以下四條拋物線所圍成的區(qū)域：x2 ay ,x2 by,y2 px ,2 y qx，其中Ov av b, 0< pv q，求D的面積.解 由D的構(gòu)造特點，引入兩族拋物線y2 ux,x2 vy，那么由u從p變到q , v從a變到b時，這兩族拋物線交織成區(qū)域D 圖10 22.1圖 1022雅可比行列式為(x,y)1(u,v)(u,v)(x,y)2y2x2xy2yx2x2y那么所求面積S d

32、xdyD1dudv習題10 21.畫出積分區(qū)域，把f (x,y)d 化為二次積分：D(1) D x,y | x y 1,y x 1,y0;2.改變二次積分的積分次序：22y(1) 0dy y2 f (x,y)dx ；2D x,y | y x 2, x y .eInx 1dx 0 f (x,y)dy ;22x o dx x f x, y dy ；3.設(shè) f (x,y)連續(xù)，且 f (x, y)xyf (x, y)dD1J x2(4) -1dx 尸 f(x,y)dy.，其中D是由直線y 0,x 1與曲線y x2所圍成的區(qū)域，求f (x, y).4.計算以下二重積分:(1)2 2x y d ， DD

33、sind廠其中D是直線xx,y|x1, y 1 ；(T,x與拋物線y x所圍成的區(qū)域;xd ， DI2x,y |xx2e-y dxdy，D是頂點分別為O 0,0 , A 1,1 , B 0,1的三角形閉區(qū)域.D5. 求由坐標平面與6. 計算由四個平面體的體積7. 在極坐標系下計算二重積分:x 2, y 3, xx0, y 0,xy1,z 4所圍的角柱體的體積.y 1所圍的柱體被平面 z 0與2x 3y z 6截得的立(1) sin . x y dxdy, D x ,y | n x2 y2 4 n2;D(2) (x y)dxdy, D x,y | x2y2 x y ;D(3) xy dxdy，其

34、中 D 為圓域 x2 y2 a2 ；D(4) ln(1 x2y2)dxdy，其中D是由圓周x2 y2 1與坐標軸所圍成的在第一象限的閉區(qū)D域.8. 將以下積分化為極坐標形式：2a*2ax x222ax f虧2(1)0 dx 0 (x2 y2)dy ；(2)。dx。x y dy .9. 求球體x2 y2 z2 R2被圓柱面x2 y2 2Rx所割下局部的體積.10. 作適當坐標變換，計算以下二重積分：2(1)2 dxdy,由xy 1, x 2, y x所圍成的平面閉區(qū)域；d yy ex ydxdy, D x,y |x y 1,x0,y0;2 2x2y2 dxdy,a b其中D是橢圓芝aD2占1所圍

35、成的平面閉區(qū)域;b,0 x y . x y sin x y dxdy, D x, y |0 x yD11. 設(shè)閉區(qū)域D由直線x y 1, x 0, y 0所圍成，求證:cosD3 dxdyx y1sin1.12. 求由以下曲線所圍成的閉區(qū)域的面積： 曲線xy 4,xy 8,xy35, xy315所圍成的第一象限的平面閉區(qū)域；曲線x y a, x y b,y x,y x所圍的閉區(qū)域0 a b,0.第3節(jié)三重積分3.1 三重積分的概念三重積分是二重積分的推廣，它在物理和力學中同樣有著重要的應(yīng)用在引入二重積分概念時，我們曾考慮過平面薄片的質(zhì)量，類似地，現(xiàn)在我們考慮求解空間物體的質(zhì)量問題設(shè)一物體占有空

36、間區(qū)域Q,在Q中每一點x,y,z處的體密度為 px,y,z,其中Px,y,z是Q上的正值連續(xù)函數(shù)試求該物體的質(zhì)量先將空間區(qū)域 Q任意分割成n個小區(qū)域Av1, Av2, "', Avn同時也用 Avi表示第i個小區(qū)域的體積 .在每個小區(qū)域Avi上任取一點E, n, Z，由于px, y, z是連續(xù)函數(shù)，當區(qū)域 Avi充分小時，密度可以近似看成不變的，且等于在點E, n, Z處的密度，因此每一小塊AVi的質(zhì)量近似等于p E,耳，z Avi ,物體的質(zhì)量就近似等于i 1令小區(qū)域的個數(shù)n無限增加，而且每個小區(qū)域Av無限地收縮為一點，即小區(qū)域的最大直徑入max! Z、0時，取極限即得該物

37、體的質(zhì)量1 i nnMlim0p &, n, Z) Av、.入 0i 1由二重積分的定義可類似給出三重積分的定義：定義1設(shè)Q是空間的有界閉區(qū)域，f(x,y,z)是Q上的有界函數(shù)，任意將Q分成n個小區(qū) 域Av1, Av2,，Avn ,同時用Av、表示該小區(qū)域的體積，記Av、的直徑為d Av、,并令 入 max! Av、，在 Av、上任取一點(E, n, Z) , (i 1,2，n)，作乘積 f ( E, n, Z) Av、，把這些nn乘積加起來得和式f(g,n, Z) Av、，假設(shè)極限lim f(g, n, Z) Av、存在(它不依賴于區(qū)域 Q的i 1入 0 i 1分法與點(i, i,

38、i)的取法)，那么稱這個極限值為函數(shù)f(x,y,z)在空間區(qū)域 Q上的三重積分，記作f x, y, z dv ,n即f X, y,z dv li 叫 f( i, i, i) v ,0 i 1其中f(x,y,z)叫做被積函數(shù)，Q叫做積分區(qū)域，dv叫做體積元素.在直角坐標系中，假設(shè)對區(qū)域Q用平行于三個坐標面的平面來分割，于是把區(qū)域分成一些小長方體和二重積分完全類似，此時三重積分可用符號f x, y,z dxdydz來表示，即在直角坐標系中體積元素 dv可記為dx dydz.有了三重積分的定義，物體的質(zhì)量就可用密度函數(shù)px , y,z)在區(qū)域Q上的三重積分表示，即Mx, y,z dv ,如果在區(qū)域Q

39、上 f (x,y,z) 1，并且Q的體積記作V，那么由三重積分定義可知1dv dv V .這就是說，三重積分dv在數(shù)值上等于區(qū)域 Q的體積.三重積分的存在性和根本性質(zhì)，與二重積分相類似，此處不再重述3.2 三重積分的計算為簡單起見，在直角坐標系下，我們采用微元分析法來給出計算三重積分的公式三重積分f(x,y,z)dv表示占空間區(qū)域 Q的物體的質(zhì)量.設(shè)Q是柱形區(qū)域，其上、下分別由連續(xù)曲面z K(x, y), z Z2(x, y)所圍成，它們在xOy平面上的投影是有界閉區(qū)域D ； Q的側(cè)面由柱面所圍成，其母線平行于z軸，準線是D的邊界限.這時，區(qū)域Q可表示為Q x,y,z |z!(x,y) z Z

40、2(x,y), (x,y) D先在區(qū)域D點(x,y)處取一面積微元du dxdy，對應(yīng)地有 Q中的一個小條，再用與 xOy面平 行的平面去截此小條，得到小薄片(圖10 23).于是以du為底，以dz為高的小薄片的質(zhì)量為 f x, y, zdx dydz.把這些小薄片沿z軸方向積分，得小條的質(zhì)量為z2x ,yz1x,yfx，y，zdz dxdy.然后，再在區(qū)域 D上積分，就得到物體的質(zhì)量z2x,yfx,y,zdz dxdy .Dz1x，y也就是說，得到了三重積分的計算公式z2x,yz? x, yf x,y,z dv= z fx,y,zdz dxdy dxdy ,、D z1x，yDz1"

41、yf(x, y,z)dz.10-3-1例1 計算三重積分xdxdydz，其中Q是三個坐標面與平面 x1所圍成的區(qū)域圖 1024.D是由坐標軸與直線解積分區(qū)域0 x 1 ,Q在xOy平面的投影區(qū)域 x ,所以1圍成的區(qū)域:xdxdydz dxdyD1dxyxdz1dx0 01 xdyyxdz0 0xx(1y)dy垃dx2計算三重積分 zdv ,其中1x(10124.Q: x 0, y0, z 0,x2z2 R2見圖10 25.B(10-3-2)z,zdxdy.z求層積分時，z可以看作常數(shù)：并且Dz :x2 y2 R2 z2是1個圓，其面積為4R2z2，所以R 、1f171圖 1025解 區(qū)域Q在

42、xOy平面上的投影區(qū)域D: x 0, y 0, x2 y2 R2 .對于D中任意一點(x , y)，相應(yīng)地豎坐標從 z 0變到7匚2 訂R2 x2 y因此由公式(10-3-1)得?1 'rlS-R2 X2丄R222 2zdvdxdy0zdzx ydxdyDD2n2d 00R 2(R20 'P)p p124Rn R2 P上R4.2224016三重積分化為累次積分時，除上面所說的方法外，還可以用先求二重積分再求定積分的方法計算假設(shè)積分區(qū)域 Q如圖10-26所示，它在z軸的投影區(qū)間為A,B，對于區(qū)間的任意一 點z，過z作平行于xOy面的平面，該平面與區(qū)域Q相交為一平面區(qū)域，記作D(z

43、).這時三重積分可以化為先對區(qū)域 D z求二重積分，再對z在A, B上求定積分，得我們可利用公式區(qū)域Q在z軸上的投影區(qū)間為 0, R,對于該區(qū)間中任意一點z，相應(yīng)地有一平面區(qū)域z : x0, y 0與x2 y2 R2 z2與之對應(yīng).由公式(10-3-2)，得Rzdv dz0D例3計算三重積分zdv =z 1 z -22.n 4R z dz R041622 2z2dv，其中紅J 1.2 2ab cR.區(qū)域Q在z軸上的投影區(qū)間為解我們利用公式(10-3-2)將三重積分化為累次積分G對于區(qū)間任意一點 z，相應(yīng)地有一平面區(qū)域D z2x2 z2a (1-?)c2y2 z2b (1右c與之相應(yīng)，該區(qū)域是一

44、橢圓2(圖1027)，其面積為 nab 1芻.所以cz2dv=z2dzdxdyD(z)C nabz2 1cnabc3 nbc31515圖 10 273.3 三重積分的換元法對于三重積分f (x, y,z)dv作變量替換:xy z 它給出了 Orst空間到Oxyz空間的一個映射，x(r,s,t)y(r,s,t)z(r ,s,t)假設(shè)x r,s,t ,y r,s,t ,z r ,s,t有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且 (x,y,z) 0,那么建立了 Orst空間中區(qū)域 Q*和Oxyz空間中相應(yīng)區(qū)域Q的對應(yīng),(r,s,t)與二重積分換元法類似，我們有dv -(x,y,z)drdsdt.(r ,s,t)于是，有

45、換元公式f (x, y,z)dv f x(r,s,t), y(r,s,t),z(r,s,t)(x, y：)drdsdt.-(r,s,t)作為變量替換的實例，我們給出應(yīng)用最為廣泛的兩種變換：柱面坐標變換與球面坐標變換柱面坐標變換三重積分在柱面坐標系中的計算法如下：變換x r cos Q y r sin 0,稱為柱面坐標變換，空間點 M x,y,z與(r, 0 z)建立了一一對應(yīng)關(guān)系，把(r, 0z)稱為點M x,y,z的柱面坐標.不難看出，柱面坐標實際是極坐標的推廣.這里r, 0為點M在xOy面上柱面坐標系的三組坐標面為(1) r常數(shù)，以z為軸的圓柱面;0常數(shù)，過z軸的半平面；(3) z 常數(shù)，

46、平行于xOy面的平面cos 0 sin 00體積元素之間的關(guān)系式為:r sin 0 0r cos 00 r ,那么在柱面坐標變換下，0 1dxdydz r drd (tiz .于是，柱面坐標變換下三重積分換元公式為:(10-3-3)f (x, y, z)dxdydz= f (rcos ,r sin ,z)rdrd dz.至于變換為柱面坐標后的三重積分計算，那么可化為三次積分來進展通常把積分區(qū)域 Q向xOy面投影得投影區(qū)域 D，以確定r, 0的取值圍，z的圍確定同直角坐標系情形.例4計算三重積分z x2 y2dxdydz,其中Q是由錐面z 、.：Jx2 y2與平面z 1所圍成的區(qū)域.解在柱面坐標

47、系下，積分區(qū)域Q表示為r z 1,0 r 1,0 0 2 n (圖1029).iz圖 1029所以有例5計算三重積分z x2 y2 dxdydzx2 y2 dxdydz，其中2 n112d dr z r dz 00r1 1 2 22n -r (1 r )dr0 2、 'Q是由曲線y2 2z,2n15x 0繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而z 8所圍之區(qū)域0繞z旋轉(zhuǎn)，所得旋轉(zhuǎn)面方程為 x2 y22z.成的曲面與兩平面z 2,解曲線y2=2z, x設(shè)由旋轉(zhuǎn)曲面與平面z 2所圍成的區(qū)域為Q ,該區(qū)域在xOy平面上的投影為 D1 , D1x,y |x2+ y2 4 .由旋轉(zhuǎn)曲面與z 8所圍成的區(qū)域為 站，島在x

48、Oy平面上的投影圖 1030y2 dxdydz83r ID1drddzD2drd；r3dz0：6r3dr2n 43d 02r32 r 2dr 336 n.為D2 , D2 x ,y | x +y 16.那么有 島 QUQ,如圖10 30所示.球面坐標變換三重積分在球面坐標系中的計算法如下: 變換r sinr sin稱為 球面坐標變換，空間點 M x,y,zM x,y,z的球面坐標圖10-31，其中0 r vr cos與(r, ©©cos 0jsin 0©0建立了一一對應(yīng)關(guān)系，把r, © 0稱為點©n,002 n.R1-%桃刑)/yz 7、kp(

49、x,y,z)(r, 0 0)sin 0cos 0 r cos $cos 0sin 0sin 0 r cos 0sin 0rsin $sin2 ,r sin 0cos 0 r sin $ ,cos $r sin $0圖 10-31球面坐標系的三組坐標面為：(1) r常數(shù)，以原點為中心的球面；(2) $常數(shù)，以原點為頂點，z軸為軸，半頂角為0的圓錐面;(3) B常數(shù)，過z軸的半平面.由于球面坐標變換的雅可比行列式為那么在球面坐標變換下，體積元素之間的關(guān)系式為：dxdydz r 2sin ()drd 0 $ .于是，球面坐標變換下三重積分的換元公式為2f (x, y, z)dxdydz=f (r sin cos ,r sin sin ,rcos ) r sin drd d . (10-3-4)例6 計算三重積分(x2 y2 z2)dxdydz ,其中Q表示圓錐面x2 y2 z2與球面x2 y2 z2 2Rz所圍的較大局部立體.解 在球面坐標變換下， 球面方程變形為r 2Rcos $ ,錐面為$ n(圖10 32).這時積分4區(qū)域Q表示為00 2 n 0$ n,0 r 2Rcos $,4j廠1MJr?+1j2-|-rl=2/?z(十、AC理Lzr>7圖 1032所以2 2 2 2 2(x y z )dxdydz = r r