橢圓的第一定義

1、本人精心整理的文檔,文檔來(lái)自網(wǎng)絡(luò) 本人僅收藏整理 如有錯(cuò)誤 還請(qǐng)自己查證！ 橢圓的第一定義 tuyuán 平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F、F'的距離的和等于常數(shù)2a(2a>|FF'|的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡叫做橢圓 即：PF+PF'=2a 其中兩定點(diǎn)F、F'叫做橢圓的焦點(diǎn) 兩焦點(diǎn)的距離FF'叫做橢圓的焦距 橢圓的第二定義 平面上到定點(diǎn)F距離與到定直線間距離之比為常數(shù)e(即橢圓的偏心率 e=c/a的點(diǎn)的集合（定點(diǎn)F不在定直線上 該常數(shù)為小于1的正數(shù)） 其中定點(diǎn)F為橢圓的焦點(diǎn) 定直線稱為橢圓的準(zhǔn)線（該定直線的方程是x=±a2/c或者y=±a2/c

2、 橢圓的其他定義根據(jù)橢圓的一條重要性質(zhì)也就是橢圓上的點(diǎn)與橢圓短軸兩端點(diǎn)連線的斜率之積是定值可以得出：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)的連線的斜率之積是常數(shù)k的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓 此時(shí)k應(yīng)滿足一定的條件 也就是排除斜率不存在的情況 切線與法線的幾何性質(zhì) 定理1：設(shè)F1、F2為橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn) P為C上任意一點(diǎn) 若直線AB切橢圓C于點(diǎn)P 則APF1=BPF2 定理2：設(shè)F1、F2為橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn) P為C上任意一點(diǎn) 若直線AB為C在P點(diǎn)的法線 則AB平分F1PF2 上述兩定理的證明可以查看參考資料 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)約束 橢圓必須一條直徑與X軸平行 另一條直徑Y(jié)軸平行 不滿足此條件的幾何學(xué)橢圓在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)上視作一般封閉曲

3、線 標(biāo)準(zhǔn)方程 高中課本在平面直角坐標(biāo)系中 用方程描述了橢圓 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中的"標(biāo)準(zhǔn)"指的是中心在原點(diǎn) 對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種 取決于焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸： 1）焦點(diǎn)在X軸時(shí) 標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2/a2+y2/b2=1 (a>b>0 2）焦點(diǎn)在Y軸時(shí) 標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2/b2+y2/a2=1 (a>b>0 其中a>0 b>0 a、b中較大者為橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng) 較短者為短半軸長(zhǎng)（橢圓有兩條對(duì)稱軸 對(duì)稱 F點(diǎn)在Y軸 軸被橢圓所截 有兩條線段 它們的一半分別叫橢圓的長(zhǎng)半軸和短半軸或半長(zhǎng)軸和半短軸）當(dāng)a>b時(shí) 焦點(diǎn)在x軸上 焦距為2*(a2

4、-b20.5 焦距與長(zhǎng).短半軸的關(guān)系:b2=a2-c2 ,準(zhǔn)線方程是x=a2/c和x=-a2/c c為橢圓的半焦距 又及：如果中心在原點(diǎn) 但焦點(diǎn)的位置不明確在X軸或Y軸時(shí) 方程可設(shè)為mx2+ny2=1(m>0 n>0 mn 既標(biāo)準(zhǔn)方程的統(tǒng)一形式 橢圓的面積是ab 橢圓可以看作圓在某方向上的拉伸 它的參數(shù)方程是：x=acos y=bsin 標(biāo)準(zhǔn)形式的橢圓在(x0 y0點(diǎn)的切線就是 ： xx0/a2+yy0/b2=1 lk一般方程 Ax2;+Bxy+Cy2;+Dx+Ey+F=0 (A.C不為0 公式 橢圓的面積公式 S=(圓周率×a×b(其中a,b分別是橢圓的長(zhǎng)半軸

5、,短半軸的長(zhǎng). 或S= (圓周率×A×B/4(其中A,B分別是橢圓的長(zhǎng)軸,短軸的長(zhǎng). 橢圓的周長(zhǎng)公式 橢圓周長(zhǎng)沒(méi)有公式 有積分式或無(wú)限項(xiàng)展開(kāi)式 橢圓周長(zhǎng)(L的精確計(jì)算要用到積分或無(wú)窮級(jí)數(shù)的求和 如 L = 0,/24a * sqrt(1-(e*cost2dt2(a2+b2/2 橢圓近似周長(zhǎng), 其中a為橢圓長(zhǎng)半軸,e為離心率 橢圓離心率的定義為橢圓上的點(diǎn)到某焦點(diǎn)的距離和該點(diǎn)到該焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線的距離之比 設(shè)橢圓上點(diǎn)P到某焦點(diǎn)距離為PF 到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離為PL 則 e=PF/PL 橢圓的準(zhǔn)線方程 x=±a2/c 橢圓的離心率公式 e=c/a(e<1,因?yàn)?a>

6、2c 橢圓的焦準(zhǔn)距 ：橢圓的焦點(diǎn)與其相應(yīng)準(zhǔn)線(如焦點(diǎn)（c,0）與準(zhǔn)線x=+a2/C的距離,數(shù)值=b2/c 橢圓焦半徑公式 |PF1|=a+ex0 |PF2|=a-ex0 橢圓過(guò)右焦點(diǎn)的半徑r=a-ex 過(guò)左焦點(diǎn)的半徑r=a+ex 橢圓的通徑：過(guò)焦點(diǎn)的垂直于x軸（或y軸）的直線與橢圓的兩交點(diǎn)A,B之間的距離 數(shù)值=2b2/a 點(diǎn)與橢圓位置關(guān)系 點(diǎn)M（x0 y0） 橢圓 x2/a2+y2/b2=1 點(diǎn)在圓內(nèi)： x02/a2+y02/b2<1 點(diǎn)在圓上： x02/a2+y02/b2=1 點(diǎn)在圓外： x02/a2+y02/b2>1 直線與橢圓位置關(guān)系 y=kx+m x2/a2+y2/b2=

7、1 由可推出x2/a2+（kx+m）2/b2=1 相切=0 相離<0無(wú)交點(diǎn) 相交>0 可利用弦長(zhǎng)公式：A(x1,y1 B(x2,y2 |AB|=d = (1+k2|x1-x2| = (1+k2(x1-x22 = (1+1/k2|y1-y2| = (1+1/k2(y1-y22 橢圓的斜率公式 過(guò)橢圓上x(chóng)2/a2+y2/b2=1上一點(diǎn)（x y）的切線斜率為 -(b2X/(a2y 橢圓焦點(diǎn)三角形面積公式 若F1PF2=, 則S=b2tan/2 橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用 求解橢圓上點(diǎn)到定點(diǎn)或到定直線距離的最值時(shí) 用參數(shù)坐標(biāo)可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題求解 x=a×cos y=b×

8、;sin a為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的一半 相關(guān)性質(zhì) 由于平面截圓錐（或圓柱）得到的圖形有可能是橢圓 所以它屬于一種圓錐截線 例如：有一個(gè)圓柱 被截得到一個(gè)截面 下面證明它是一個(gè)橢圓（用上面的第一定義）： 將兩個(gè)半徑與圓柱半徑相等的半球從圓柱兩端向中間擠壓 它們碰到截面的時(shí)候停止 那么會(huì)得到兩個(gè)公共點(diǎn) 顯然他們是截面與球的切點(diǎn) 設(shè)兩點(diǎn)為F1、F2 對(duì)于截面上任意一點(diǎn)P 過(guò)P做圓柱的母線Q1、Q2 與球、圓柱相切的大圓分別交于Q1、Q2 則PF1=PQ1、PF2=PQ2 所以PF1+PF2=Q1Q2 由定義1知：截面是一個(gè)橢圓 且以F1、F2為焦點(diǎn) 用同樣的方法 也可以證明圓錐的斜截面（不通過(guò)底面）為一個(gè)橢圓

9、例：已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）的離心率為6/3 短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為3. （1）求橢圓C的 方程. （2）直線l：y=x+1與橢圓交于A B兩點(diǎn) P為橢圓上一點(diǎn) 求PAB面積的最大值. （3）在（2）的基礎(chǔ)上求AOB的面積. 一 分析短軸的端點(diǎn)到左右焦點(diǎn)的距離和為2a 端點(diǎn)到左右焦點(diǎn)的距離相等(橢圓的定義） 可知a=3 又c/a=6/3,代入得c=2 b=(a2-c2=1,方程是x2/3+y2/1=1 二 要求面積 顯然以ab作為三角形的底邊 聯(lián)立x2/3+y2/1=1 y=x+1解得x1=0,y1=1,x2=-1.5,y2=-0.5.利用弦長(zhǎng)公式

10、有(1+k2x2-x1(中括號(hào)表示絕對(duì)值）弦長(zhǎng)=32/2,對(duì)于p點(diǎn)面積最大 它到弦的距離應(yīng)最大 假設(shè)已經(jīng)找到p到弦的距離最大 過(guò)p做弦的平行線 可以 發(fā)現(xiàn)這個(gè)平行線是橢圓的切線是才會(huì)最大 這個(gè)切線和弦平行故斜率和弦的斜率= 設(shè)y=x+m,利用判別式等于0 求得m=2,-2.結(jié)合圖形得m=-2.x=1.5,y=-0.5,p(1.5,-0.5, 三 直線方程x-y+1=0,利用點(diǎn)到直線的距離公式求的2/2,面積1/2*2/2*32/2=3/4, 歷史 橢圓有一些光學(xué)性質(zhì)：橢圓的面鏡（以橢圓的長(zhǎng)軸為軸 把橢圓轉(zhuǎn)動(dòng)180度形成的立體圖形 其外表面全部做成反射面 中空）可以將某個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線全部反射到

11、另一個(gè)焦點(diǎn)處；橢圓的透鏡（某些截面為橢圓）有匯聚光線的作用（也叫凸透鏡） 老花眼鏡、放大鏡和遠(yuǎn)視眼鏡都是這種鏡片（這些光學(xué)性質(zhì)可以通過(guò)反證法證明） 關(guān)于圓錐截線的某些歷史：圓錐截線的發(fā)現(xiàn)和研究起始于古希臘 Euclid, Archimedes, Apollonius, Pappus 等幾何學(xué)大師都熱衷于圓錐截線的研究 而且都有專著論述其幾何性質(zhì) 其中以 Apollonius 所著的八冊(cè)圓錐曲線論集其大成 可以說(shuō)是古希臘幾何學(xué)一個(gè)登峰造極的精擘之作 當(dāng)時(shí)對(duì)于這種既簡(jiǎn)樸又完美的曲線的研究 乃是純粹從幾何學(xué)的觀點(diǎn) 研討和圓密切相關(guān)的這種曲線；它們的幾何乃是圓的幾何的自然推廣 在當(dāng)年這是一種純理念的探

12、索 并不寄望也無(wú)從預(yù)期它們會(huì)真的在大自然的基本結(jié)構(gòu)中扮演著重要的角色 此事一直到十六、十七世紀(jì)之交 Kepler 行星運(yùn)行三定律的發(fā)現(xiàn)才知道行星繞太陽(yáng)運(yùn)行的軌道 乃是一種以太陽(yáng)為其一焦點(diǎn)的橢圓 Kepler 三定律乃是近代科學(xué)開(kāi)天劈地的重大突破 它不但開(kāi)創(chuàng)了天文學(xué)的新紀(jì)元 而且也是牛頓萬(wàn)有引力定律的根源所在 由此可見(jiàn) 圓錐截線不單單是幾何學(xué)家所愛(ài)好的精簡(jiǎn)事物 它們也是大自然的基本規(guī)律中所自然選用的精要之一 橢圓手工畫(huà)法 （1）：畫(huà)長(zhǎng)軸AB 短軸CD AB和CD互垂平分于O點(diǎn) （2）：連接AC （3）：以O(shè)為圓心 OA為半徑作圓弧交OC延長(zhǎng)線于E點(diǎn) （4）：以C為圓心 CE為半徑作圓弧與AC交于

13、F點(diǎn) （5）：作AF的垂直平分線交CD延長(zhǎng)線于G點(diǎn) 交AB于H點(diǎn) （6）：截取H G對(duì)于O點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)H' G' （7）：H H'為長(zhǎng)軸圓心 分別以HB、H'A為半徑；G G'為短軸原心 分別以GC、G'D為半徑 用一根線或者細(xì)銅絲,鉛筆,2個(gè)圖釘或大頭針畫(huà)橢圓的方法:先畫(huà)好長(zhǎng)短軸的十字線,在長(zhǎng)軸上以圓點(diǎn)為中心先找2個(gè)大于短軸半徑的點(diǎn),一個(gè)點(diǎn)先用圖釘或者打頭針?biāo)ê镁€固定住,另一個(gè)點(diǎn)的線先不要固定,用筆帶住線去找長(zhǎng)短軸的4個(gè)頂點(diǎn),此步驟需要多次定位,直到都正好能于頂點(diǎn)吻合后固定住這2個(gè)點(diǎn),用筆帶住線,直接畫(huà)出橢圓:使用細(xì)銅絲最好,因?yàn)榫€的彈性較大畫(huà)出

14、來(lái)不一定準(zhǔn)確! 橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì) 橢圓的倆長(zhǎng)頂點(diǎn)與一短頂點(diǎn)所成的角大于橢圓上任一點(diǎn)與倆長(zhǎng)頂點(diǎn)的連線 手繪橢圓方法二 （mayue）橢圓的焦距FF'(Z定義 為已知橢圓所構(gòu)成的長(zhǎng)軸X(ab與短軸Y(cd則以長(zhǎng)軸一端A為圓心短軸Y為半徑畫(huà)弧 從長(zhǎng)軸另一段點(diǎn)B引出與弧相切的線段則為該橢圓焦距 求證公式為2(Z/22+(Y/22+Z=X+Z(平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F、F'的距離的和等于常數(shù)2a(2a>|FF'|的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡叫做橢圓 可演變?yōu)閦=x2-y2(x>y>0 Z兩端點(diǎn)F、F'為定點(diǎn) 取有韌性切伸縮系數(shù)越小越好的線 環(huán)繞線段AF'或者FB線段任意

15、一組為長(zhǎng)度 以該長(zhǎng)度為固定三角形周長(zhǎng) 以F、F'為定點(diǎn)、取構(gòu)成該三角形上的第三點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)畫(huà)弧則構(gòu)成該橢圓 Ellipse(函數(shù) 函數(shù)功能：該函數(shù)用于畫(huà)一個(gè)橢圓 橢圓的中心是限定矩形的中心 使用當(dāng)前畫(huà)筆畫(huà)橢圓 用當(dāng)前的畫(huà)刷填充橢圓 函數(shù)原型：BOOL Ellipse(HDC hdc, int nLeftRect, int nTopRect, nRightRect, int nBottomRect. 參數(shù)： hdc：設(shè)備環(huán)境句柄 nLeftRect：指定限定矩形左上角的X坐標(biāo) nTopRect：指定限定矩形左上角的Y坐標(biāo) nRightRect：指定限定矩形右下角的X坐標(biāo) nBottomRec

16、t：指定限定矩形右下角的Y坐標(biāo) 返回值：如果函數(shù)調(diào)用成功 返回值非零；如果函數(shù)調(diào)用失敗 返回值是0 雙曲線 定義：我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離的差的絕對(duì)值等于一個(gè)常數(shù)的軌跡稱為雙曲線 定義1： 平面內(nèi) 到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)（小于這兩個(gè)定點(diǎn)間的距離1）的點(diǎn)的軌跡稱為雙曲線 定義2：平面內(nèi) 到給定一點(diǎn)及一直線的距離之比大于1且為常 數(shù)的點(diǎn)的軌跡稱為雙曲線 定義3：一平面截一圓錐面 當(dāng)截面與圓錐面的母線不平行 且與圓錐面的兩個(gè)圓錐都相交時(shí) 交線稱為雙曲線 定義4：在平面直角坐標(biāo)系中 二元二次方程h(x,y=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0滿足以下條件時(shí) 其圖像為雙曲

17、線 1. a,b,c不都是0 2. b2 - 4ac > 0 在高中的解析幾何中 學(xué)到的是雙曲線的中心在原點(diǎn) 圖像關(guān)于x y軸對(duì) 稱的情形 這時(shí)雙曲線的方程退化為：x2/a2 - y2/b2 = 1 上述的四個(gè)定義是等價(jià)的 重要概念和性質(zhì) 以下從純幾何的角度給出一些雙曲線的相關(guān)概念和性質(zhì) 雙曲線有兩個(gè)分支 在定義1中提到的兩給定點(diǎn)稱為該雙曲線的焦點(diǎn) 定義2中提到的一給定點(diǎn)也是雙曲線的焦點(diǎn) 雙曲線有兩個(gè)焦點(diǎn) 在定義2中提到的給定直線稱為該雙曲線的準(zhǔn)線 在定義2中提到的到給定點(diǎn)與給定直線的距離之比 稱為該雙曲線的離心率 雙曲線有兩個(gè)焦點(diǎn) 兩條準(zhǔn)線 （注意：盡管定義2中只提到了一個(gè)焦點(diǎn)和一條準(zhǔn)

18、線 但是給定同側(cè)的一個(gè)焦點(diǎn) 一條準(zhǔn)線以及離心率可以根據(jù)定義2同時(shí)得到雙曲線的兩支 而兩側(cè)的焦點(diǎn) 準(zhǔn)線和相同離心率得到的雙曲線是相同的 ） 雙曲線與兩焦點(diǎn)連線的交點(diǎn) 稱為雙曲線的頂點(diǎn) 雙曲線有兩條漸近線 ·雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 1、軌跡上一點(diǎn)的取值范圍：xa,x-a（焦點(diǎn)在x軸上）或者ya,y-a（焦點(diǎn)在y軸上） 2、對(duì)稱性：關(guān)于坐標(biāo)軸和原點(diǎn)對(duì)稱 3、頂點(diǎn)：A(-a,0 A'(a,0 同時(shí) AA'叫做雙曲線的實(shí)軸且AA'=2a. B(0,-b B'(0,b 同時(shí) BB'叫做雙曲線的虛軸且BB'=2b. 4、漸近線： 焦點(diǎn)在x軸：y=

19、77;(b/ax. 焦點(diǎn)在y軸：y=±(a/bx. 圓錐曲線=ep/1-ecos當(dāng)e>1時(shí) 表示雙曲線 其中p為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離 為弦與X軸夾角 令1-ecos=0可以求出 這個(gè)就是漸近線的傾角 =arccos（1/e） 令=0 得出=ep/1-e, x=cos=ep/1-e 令=PI 得出=ep/1+e ,x=cos=-ep/1+e 這兩個(gè)x是雙曲線定點(diǎn)的橫坐標(biāo) 求出他們的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)（雙曲線中心橫坐標(biāo)） x=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2 （注意化簡(jiǎn)一下） 直線cos=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2 是雙曲線一條對(duì)稱軸 注意是不與曲線相交的對(duì)稱軸

20、將這條直線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)PI/2-arccos（1/e）角度后就得到漸近線方程 設(shè)旋轉(zhuǎn)后的角度是' 則'=-【PI/2-arccos（1/e）】 則='+【PI/2-arccos（1/e）】 帶入上式： cos'+【PI/2-arccos（1/e）】=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2 即：sin【arccos（1/e）-'】=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2 現(xiàn)在可以用取代式中的'了 得到方程：sin【arccos（1/e）-】=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2 現(xiàn)證明雙曲線x2/a2-y/b2=1 上的點(diǎn)在漸近線

21、中 設(shè)M(x,y是雙曲線在第一象限的點(diǎn) 則 y=（b/a）（x2-a2 (x>a 因?yàn)閤2-a2< ax2="bx/a" a(x2-a2 即y< a> 所以 雙曲線在第一象限內(nèi)的點(diǎn)都在直線y=bx/a下方 根據(jù)對(duì)稱性第二、三、四象限亦 如此 5、離心率： 第一定義： e=c/a 且e（1 +. 第二定義：雙曲線上的一點(diǎn)P到定點(diǎn)F的距離PF 與 點(diǎn)P到定直線(相應(yīng)準(zhǔn)線的距離d 的比等于雙曲線的離心率e. d點(diǎn)（PF）/d線（點(diǎn)P到定直線(相應(yīng)準(zhǔn)線的距離）=e 6、雙曲線焦半徑公式（圓錐曲線上任意一點(diǎn)P(x,y到焦點(diǎn)距離） 左焦半徑：r=ex+a 右焦半

22、徑：r=ex-a 7、等軸雙曲線 一雙曲線的實(shí)軸與虛軸長(zhǎng)相等 即：2a=2b 且 e=2 這時(shí)漸近線方程為：y=±x（無(wú)論焦點(diǎn)在x軸還是y軸） 8、共軛雙曲線 雙曲線S'的實(shí)軸是雙曲線S的虛軸 且 雙曲線S'的虛軸是雙曲線S的實(shí)軸時(shí) 稱雙曲線S'與雙曲線S為共軛雙曲線 幾何表達(dá)：S：(x2/a2-(y2/b2=1 S'：(y2/b2-(x2/a2=1 特點(diǎn)：（1）共漸近線 （2）焦距相等 （3）兩雙曲線的離心率平方后的倒數(shù)相加等于1 9、準(zhǔn)線： 焦點(diǎn)在x軸上：x=±a2/c 焦點(diǎn)在y軸上：y=±a2/c 10、通徑長(zhǎng)：（圓錐曲線（除

23、圓外）中 過(guò)焦點(diǎn)并垂直于軸的弦） d=2b2/a 11、過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)公式： d=2pe/(1-e2cos2 12、弦長(zhǎng)公式： d = (1+k2|x1-x2| = (1+k2(x1-x22 = (1+1/k2|y1-y2| = (1+1/k2(y1-y22 推導(dǎo)如下： 由 直線的斜率公式：k = (y1 - y2 / (x1 - x2 得 y1 - y2 = k(x1 - x2 或 x1 - x2 = (y1 - y2/k 分別代入兩點(diǎn)間的距離公式：|AB| = (x1 - x22 + (y1 - y22 稍加整理即得： |AB| = |x1 - x2|(1 + k2 或 |AB| = |y1

24、 - y2|(1 + 1/k2 ·雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)公式與反比例函數(shù) X2/a2 - Y2/b2 = 1(a>0,b>0 而反比例函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)型是 xy = c (c 0 但是反比例函數(shù)確實(shí)是雙曲線函數(shù)經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)得到的 因?yàn)閤y = c的對(duì)稱軸是 y=x, y=-x 而X2/a2 - Y2/b2 = 1的對(duì)稱軸是x軸 y軸 所以應(yīng)該旋轉(zhuǎn)45度 設(shè)旋轉(zhuǎn)的角度為 a （a0,順時(shí)針） (a為雙曲線漸進(jìn)線的傾斜角 則有 X = xcosa + ysina Y = - xsina + ycosa 取 a = /4 則 X2 - Y2 = (xcos(/4 + ysin(/42 -(xsin

25、(/4 - ycos(/42 = (2/2 x + 2/2 y2 -(2/2 x - 2/2 y2 = 4 (2/2 x (2/2 y = 2xy. 而xy=c 所以 X2/(2c - Y2/(2c = 1 (c>0 Y2/(-2c - X2/(-2c = 1 (c<0 由此證得 反比例函數(shù)其實(shí)就是雙曲線函數(shù).只不過(guò)是雙曲線在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的另一種擺放形式. ·雙曲線焦點(diǎn)三角形面積公式 若F1PF2=, 則SF1PF2=b2;·cot（/2 ·例：已知F1、F2為雙曲線C：x2;-y;=1的左右焦點(diǎn) 點(diǎn)P在C上 F1PF2=60° 則P到x

26、軸的距離為多 少？ 解：由雙曲線焦點(diǎn)三角形面積公式得SF1PF2=b2;·cot（/2=1×cot30° 設(shè)P到x軸的距離為h 則SF1PF2=1/2×F1F2×h=1/222×h=3 h=6/2 拋物線 定義 平面內(nèi),到一個(gè)定點(diǎn)F和不過(guò)F的一條定直線l距離相等的點(diǎn)的軌跡(或集合稱之為拋物線 且定點(diǎn)F不在直線上另外 , F 稱為"拋物線的焦點(diǎn)" l 稱為"拋物線的準(zhǔn)線" 定義焦點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為"焦準(zhǔn)距",用p表示p>0. 以平行于地面的方向?qū)⑶懈钇矫娌迦胍粋€(gè)圓錐

27、 可得一個(gè)圓 如果傾斜這個(gè)平面直至與其一邊平行 就可以做一條拋物線 標(biāo)準(zhǔn)方程 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四個(gè)： 右開(kāi)口拋物線:y2=2px 左開(kāi)口拋物線:y2= -2px 上開(kāi)口拋物線:x2=2py 下開(kāi)口拋物線:x2= -2py p為焦準(zhǔn)距（p>0） 在拋物線y2=2px中 焦點(diǎn)是(p/2 0） 準(zhǔn)線l的方程是x= -p/2； 在拋物線y2= -2px 中 焦點(diǎn)是( -p/2 0） 準(zhǔn)線l的方程是x=p/2； 在拋物線x2=2py 中 焦點(diǎn)是（0 p/2） 準(zhǔn)線l的方程是y= -p/2； 在拋物線x2= -2py中 焦點(diǎn)是（0 -p/2） 準(zhǔn)線l的方程是y=p/2； 相關(guān)參數(shù) (對(duì)于向右開(kāi)口的

28、拋物線 離心率:e=1 焦點(diǎn):(p/2 0 準(zhǔn)線方程l:x=-p/2 頂點(diǎn):(0 0 通徑：2P ；定義：圓錐曲線（除圓外）中 過(guò)焦點(diǎn)并垂直于軸的弦定義域（X0） 值域（YR 解析式求法 以焦點(diǎn)在X軸上為例 知道P（x0 y0 令所求為y2=2px 則有y02=2px0 2p=y02/x0 拋物線為y2=(y02/x0x 光學(xué)性質(zhì) 經(jīng)焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后的光線平行拋物線的對(duì)稱軸 面積和弧長(zhǎng)公式 面積 Area=2ab/3 弧長(zhǎng) Arc length ABC =(b2+16a2 /2+b2/8a ln(4a+(b2+16a2 /b 其他 拋物線：y = ax2 + bx + c （a0 就是

29、y等于ax 的平方加上 bx再加上 c a > 0時(shí)開(kāi)口向上 a < 0時(shí)開(kāi)口向下 c = 0時(shí)拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn) b = 0時(shí)拋物線對(duì)稱軸為y軸 還有頂點(diǎn)式y(tǒng) = a（x-h）2 + k 就是y等于a乘以（x-h）的平方+k h是頂點(diǎn)坐標(biāo)的x k是頂點(diǎn)坐標(biāo)的y 標(biāo)準(zhǔn)形式的拋物線在x0 y0點(diǎn)的切線就是 ：yy0=p(x+x0 一般用于求最大值與最小值 拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程:y2=2px 它表示拋物線的焦點(diǎn)在x的正半軸上,焦點(diǎn)坐標(biāo)為(p/2,0 準(zhǔn)線方程為x=-p/2 由于拋物線的焦點(diǎn)可在任意半軸,故共有標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 對(duì)稱性解題 我們知道

30、 拋物線y = ax2 + bx + c ( a 0 是軸對(duì)稱圖形 它的對(duì)稱軸是直線x = - b/ 2a 它的頂點(diǎn)在對(duì)稱軸上 解決有關(guān)拋物線的問(wèn)題時(shí) 若能巧用拋物線的對(duì)稱性 則?？梢越o出簡(jiǎn)捷的解法 例1已知拋物 線的對(duì)稱軸是x =1 拋物線與y軸交于點(diǎn)（0 3） 與x軸兩交點(diǎn)間的距離為4 求此拋物線的解析式 分析設(shè)拋物線的解析式為y = ax2 + bx + c 若按常規(guī)解法 則需要解關(guān)于a、b、c的三元一次方程組 變形過(guò)程比較繁雜；若巧用拋物線的對(duì)稱性 解法就簡(jiǎn)捷了 因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸為x =1 與x軸兩交點(diǎn)間的距離為4 由拋物線的對(duì)稱性可知 它與x軸交于A（-1 0）、B（3 0）兩點(diǎn)

31、于是可設(shè)拋物線的解析式為y = a（x+1）（x-3） 又因?yàn)閽佄锞€與y軸交于點(diǎn)（0 3） 所以3 = -3a 故a =-1 y = -（x+1）（x-3） 即 y = - x2 + 2x +3 例2已知拋物線經(jīng)過(guò)A（-1 2）、B（3 2）兩點(diǎn) 其頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為6 求當(dāng)x =0時(shí)y的值 分析要求當(dāng)x =0時(shí)y的值 只要求出拋物線的解析式即可 由拋物線的對(duì)稱性可知 A（-1 2）、B（3 2）兩點(diǎn)是拋物線上的對(duì)稱點(diǎn) 由此可知 拋物線的對(duì)稱軸是x = 1 故拋物線的頂點(diǎn)是（1 6） 于是可設(shè)拋物線的解析式為y = a（x-1）2+ 6 因?yàn)辄c(diǎn)（-1 2）在拋物線上 所以4a + 6 = 2 故a

32、 = -1 y = -(x-12+ 6 即 y = - x2 + 2x +5 當(dāng)x =0時(shí) y = 5 例3已知拋物線與x軸兩交點(diǎn)A、B間的距離為4 與y軸交于點(diǎn)C 其頂點(diǎn)為（-1 4） 求ABC的面積 分析要求ABC的面積 只要求出點(diǎn)C的坐標(biāo)即可 為此 需求出拋物線的解析式 由題設(shè)可知 拋物線的對(duì)稱軸是x = -1 由拋物線的對(duì)稱性可知 A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-3 0）、（1 0） 故可設(shè)拋物線的解析式為y = a（x+1）2+ 4或y = a（x+3）（x-1） 點(diǎn)（1 0）在拋物線上 4a + 4 = 0 a = -1 y = -（x+1）2+ 4 即 y = - x2 - 2x +3 點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0 3