高考圓錐曲線中的定點(diǎn)與定值問題(題型總結(jié)超全)

1、 專題08 解鎖圓錐曲線中的定點(diǎn)與定值問題一、解答題1省市第二中學(xué)2018屆高三上學(xué)期期中已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，離心率為；圓過橢圓的三個(gè)頂點(diǎn).過點(diǎn)且斜率不為0的直線與橢圓交于兩點(diǎn).（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）證明：在軸上存在定點(diǎn)，使得為定值；并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).答案（1）（2）解析試題分析：（）設(shè)圓過橢圓的上、下、右三個(gè)頂點(diǎn)，可求得，再根據(jù)橢圓的離心率求得，可得橢圓的方程；（）設(shè)直線的方程為，將方程與橢圓方程聯(lián)立求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算得 。設(shè)x軸上的定點(diǎn)為，可得，由定值可得需滿足，解得可得定點(diǎn)坐標(biāo)。解得。橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（）證明：由題意設(shè)直線的方程為，由消去y整理得，設(shè)，要使其為定值，需滿足

2、，解得.故定點(diǎn)的坐標(biāo)為.點(diǎn)睛：解析幾何中定點(diǎn)問題的常見解法(1)假設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線系方程，而該方程與參數(shù)無關(guān)，故得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即所求定點(diǎn)；(2)從特殊位置入手，找出定點(diǎn)，再證明該點(diǎn)符合題意2省市第七中學(xué)2017-2018學(xué)年高二上學(xué)期半期考已知斜率為的直線經(jīng)過點(diǎn)與拋物線（為常數(shù)）交于不同的兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，弦的長為.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線交拋物線于另一點(diǎn)，且直線經(jīng)過點(diǎn)，判斷直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由.答案（1）;（2）直線過定點(diǎn)解析試題分析：（1）根據(jù)弦長公式即可求出答

3、案；（2）由（1）可設(shè)，則，則；同理：.由在直線上（1）；由在直線上將（1）代入（2）將（2）代入方程，即可得出直線過定點(diǎn)（2）設(shè)，則，則即；同理：；.由在直線上，即（1）；由在直線上將（1）代入（2）將（2）代入方程，易得直線過定點(diǎn)3省市第七中學(xué)2017-2018學(xué)年高二上學(xué)期半期考已知拋物線過點(diǎn)，是上一點(diǎn)，斜率為的直線交于不同兩點(diǎn)（不過點(diǎn)），且的重心的縱坐標(biāo)為.（1）求拋物線的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）記直線的斜率分別為，求的值.答案（1）方程為;其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2）解析試題分析;（1）將代入，得，可得拋物線的方程與其焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)直線的方程為，將它代入得，利用韋達(dá)定理，結(jié)合斜率公式以

4、與的重心的縱坐標(biāo)，化簡可的值；因?yàn)榈闹匦牡目v坐標(biāo)為，所以，所以，所以，所以，又.所以.4已知橢圓的短軸端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為2（）求橢圓的方程；（）過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，若，求證：為定值答案(1);(2)詳見解析.解析試題分析：（）利用橢圓的幾何要素間的關(guān)系進(jìn)行求解；（）聯(lián)立直線和橢圓的方程，得到關(guān)于或的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系和平面向量的線性運(yùn)算進(jìn)行證明. （）由題意直線過點(diǎn)，且斜率存在，設(shè)方程為,將代人得點(diǎn)坐標(biāo)為，由，消元得，設(shè)，則且，方法一：因?yàn)?，所? 同理，且與異號(hào)， 所以. 所以，為定值.當(dāng)時(shí)，同理可得. 所以，為定值.同理，且與異號(hào)， 所以. 又當(dāng)直線與軸重合

5、時(shí)，所以，為定值.點(diǎn)睛本題考查直線和橢圓的位置關(guān)系，其主要思路是聯(lián)立直線和橢圓的方程，整理成關(guān)于或的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，在設(shè)方程時(shí)，往往設(shè)為，可減少討論該直線是否存在斜率.5省南山中學(xué)2017-2018學(xué)年高二上學(xué)期期中考設(shè)拋物線：，為的焦點(diǎn)，過的直線與相交于兩點(diǎn).（1）設(shè)的斜率為1，求；（2）求證：是一個(gè)定值.答案(1) （2）見解析解析試題分析：（1）把直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系與拋物線的定義、弦長公式即可得出；（2）把直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系、向量的數(shù)量積即可得出；（2）證明：設(shè)直線的方程為，由得，是一個(gè)定

6、值.點(diǎn)睛：熟練掌握直線與拋物線的相交問題的解題模式、根與系數(shù)的關(guān)系與拋物線的定義、過焦點(diǎn)的弦長公式、向量的數(shù)量積是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力,直線方程設(shè)成也給解題帶來了方便.6市第三十三中2016-2017學(xué)年高一下學(xué)期期末已知橢圓C:的離心率為,右焦點(diǎn)為(,0).(1)求橢圓C的方程;  (2)若過原點(diǎn)作兩條互相垂直的射線,與橢圓交于A,B兩點(diǎn),求證:點(diǎn)O到直線AB的距離為定值.答案(1) ,(2)O到直線 的距離為定值.解析試題分析：（1）根據(jù)焦點(diǎn)和離心率列方程解出a，b，c；（2）對于AB有無斜率進(jìn)行討論，設(shè)出A，B坐標(biāo)和直線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系和距離公式計(jì)算；有O

7、AOB知x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m) (kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)=0 代入,得4m2=3k2+3原點(diǎn)到直線AB的距離 ， 當(dāng)AB的斜率不存在時(shí),可得, 依然成立.所以點(diǎn)O到直線的距離為定值 . 點(diǎn)睛： 本題考查了橢圓的性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，分類討論思想，對于這類題目要掌握解題方法設(shè)而不求，套用公式解決7省市石室中學(xué)2017-2018學(xué)年高二10月月考已知雙曲線漸近線方程為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上（）求雙曲線的方程；（）已知為雙曲線上不同兩點(diǎn)，點(diǎn)在以為直徑的圓上，求的值答案（）；（）.解析試題分析：（1）根據(jù)漸近線方程得到設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)

8、方程，代入點(diǎn)M的坐標(biāo)求得參數(shù)即可；（2）由條件可得，可設(shè)出直線的方程，代入雙曲線方程求得點(diǎn)的坐標(biāo)可求得。（）由題意知。設(shè)直線方程為，由 ，解得，。由直線方程為.以代替上式中的，可得。 8省株洲市醴陵第二中學(xué)、醴陵第四中學(xué)2018屆高三上學(xué)期兩校期中聯(lián)考已知橢圓E:經(jīng)過點(diǎn)P(2,1)，且離心率為（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，在橢圓短軸上有兩點(diǎn)M，N滿足，直線PM、PN分別交橢圓于A，B探求直線AB是否過定點(diǎn)，如果經(jīng)過定點(diǎn)請求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不經(jīng)過定點(diǎn)，請說明理由答案（1）；（2）直線AB過定點(diǎn)Q（0，2）.解析試題分析：（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)得到橢圓方程；（2）先由特殊情況得到結(jié)

9、果，再考慮一般情況，聯(lián)立直線和橢圓得到二次函數(shù)，根據(jù)韋達(dá)定理，和向量坐標(biāo)化的方法，得到結(jié)果。x1+x2=，x1x2=， 又直線PA的方程為y1=（x2），即y1=（x2），因此M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，），同理可知：N（0，），當(dāng)且僅當(dāng)t=2時(shí)，對任意的k都成立，直線AB過定點(diǎn)Q（0，2）.9市第十八中學(xué)2018屆高三上學(xué)期第三次月考已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為.過原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，若，且的周長為.（1）求橢圓的方程；（2） 設(shè)橢圓在點(diǎn)處的切線記為直線，點(diǎn)在上的射影分別為，過作的垂線交軸于點(diǎn)，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.答案(1);(2)1.解析試題分析;

10、（1）設(shè)，則，設(shè)， ，以與， ，由,由橢圓的定義可得，結(jié)合，綜合可得：，可得橢圓的方程；（2）由（1）知，直線的方程為：，由此可得.，又，的方程為，可得則可得，又，.，故.當(dāng)直線平行于軸時(shí)，易知，結(jié)論顯然成立.綜上，可知為定值1.有，則，綜合可得：橢圓的方程為：.（2）由（1）知，直線的方程為：即：，所以.，的方程為，令，可得，則又點(diǎn)到直線的距離為，.當(dāng)直線平行于軸時(shí)，易知，結(jié)論顯然成立.綜上，.點(diǎn)睛本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與圓錐曲線的關(guān)系，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓的位置關(guān)系，是解析幾何的綜合應(yīng)用，難度較大10省第一中學(xué)2018屆高三上學(xué)期第三次月考在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線與拋物線y24x

11、相交于不同的A，B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1) 如果直線過拋物線的焦點(diǎn)且斜率為1，求的值；（2）如果，證明：直線必過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn).答案（1）8；（2）證明見解析解析試題分析：（）根據(jù)拋物線的方程得到焦點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)和直線方程，是直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，得到關(guān)于y的一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，求出弦長；（）設(shè)出直線的方程，同拋物線方程聯(lián)立，得到關(guān)于y的一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系表示出數(shù)量積，根據(jù)數(shù)量積等于4，做出數(shù)量積表示式中的b的值，即得到定點(diǎn)的坐標(biāo)令b24b4，b24b40，b2，直線l過定點(diǎn)(2,0)若·4，則直線l必過一定點(diǎn)點(diǎn)睛：定點(diǎn)、

12、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點(diǎn)”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉與的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的. 定點(diǎn)、定值問題同證明問題類似，在求定點(diǎn)、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點(diǎn)、定值顯現(xiàn).11省市第一中學(xué)2017-2018學(xué)年高二上學(xué)期期中已知橢圓，且橢圓上任意一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的最大距離為，最小距離為.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)的動(dòng)直線交橢圓于兩點(diǎn)，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得以線段為直徑的圓恒過點(diǎn)?若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由.答案(1) 橢圓方程為;(2) 以線段為直徑的圓恒過點(diǎn).當(dāng)

13、與軸平行時(shí)，以線段為直徑的圓的方程為.故若存在定點(diǎn)，則的坐標(biāo)只可能為.下面證明為所求：若直線的斜率不存在，上述己經(jīng)證明. 若直線的斜率存在，設(shè)直線，即以線段為直徑的圓恒過點(diǎn).點(diǎn)睛：這個(gè)題是圓錐曲線中的典型題目，證明定值定點(diǎn)問題。第一問考查幾何意義，第二問是常見的將圖的垂直關(guān)系，轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，將垂直轉(zhuǎn)化為向量點(diǎn)積為0 ，再者就是向量坐標(biāo)化的意識(shí)。還有就是這種證明直線過定點(diǎn)問題，可以先通過特殊位置猜出結(jié)果，再證明。12省市新津中學(xué)2018屆高三11月月考已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是橢圓長軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求證：為定值.答案（1）；（2）

14、證明見解析.解析試題分析：（1）由橢圓的離心率，求得，由，得，將點(diǎn)代入，即可求得和的值，求得橢圓方程；（2）設(shè)，直線的方程是與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式將用表示，化簡后消去即可得結(jié)果.（定值），為定值.方法點(diǎn)睛本題主要考查待定待定系數(shù)法橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、韋達(dá)定理的應(yīng)用以與圓錐曲線的定值問題，屬于難題. 探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：從特殊入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.13日壇中學(xué)2016-2017學(xué)年高二上學(xué)期期中已知橢圓的離心率為，半焦距為，且，經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)，斜率為的直線與橢

15、圓交于， 兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（II）設(shè)，延長， 分別與橢圓交于， 兩點(diǎn)，直線的斜率為，求證：為定值答案（I）；（II）見解析.解析試題分析：（I）依題意,得,再由求得,從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;（II）設(shè)， 可求得直線的方程為,與橢圓方程聯(lián)立,由韋達(dá)定理可求得,進(jìn)一步可求, 同理,從而可得,化簡運(yùn)算即可.試題解析：（I）由題意，得解得，故橢圓的方程為點(diǎn)睛：本題主要考查了橢圓的方程與直線與橢圓的位置關(guān)系，是高考的必考點(diǎn)，屬于難題求橢圓方程的方法一般就是根據(jù)條件建立的方程，求出即可，注意的應(yīng)用；涉與直線與圓錐曲線相交時(shí)，未給出直線時(shí)需要自己根據(jù)題目條件設(shè)直線方程，要特別注意直線斜

16、率是否存在的問題，避免不分類討論造成遺漏，然后要聯(lián)立方程組，得一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系寫出，再根據(jù)具體問題應(yīng)用上式，其中要注意判別式條件的約束作用1420172018學(xué)年高中數(shù)學(xué)（教版）選修11 課時(shí)跟蹤訓(xùn)練已知平面的動(dòng)點(diǎn)P到定直線l：x的距離與點(diǎn)P到定點(diǎn)F(，0)之比為.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)若點(diǎn)N為軌跡C上任意一點(diǎn)(不在x軸上)，過原點(diǎn)O作直線AB，交(1)中軌跡C于點(diǎn)A、B，且直線AN、BN的斜率都存在，分別為k1、k2，問k1·k2是否為定值？答案(1) (2) k1·k2解析試題分析：（1）設(shè)出點(diǎn)P，利用兩點(diǎn)間的距離公式分別表示出P到定直線的距

17、離和到點(diǎn)F的距離的比，建立方程求得x和y的關(guān)系式，即P的軌跡方程（2）設(shè)出N，A，則B的坐標(biāo)可知，代入圓錐曲線的方程相減后，可求得k1·k2證明原式試題解析：(1)設(shè)點(diǎn)P(x，y)，依題意，有.整理，得1.所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為1.(2)由題意，設(shè)N(x1，y1)，A(x2，y2)，則B(x2，y2)，1，1.k1·k2·，為定值15省雞澤縣第一中學(xué)2017-2018學(xué)年高二10月月考如圖，已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過點(diǎn)F做x軸的垂線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)若M，N為橢圓上異于點(diǎn)A的兩點(diǎn)，且直線的傾斜角互補(bǔ)，問直線MN的斜率是否為定值?

18、若是，求出這個(gè)定值；若不是，請說明理由答案(1);(2) .試題解析:（1）由題意可知，令，代入橢圓可得，所以，又，兩式聯(lián)立解得：， . 又直線的斜率與的斜率互為相反數(shù)，在上式中以代替，可得，,所以直線的斜率，即直線的斜率為定值，其值為. 點(diǎn)睛: 本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系，所使用方法為韋達(dá)定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，故用韋達(dá)定理與判別式是解決圓錐曲線問題的重點(diǎn)方法之一，尤其是弦中點(diǎn)問題，弦長問題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用16市西城魯迅中學(xué)2016-2017學(xué)年

19、高二上學(xué)期期中過點(diǎn)且與直線相切，設(shè)圓心的軌跡為曲線，（在軸的右側(cè)）為曲線上的兩點(diǎn)，點(diǎn)，且滿足（）求曲線的方程（）若，直線的斜率為，過，兩點(diǎn)的圓與拋物線在點(diǎn)處共同的切線，求圓的方程（）分別過，作曲線的切線，兩條切線交于點(diǎn)，若點(diǎn)恰好在直線上，求證：與均為定值答案(1) (2) (3)見解析解析試題分析：（1）由拋物線定義得曲線為拋物線，根據(jù)基本量可得其標(biāo)準(zhǔn)方程（2）先根據(jù)直線AB方程與拋物線方程解出A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)，再利用導(dǎo)數(shù)求出在點(diǎn)處的切線的斜率，則得圓心與A連線的直線方程，設(shè)圓一般式方程，利用三個(gè)條件解方程組得圓的方程（3）設(shè)，則利用導(dǎo)數(shù)求出在點(diǎn)處的切線的斜率，利用點(diǎn)斜式寫出切線方程，同理可得，

20、即得兩根為，利用韋達(dá)定理化簡直線AB斜率得，即得AB方程為，因此，再根據(jù)向量數(shù)量積可計(jì)算得=0由，得，即，拋物線在點(diǎn)處切線的斜率圓的方程為，整理得（）設(shè)，過點(diǎn)的切線方程為，即，同理得，又，整理得，與均為定值點(diǎn)睛：1.求定值問題常見的方法有兩種(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值2定點(diǎn)的探索與證明問題(1)探索直線過定點(diǎn)時(shí)，可設(shè)出直線方程為，然后利用條件建立等量關(guān)系進(jìn)行消元，借助于直線系的思想找出定點(diǎn)(2)從特殊情況入手，先探求定點(diǎn)，再證明與變量無關(guān)17市2018屆高三畢業(yè)班摸底聯(lián)考已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為.（l

21、）求拋物線的方程；（2）拋物線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩個(gè)不同的點(diǎn)（均與點(diǎn)不重合），設(shè)直線的斜率分別為，求證：為定值.答案(1)；(2)證明見解析.解析試題分析：（1）由焦半徑定義和點(diǎn)在拋物線上建立兩個(gè)方程，兩個(gè)未知數(shù)，可求得拋物線方程。（2）由（1）知拋物線的方程，與，設(shè)過點(diǎn)的直線的方程為,代入得,由韋達(dá)定理可求得為定值上。（2）點(diǎn)在拋物線上，且.，設(shè)過點(diǎn)的直線的方程為，即，代入得，設(shè)，則，所以.18如圖，橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為（）求橢圓的方程（）經(jīng)過點(diǎn)，且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，（均異于點(diǎn)），判斷直線與的斜率之和是否為定值？若是定值，求出改定值；若不是定值，請說明理由答案（1）（）斜率之和為定值解析（1）根據(jù)題意知：，結(jié)合，解得：，橢圓的方程為：從而直線，的斜率之和：故直線、斜率之和為定值點(diǎn)睛：本題主要考查了橢圓的方程與直線與橢圓的位置關(guān)系，是高考的必考點(diǎn)，屬于難題求橢圓方程的方法一般就是根據(jù)條件建立的方程，求出即可，注意的應(yīng)用；涉與直線與圓錐曲線相交時(shí)，未給出直線時(shí)需要自己根據(jù)題目條件設(shè)直線方程，要特別注意直線斜率是否存在的問題，避免不分類討論造成遺漏，然后要聯(lián)立方程組，得一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系寫出，再根據(jù)具體問題應(yīng)用上式，其中要注意判別式條件的約束作用19市2018屆高三畢業(yè)