北師大版九年級上冊 第一章《特殊平行四邊形》 講義（無答案）

1、 第一講：特殊的平行四邊形一、知識概要【菱形】 1.菱形的定義： 的平行四邊形叫菱形 2.性質(zhì):（1）菱形的四條邊_，對邊_. （2）菱形的相鄰的角_，對角_. （3）菱形的對角線_，并且每一條對角線_. （4）菱形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點(diǎn)（對稱中心到菱形四條邊的距離相等）；對稱軸有兩條，是對角線所在的直線。 3.判定:（1）定義：_的平行四邊形是菱形 （2）定理1：_的四邊形是菱形 （3）定理2：對角線_的平行四邊形是菱形 4、菱形的面積 S菱形=底邊長×高=兩條對角線乘積的一半【矩形】1. 矩形的定義：_.2.性質(zhì):（1）矩形的對邊_. （2）矩形的

2、四個(gè)角都是_. （3）矩形的對角線_. （4）矩形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點(diǎn)（對稱中心到矩形四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等）；對稱軸有兩條，是對邊中點(diǎn)連線所在的直線。3. 判定:（1）定義：_的平行四邊形是矩形 （2）定理1：_的四邊形是矩形 （3）定理2：對角線_的平行四邊形是矩形 4. 矩形的面積 S矩形 =長×寬=ab5. 直角三角形斜邊上的中線 6. 如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這邊的一半,那么這個(gè)三角形是 【正方形】 1.正方形的定義：_的平行四邊形叫做正方形.2. 性質(zhì)：（1）正方形四條邊_，對邊_. （2）正方形的四個(gè)角_. （3）正方形的兩條對角線_

3、，每一條對角線_. （4）正方形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點(diǎn)；對稱軸有四條，是對角線所在的直線和對邊中點(diǎn)連線所在的直線。3.判定:判定一個(gè)四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種：先證它是矩形，再證它是菱形。先證它是菱形，再證它是矩形。判定定理1：有 的平行四邊形叫做正方形； 推論1：有 的矩形叫做正方形； 推論2：有 的菱形叫做正方形判定定理2：對角線 的四邊形是正方形判定定理3：對角線 的平行四邊形是正方形 推論1：對角線 的矩形是正方形； 推論2：對角線 的菱形是正方形4.正方形的面積設(shè)正方形邊長為a，對角線長為b S正方形=二、典型例題 例1： 如圖，在AB

4、CD中，E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，BD是對角線，過點(diǎn)A作AGDB交CB的延長線于點(diǎn)G（1）求證：DEBF；（2）若G90º，求證：四邊形DEBF是菱形如圖，在ABCD中，AE平分BAD，交BC于點(diǎn)E，BF平分ABC，交AD于點(diǎn)F，AE與BF交于點(diǎn)P，連接EF，PD求證：四邊形ABEF是菱形。 例2：已知菱形ABCD的對角線AC、BD交于點(diǎn)O，且AC=16，BD=12，（1）求菱形ABCD的邊長；（2）求菱形ABCD的高DH如圖：四邊形ABCD是菱形，對角線AC與BD相交于O，菱形ABCD的周長是20，BD=6（1）求AC的長（2）求菱形ABCD的高DE的長例3：如圖，在平行四邊

5、形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，連接AE并延長交DC的延長線于點(diǎn)F（1）求證：AB=CF；（2）當(dāng)BC與AF滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形ABFC是矩形，并說明理由 已知：在矩形ABCD中，AEBD于E，DAE=3BAE ，求：EAC的度數(shù)。例4：如圖，點(diǎn)是正方形內(nèi)一點(diǎn)，是等邊三角形，連接、，延長交邊于點(diǎn). （1）求證:；（2）求的度數(shù). 在正方形ABCD中，CEDF（1）如圖1，證明：BE=CF（2）如圖2，設(shè)正方形對角線交點(diǎn)為O，連接EO，F(xiàn)O，猜想：OE與OF之間的關(guān)系并說明理由（3）在（2）中，若OE=5，F(xiàn)C=1，求正方形的邊長 例5：若分別以三角形ABC的邊AB、AC為邊，在三角形外作正方形ABDE、ACFG，求證：BG=EC，BGEC。 1. 如圖，正方形ABCD中，EAF=45&