角平分線模型的構造

1、精品第二章角平分線模型的構造技巧提煉：與角平分線有關的常用輔助線作業(yè)，即角平分線的四大基本模型。已知 P 是MON平分線上一點，（ 1）若 PAOM 于點 A ，如圖 a，可以過 P 點作 PB ON 于點 B，則 PB=PA ?？捎洖椤皥D中有角平分線，可向兩邊作垂線” 。（ 2）若點 A 是射線 OM 上任意一點，如圖b，可以在 ON 上截取 OB=OA ，連接 PB，構造 OPB OPA ?？捎洖椤皥D中有角平分線，可以將圖形對折看，對稱以后關系現”。（ 3）若 AP OP 于點 P，如圖 c，可延長 AP 交 ON 于點 B，構造AOB 是等腰三角形， P 是底邊 AB 的中點，可記為“角

2、平分線加垂線，三線合一試試看”。（ 4）若過 P 點作 PQON 交 OM 于點 Q ，如圖 d ，可以構造 POQ 是等腰三角形，可記為“角平分線+ 平行線，等腰三角形必呈現”。例題精講例 1 （1 ）如圖 a，在ABC 中，C=90 ,AD 平分CAB ，BC=6 cm ， BD=4 cm ，那么點 D 到直線 AB 的距離是cm 。（ 2 ）如圖 b，已知： 1= 2 ，3= 4 ，求證： AP 平分BAC 。感謝下載載精品例 2 如圖 a 在 Rt ABC 中，ACB=90 ，CD AB ，垂足為D， AF 平分CAB ，交 CD 于點 E，交 CB 于點 F，（ 1 ）求證： CE=

3、CF 。（ 2 ）將圖 a 中的ADE 沿 AB 向右平移到 A D E的位置，使點 E 落在 BC 邊上，其他條件不變，如圖b ，試猜想 :BE與 CF 有怎樣的數量有關系？請證明你的結論。例 3 閱讀下列學習材料：如圖 a，OP 平分MON ，A 為 OM 上一點， C 為 OP 上一點， 連接 AC ，在射線 ON 上截取 OB=OA ，連接 BC，易證AOC OBC 。請根據上面的學習材料，解答下列各題：（ 1 ）如圖 c，在ABC 中，AD 中BAC 的外角平分線， P 是 AD 上異于 A 點的任意一點， 試比較 PB+PC 與 AB+AC的大小，并說明理由。（ 2 ）如圖 d，

4、AD 中BAC 的內角平分線，其他條件不變，試比較PC-PB 與 AC-AB 的大小，并說明理由。感謝下載載精品例 4 如圖，已知等腰直角 ABC 中，A=90 ,AB=AC ，BD 平分ABC ，CE BD ，垂足為點 E，求證： BD=2CE 。例 5 （ 1 ）如圖 a， BD 、CE 分別是 ABC 的外角平分線，過點A 作 AD BD 、 AECE，垂足分別為D 、E，連1接 DE，求證 DEBC， DE=( ABBCAC ) ；2（ 2 ）如圖 b， BD 、 CE 分別是ABC 的內角平分線，其他條件不變；（ 3 ）如圖 c， BD 為ABC 的內角平分線，CE 為ABC 的外角

5、平分線，其他條件不變，則在圖 b ，圖 c 兩種情況下， DE 與 BC 還平行嗎？它與 ABC 三邊又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜測，并對其中的一種情況進行證明。感謝下載載精品變式練習：如圖，在 ABC 中， AB=3AC ，BAC 的平分線交BC 于點 D ，過點 B 作 BE AD ，垂足為E，求證： AD=DE 。例 6 如圖 a， AB=AC ， BD 、 CD 分別平分 ABC 、ACB ，問：（ 1 ）圖 a 中有幾個等腰三角形？（ 2 ）過點 D 點作 EFBC ，如圖 b，交 AB 于點 E，交 AC 于點 F，圖中又增加了幾個等腰三角形？（ 3 ）如圖 c，若將題中的 A

6、BC 改為不等邊三角形，其他條件不變，圖中有幾個等腰三角形？直接寫出線段EF與 BE、CF 有什么關系？（ 4 ）如圖 d,BD 平分ABC ，CD 平分外角 ACG ，DEBC 交 AB 于點 E，交 AC 于點 F，線段 EF 與 BE、CF 有什么關系？并說明理由。（ 5 ）如圖 e， BD 、 CD 為外角 CBM 、BCN 的平分線， DE BC 交 AB 延長線于點 E，交 AC 延長線于點 F，感謝下載載精品直接寫出線段EF 與 BE、 CF 有什么關系？例 7 如圖，已知在 ABC 中， AC=BC ，C=90 ,AD 平分CAB ，求證： AB=AC+CD 。變式練習：1 、

7、已知ABC 中， AC=AC ，A=108 ,BD 平分ABC ，求證： BC=AB+CD。感謝下載載精品2 、已知ABC 中， AC=AC ，A=100 ,BD 平分ABC ，求證： BC=BD+AD。例 8 如圖 a， OP 是MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以OP 所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考上圖構造全等三角形的方法，解答下列問題：（ 1 ）如圖 b，在ABC 中，ACB 是直角， B=60 ,AD 、 CE 分別是 BAC 、BCA 的平分線， AD 、 CE 相交于點 F，請你判斷寫出 FE 與 FD 之間的數量關系；（ 2 ）如圖 c，在ABC 中，ACB 不是直角，

8、而（1 ）中的其他條件不變，請問，你在（1 ）中所得出結論是否依然成立？若成立請證明，若不成立，請說明理由。感謝下載載精品牛刀小試1 、（ 1 ）如圖 a，在ABC 中，ABC 與ACB 的角平分線相交于點F，過點 F 作 DE BC ，交 AB 于點 D ，交AC 于點 E，若 BD+CE=9，則線段DE 之長為。（ 2 ）如圖 b，在ABC 中， BD 、 CD 分別平分 ABC 和ACB ， DE AB ， FD AC，如果 BC=6 ，求DEF 的周長。12 、已知： BAD= CAD ， ABAC ， CD AD 于點 D ， H 是 BC 的中點。求證：DH( ABAC) 。2感謝

9、下載載精品3 、已知：四邊形ABCD 中，B+ D=180,BC=CD 。求證： AC 平分BAD 。4 、ABC 的外角 ACD 的平分線CP 與內角 ABC 的平分線BP 交于點 P，連接 AP 、CP，若BPC=40 ,求CAP的度數。5 、在四邊形中，BCAB ， AD=CD ， BD 平分ABC ，求證： A+ C=180 。感謝下載載精品6 、如圖 a，BP 平分MBN ，點 D 在射線 BP 上，ADC 的兩邊分別交射線BM 、BN 于 A 、C 兩點，且 ADC+MBN=180。（ 1 ）猜想 AD 與 DC 之間的數量關系，直接寫出你的結論。（ 2 ）圖 b 是ADC 繞點

10、D 旋轉一定角度得到的， （ 1 ）中的結論是否成立？若成立，請證明；若不成立，說明理由。ab7 、（ 1 ）如圖 a，在 Rt ABC 中，C=90 ,B=45 ，AD 是ABC 的角平分線，則AC 、CD 、 AB 三條線段之間的數量關系為。（ 2 ）如圖 b，若將（ 1 ）中條件“在 RtABC 中，C=90 ,B=45 ”改為“在ABC 中，C=2 B”請問（ 1）中的結論是否仍然成立？證明你的猜想。感謝下載載精品8 、在平行四邊形ABCD 中，BAD 的平分線交直線BC 于點 E，交直線 DC 于點 F。（ 1 ）在圖 a 中證明 CE=CF ；（ 2 ）若ABC=90 ,G 是 EF 的中點 (如圖 b)，直接寫出 BDG 的度數；（ 3 ）若ABC=120 ，FGCE，FG=CE ，分別連接 DB 、 DG （如圖 c）,求BDG 的度數。感謝下載載精品9 、已知，在 ODC 中，D=90 ，EC 是DCO 的角平分線，且OE CE，過點 E 作 EF OC 交 OC 于點 F，猜想：線段EF 與 OD 之間的數量關系，并證明。10 、在四邊形ABDE 中， C 是 BD 邊的中點。（ 1 ）如圖 a，若 AC 平分BAE，ACE=90 ，則線段 AE、 AB 、 DE 的長度滿足的數量關系為；（直接寫出答案）（ 2 ）如圖