上下極限的等價性定義及應用

1、上、下極限的等價性定義及其應用摘 要數(shù)列上、下極限的概念，是數(shù)學分析中的兩個重要概念在不同版本的數(shù)學分析教材中，往往以不同形式給出其定義關于數(shù)列上、下極限的概念，常用的表示方法有三種（文中的定義1、2、3）除此之外，本文又給出了兩種定義方式（文中的定義4、5）接著利用實數(shù)完備性和極限理論知識，如：聚點定理，閉區(qū)間套定理，數(shù)列極限的定義以及收斂數(shù)列的性質等，嚴格論證了這五種定義的等價性在此基礎上又探討了數(shù)列上、下極限的一些性質，并給出了其證明過程其次，借助上、下極限的定義及性質，給出了有關上、下極限的若干命題最后，舉例說明了上、下極限在極限運算及數(shù)列與級數(shù)論中的應用關鍵詞：上極限，下極限，聚點，

2、上確界About the Equivalence of the Definitions of Superior Limit and Inferior Limit and Its applicationsYu Li(School of Mathematical Science, Huaibei Normal University, Huaibei, 235000AbstractThe concept of the superior and inferior limit on sequence is two important concepts in mathematical analysisIn

3、 different versions of textbooks of mathematical analysis，often give different forms of its definitionOn the sequence of the superior and inferior limit of the concept，there are three commonly used methods (the definition of paper 1、2、3 In addition，this article gives two definitions (the definition

4、of article 4、5By using of knowledge of completeness of real and limit theory，such as：theorem of the point of accumulation，theorem of nested interval，definitions of sequence limit and the properties of convergence sequence，this article strictly proofs the equivalence of the five definitionsOn these b

5、ases，we discuss some properties of the superior and inferior limit，and give the proofSecondly，using the definitions and properties of the superior and inferior limit，we give some propositions about the superior and inferior limitFinally，this paper gives examples to illustrate the application of the

6、operation of limit and the theory of series of the superior and inferior limitKeywords: superior limit，inferior limit，accumulation，least upper bound目 錄引言 1一、上、下極限的定義 1（一）上、下極限的5種定義1（二）上、下極限定義的等價性證明2二、上、下極限的相關應用 5（一）上、下極限的性質5（二）有關上、下極限的若干命題8（三）上、下極限在極限教學中的作用 121上、下極限在極限運算中的作用122上、下極限在數(shù)列與級數(shù)論中的作用13結論14

7、參考文獻14致謝15引言一個有界數(shù)列不一定有極限，但它卻有上極限和下極限.數(shù)列的上、下極限是極限概念的自然推廣，它是本科教學和學生學習的難點問題.由于目前普遍受教學計劃總時數(shù)的限制，現(xiàn)行一般本科教材中關于數(shù)列上、下極限部分的教學內容大多是不做具體要求，有的即使寫進數(shù)分教材里也是作為選學內容，況且，大多數(shù)教材對上、下極限也討論的不細致、不深入，這樣無疑更加淡化了上、下極限的教學.事實上，上、下極限的概念在許多后繼數(shù)學課程和研究領域里都有重要的應用，例如：實變函數(shù)論，概率論，測度論等學科都從不同角度應用到了上、下極限的概念，所以對上、下極限有個清楚的認識是必要的.本文將從上、下極限的定義、性質、定

8、理、應用四個方面作深入細致的探討，期望對數(shù)學分析的教學有所幫助.關于上、下極限的概念，我們常常在不同的教材看到其定義各不相同，為了深刻認識其內涵，本文給出了上、下極限的五種定義方式，并證明了五種定義的等價性.一、上、下極限的定義（一）上、下極限的5種定義定義1（用“數(shù)列的聚點”來定義） 若表示數(shù)列的最大（?。┚埸c， 則=(.定義2（用“數(shù)列的收斂子列”來定義） 設是有界數(shù)列，若表示數(shù)列的所有收斂子列的極限值中的最大（小）者，則=（=）.定義3（用“數(shù)列的確界”來定義） =稱為數(shù)列的上極限，=稱為數(shù)列的下極限.定義4 稱為數(shù)列的上極限，稱為數(shù)列的下極限.定義5 （1）若對>0,有無窮多個使

9、得>,同時至多有有限個使得>,數(shù)稱為數(shù)列的上極限，記作=.（2）若對>0,有無窮多個使得，同時至多有有限個使得，數(shù)稱為數(shù)列的下極限，記作=.（二）上、下極限定義的等價性證明為了方便起見，僅就上極限的情形予以證明，下極限的情形依此即可.證明 12 因為是數(shù)列的聚點的充要條件是：存在子列收斂于，由此可見的最大聚點，便是的收斂子列極限的最大值.23 令=，由2必存在子列收斂于.因為，于是有=，我們說后面的不等式只能取等號.如若不然，設=，那么由，必使.依的定義，必,使 .由，又必,使.依的定義，必,使.如此類推，一般地由，必,使.依的定義，必,使.令可見也是的收斂子列的極限，這就與

10、已知是最大的子列極限矛盾，于是只有=.又因為遞減且有下界，必收斂，從而必與其子列同極限，所以=.34 因為非空且有下界，從而也非空且有下界.因而的下確界存在，記為=.于是有且>0，必使.又因為遞減，故當時，必有，從而.可見，但由3已知，故，既是=，亦即=.45 已知=，由此先證>0,必有無窮多個,使得 >，如若不然，則>0,必，對有 ，取，則便是從第項起以后的項的上界，于是有=，及.再由已知得矛盾.今再證至多有有限個,使得>.因為已知=，由下確界定義并注意到遞減，>0,必，對有.而，于是當時，對一切自然數(shù)都有 ，這意味著大于的就至多有有限項.51 由5可知，

11、>0,必有無窮多個,使，這意味著便是的聚點.今證再無大于的聚點，否則，設是大于,即 ，由所設是聚點，必有無窮多個,使得>,這與已知至多有有限個使得>矛盾.至此已證完了一個圈，因此本文所給出的數(shù)列上下極限的5種定義是等價的.既然等價，任取其一作為上極限的定義（記作=）也就未嘗不可，而由于其優(yōu)點各異（1、2容易想象，3、4便于運用，5介乎其間），不同的教材側重于不同的優(yōu)點，自然就會出現(xiàn)不同形式的定義了.這里只證了一個圈，我們還可證其它的圈，還可寫出并證明相應的下極限的等價命題.同時我們還可以嘗試用其它的方法來描述上、下極限的概念.這樣做，不僅可以加深對上、下極限概念的理解，而且對

12、訓練自己的發(fā)散思維和創(chuàng)造思維能力等都有一定的幫助.對于一般的數(shù)列，在此約定1、 如果是無上界數(shù)列，其上極限為.記為=2、 如果是無下界數(shù)列，其下極限為.記為=于是，任一數(shù)列的上下極限都存在.今用部分極限證明如下：1）先證任一數(shù)列都有子列極限，因為若無上界，則必有子列以為極限，若有上界但無下界，則必有子列以為極限，若上下都有界，并且有無窮多項取同一數(shù)值，則便是一個常數(shù)列的子列極限，若上下有界，但至多只有有限項相同，則由致密性定理知必有收斂的子列存在.2）再證任一數(shù)列的子列極限必有一個是最大的，一個是最小的，因為若是的子列極限，當然它就是最大的，若不是子列極限，則無有限的子列極限，則由1），必以為

13、唯一的子列極限，所以也就是的最大的子列極限（當然也是最小的子列極限）.若有有限的子列極限，那么這些子列極限的集合必有上界，從而有上確界，記為.今證，若，即非子列極限，則，在的領域中，必只含的有限項.但因，對上述，必，使，而，表明是的子列極限，于是必存在子列收斂于，從而必存在充分大的， 使得的一切項有，這就產生矛盾，故只有，這樣，便是最大的子列極限.同理可證有最小的子列極限.3）將2用于2），便得任一數(shù)列的上、下極限都存在.二、上、下極限的相關應用（一）上、下極限的性質性質1 ，當且僅當存在時取等號.證明 因為 ,從而 .此即 .下證取等號的條件：當=時，因為 ,由迫斂性便知存在.當存在時，設=

14、. 若，則有 ,從而 .可見 .此即 .若，則有，從而 .于是 .也得 .若，同理可證.總之，當且僅當收斂時，.性質2 若，則，.證明 設，.假設，取，則中大于的項有無限多個，由于，故中大于的項有無限多個，這與矛盾.同理可證.性質3（1）若，則，.（2）若，則，.證明 僅證， 令即可得證.性質4 .式中只要不出現(xiàn)就成立，并且當與之一收斂時取等號.證明 僅證明 .設，.用反證法，假設，則根據下極限的定義知，對，中有無窮多項小于.另一方面，由于，故中至多只有有限項小于，中至多只有有限項小于，從而中至多只有有限項小于，這與前面所述矛盾.所以，即.證畢.性質5 若，則.證明 設.則>0,至多只有

15、有限項小于，而有無窮多項小于.因此至多只有有限項滿足：，而有無窮多項滿足：，其中，且由于可以任意小，因而也可以任意小.故有.證畢.性質6 若，則.式中只要不出現(xiàn)就成立，并且當與之一收斂時取等號.證明 先證明（1） 若，則因存在，故，使得 .當，及，因此，有無窮多個，使得 .從而對于這樣的無窮多個，有，故.（2） 若，則化歸為（1）.（3） 若，用反證法，假設.則根據下極限的定義知，對于，有無窮多個,使得 .又因至多只有有限個,使得以及，從而至多只有有限個,使得 .（4） 取如此之小使它同時滿足，則至多只有有限個,使得，由此得到矛盾，故，即.性質7若為遞增數(shù)列，則.證明 若有界，則由單調有界定理

16、，極限存在，從而有.若無界，則，從而對任給正數(shù)，中大于的項有無限多個，設，由的遞增性，當時，有，所以.（二）有關上、下極限的若干命題 定理 若，則.證明 僅證明后一部分.假設.只須證明.因，所以，使當有.任取，令將所得的個不等式相乘得 .此即 ，其中.從而 .令取上極限得 .由的任意性得 .定理2 若，且，則收斂.證明 根據性質5知：，又因，所以.故收斂.定理3 若，則.證明 用反證法.假設此結論不成立，則，使當時，有.這個不等式等價于.依次取為, 并把所得結果相加，得 .這與調和級數(shù)的發(fā)散相矛盾.為證1不能以更大的數(shù)代替，設，則，此式對于大的可任意靠近1，或者若設，則有.定理 若，則.證明

17、不妨設.用反證法.假設此結論不成立，則，使當時，有，即.依次取為, 得：,.因此有 .注意到為任意正整數(shù)，這與是有限數(shù)相矛盾.證畢.定理5 設滿足條件：，證明存在.證明 因為，可見，即有界，從而其上、下極限必都是有限數(shù).下證它們相等即可.為此固定，并定義，當充分大時，由已知有 ,即 .從而 .令，這時，于是得.再讓并對右端取下極限得.所以存在.定理 若數(shù)列有界且.則此數(shù)列的聚點之集合是區(qū)間，其中，.證明 因為數(shù)列有界，故由聚點定理知，此數(shù)列至少有一個聚點.設為最小聚點，為最大聚點.若，則此命題不證自明，故設，.由于，故，使當時，有，即當充分大時，數(shù)列之相鄰兩項的距離小于.由于，故必存在，使落在

18、的鄰域內.又因，故必存在，使落在的鄰域內.不妨設，且.所要證明的就是存在，使.今若無一落在的鄰域內，則因，而，不妨設中第一個大于的為，即 .從而 ，由此得出矛盾.故落在的鄰域內，此即為的聚點.證畢.注 若數(shù)列無下界，則；若數(shù)列無上界，則.定理7 證明柯西收斂準則（充分性）證明 由已知，有.固定得 .從而有 .因而 .令得 .為進一步理解上極限的含意，特作如下對比：，即是>0,，有.，即是>0,，有,使.可見后者不同之處是：不必滿足的雙側鄰域，它從第項起可以而且只可以溢出的左端，但又不能全部溢出左端，在中仍需含有無窮項，這樣就必是的最大聚點，從而必有子列收斂于，使為最大子列極限.類似

19、地可以對比函數(shù)極限與函數(shù)的上極限，從而發(fā)現(xiàn)它們的不同之處.還可將函數(shù)的上極限與函數(shù)的右極限對比，從而可見所謂“右”不過是對自變量而言，所謂“上”不過是對因變量即函數(shù)值而言.（三）上下極限在極限教學中的作用1.上下極限在極限運算中的作用例1 已知，求證.這個題被用作加深學生對極限概念的理解,常見學生犯以下錯誤：由于對任一，存在常數(shù)，當時，有，所以 (1令，得到 .再由的任意性得到 .錯誤是預先認定了極限的存在.這里如應用上、下極限，就可繞開極限是否存在這個問題.正確的做法是：由（1），令，得到 .再由的任意性得到.于是推得 .類似上述過程，不少書中直接寫為：“令，（1）式的左右兩邊分別趨于和.”

20、由于的任意性可得.學生如無上、下極限的知識，就可能誤解為前面指出過的錯誤過程.2.上、下極限在數(shù)列與級數(shù)論中的作用一個數(shù)列收斂，說明數(shù)列中的項，當充分大時有大致相差不多的大小.一個發(fā)散數(shù)列是沒有這個性質的.上下極限正好用來補充說明一個發(fā)散數(shù)列，當充分大時，數(shù)列中的項大致的變化幅度.這一點在不少問題中很有用處.例如，一般分析教科書中均提到當極限 （8）存在時，冪級數(shù) （9）的收斂半徑就是.這反映了冪級數(shù)的收斂半徑是由其系數(shù)的絕對值大小來決定的.而實際上，冪級數(shù)的收斂半徑只由其絕對值最大的那一部分系數(shù)決定，即冪級數(shù)（9）式的收斂半徑等于 (10事實上，設（9）式收斂，則當充分大時可有.亦即 .令，就得到，所以收斂半徑不超過.另一方面，由