高中理科數(shù)學(xué)解題方法篇(函數(shù)與不等式)(共18頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高考沖刺：函數(shù)與不等式問題的解題技巧（編稿：林景飛審稿：張揚責(zé)編：嚴(yán)春梅）熱點分析高考動向1函數(shù)問題是高考每年必考的重要知識點之一， 分析歷年高考函數(shù)試題，大致有這樣幾個特點：常常通過選擇題和填空題，全面考查函數(shù)的基本概念，性質(zhì)和圖象在解答題的考查中，常常與不等式、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、甚至解析幾何等結(jié)合命題,以綜合題的形式出現(xiàn)從數(shù)學(xué)具有高度抽象性的特點出發(fā)，沒有忽視對抽象函數(shù)的考查涌現(xiàn)了一些函數(shù)新題型函數(shù)類試題在試題中所占分值一般為22-35分2. 不等式試題則有這樣幾個特點：在選擇題中常考查比較大小，解不等式等，可能與函數(shù)、方程、三角等知識結(jié)合出題.在選擇題與填空題中，需建

2、立不等式求參數(shù)的取值范圍，以及求最大值和最小值的應(yīng)用題.不等式與函數(shù)、方程、數(shù)列、應(yīng)用題、解幾的綜合、突出滲透數(shù)學(xué)思想和方法.分值在27-32分之間，一般為2個選擇題，1個填空題，1個解答題3通過分析，預(yù)測在今年的高考試題中，選擇題與填空題中會出現(xiàn)一些與函數(shù)、方程、三角等知識結(jié)合的不等式問題，在解答題中會出現(xiàn)一些不等式的解法以及建立不等式求參數(shù)的取值范圍，和求最大值和最小值的應(yīng)用題特別是不等式與函數(shù)、方程、數(shù)列、應(yīng)用題、解幾的綜合題，會有與導(dǎo)數(shù)結(jié)合的函數(shù)單調(diào)性函數(shù)極值函數(shù)最值問題；這些題目會突出滲透數(shù)學(xué)思想和方法，值得注意。知識升華1了解映射的概念，理解函數(shù)的概念 2了解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的

3、概念，掌握判斷一些簡單函數(shù)的單調(diào)性的方法，并能利用函數(shù)的性質(zhì)簡化函數(shù)圖象的繪制過程 3理解分?jǐn)?shù)指數(shù)的概念，掌握有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)，掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì) 4理解對數(shù)的概念，掌握對數(shù)的運算性質(zhì)，掌握對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì) 5能夠運用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡單的實際問題 6在熟練掌握一元一次不等式(組)、一元二次不等式的解法基礎(chǔ)上，掌握其它的一些簡單不等式的解法通過不等式解法的復(fù)習(xí)，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力以及計算能力 7掌握解不等式的基本思路，即將分式不等式、絕對值不等式等不等式，化歸為整式不等式(組)，會用分類、換元、數(shù)形結(jié)合的方法解不等式8通過復(fù)習(xí)

4、不等式的性質(zhì)及常用的證明方法(比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法等)，使學(xué)生較靈活的運用常規(guī)方法(即通性通法)證明不等式的有關(guān)問題9通過證明不等式的過程，培養(yǎng)自覺運用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)等基本數(shù)學(xué)思想方法證明不等式的能力10能較靈活的應(yīng)用不等式的基本知識、基本方法，解決有關(guān)不等式的問題 11通過不等式的基本知識、基本方法在代數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何等各部分知識中的應(yīng)用，深化數(shù)學(xué)知識間的融匯貫通，從而提高分析問題解決問題的能力在應(yīng)用不等式的基本知識、方法、思想解決問題的過程中，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)及創(chuàng)新意識 經(jīng)典例題透析 類型一：函數(shù)的定義域及其求法函數(shù)的定義域及其求法是近幾年高考考查

5、的重點內(nèi)容之一.這里主要幫助考生靈活掌握求定義域的各種方法，并會應(yīng)用用函數(shù)的定義域解決有關(guān)問題.例1（廣東卷）已知函數(shù)的定義域為M，g(x)=的定義域為N，則MN=（A） （B） （C） （D）命題意圖：本題主要考查含有分式、無理式和對數(shù)的函數(shù)的定義域的求法.解：函數(shù)的定義域M= g(x)=的定義域N=MN=故選C舉一反三：變式1（安徽）函數(shù)的定義域為_ 答案：解析：由且且得 變式2 (湖南卷）函數(shù)的定義域是( )（A）(3,+) （B）3, +) （C）(4, +) （D）4, +)答案：由，故選D.變式3（全國I）函數(shù)的定義域為（ ）A B C D答案：C.解析：由且得或.類型二：復(fù)合函數(shù)

6、問題復(fù)合函數(shù)問題,是新課程、新高考的重點.此類題目往往分為兩類:一是結(jié)合函數(shù)解析式的求法來求復(fù)合函數(shù)的值.二是應(yīng)用已知函數(shù)定義域求復(fù)合函數(shù)的定義域.例2（北京卷）對于函數(shù)，判斷如下兩個命題的真假： 命題甲：是偶函數(shù)；命題乙：在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；能使命題甲、乙均為真的所有函數(shù)的序號是（） 命題意圖：本題主要考查利用復(fù)合函數(shù)和函數(shù)單調(diào)性等知識解決問題的能力.解：是偶函數(shù)，又函數(shù)開口向上且在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)故能使命題甲、乙均為真的函數(shù)僅有故選舉一反三：變式1（安徽卷）函數(shù)對于任意實數(shù)滿足條件，若則_. 答案：解析：由,得， 所以，則.變式2（江西）若函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域是（ ）

7、A B C D 答案：解析：令，則，變式3（山東）設(shè)函數(shù)則的值為（ ）A B C D 答案：A解析：， .變式4（天津）已知函數(shù)，則不等式的解集是（ ） (A) (B) (C) (D) 答案：C解析：等價于或 ，解得或，.類型三：函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期性函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期性是高考的重點內(nèi)容之一，考查內(nèi)容靈活多樣. 這里主要幫助讀者深刻理解奇偶性、單調(diào)性和周期性的定義，掌握判定方法，正確認(rèn)識單調(diào)函數(shù)與奇偶函數(shù)的圖象.例3（全國卷） 已知函數(shù)，若為奇函數(shù)，則_.命題意圖：本題主要考查函數(shù)的解析式的求解以及函數(shù)的奇偶性應(yīng)用.常規(guī)解法：由為奇函數(shù),所以,即 應(yīng)填.巧妙解法：因為為奇函數(shù)且定

8、義域,所以,即應(yīng)填.總結(jié)升華：巧妙解法巧在利用了為奇函數(shù),所以,這一重要結(jié)論.舉一反三：變式1（全國卷），是定義在上的函數(shù)，則“，均為偶函數(shù)”是“為偶函數(shù)”的（）A充要條件 B充分而不必要的條件C必要而不充分的條件 D既不充分也不必要的條件答案：解析：先證充分性：因為，均為偶函數(shù)，所以，有，所以為偶函數(shù)反過來，若為偶函數(shù)，不一定是偶函數(shù)如，故選B.方法二：可以選取兩個特殊函數(shù)進行驗證點評：對充要條件的論證，一定既要證充分性，又要證必要性，二著缺一不可同時，對于抽象函數(shù)，有時候可以選取特殊函數(shù)進行驗證變式2（安徽）若函數(shù)、分別是上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，且滿足，則有（ ）A BC D答案：D解析： 即

9、， ，又單調(diào)遞增， 且.變式3 （上海）設(shè)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，若當(dāng)時，則滿足的x的取值范圍是_答案：解析：當(dāng)時，；當(dāng)時，則，有；，或或，解得或.變式4 （全國I）設(shè)奇函數(shù)在上為增函數(shù)，且，則不等式的解集為（ ）A B CD答案：D解析：由奇函數(shù)可知，而，則，方法一：當(dāng)時，；當(dāng)時，又在上為增函數(shù)，則奇函數(shù)在上為增函數(shù)，.方法二：作出函數(shù)的示意圖，有當(dāng)時，即； 當(dāng)時，即.變式5（北京）已知函數(shù)，對于上的任意，有如下條件：； ； 其中能使恒成立的條件序號是 答案：解析：函數(shù)是偶函數(shù)，且，又當(dāng)時 函數(shù)在上單調(diào)遞增作出函數(shù)的示意圖，有能使恒成立的條件：.類型四：函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高

10、考考查的重點內(nèi)容之一，它是研究和記憶函數(shù)性質(zhì)的直觀工具，利用它的直觀性解題，可以起到化繁為簡、化難為易的作用.因此，讀者要掌握繪制函數(shù)圖象的一般方法，掌握函數(shù)圖象變化的一般規(guī)律，能利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì).此類題目還很好的考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想.例4函數(shù)的圖象大致是 ( ) （A） （B） （C） （D）命題意圖：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的圖象及圖象的平移等知識.解：.此函數(shù)圖象是由函數(shù)向右平移一個單位得到的，故選A.舉一反三：變式1（全國I）汽車經(jīng)過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程看作時間的函數(shù)，其圖像可能是（ ） 答案：AA B C D解析：根據(jù)汽

11、車加速行駛，勻速行駛，減速行駛結(jié)合函數(shù)圖像可知。變式2（全國II）函數(shù)的圖像關(guān)于（ ）A軸對稱 B 直線對稱 C 坐標(biāo)原點對稱 D 直線對稱答案：C解析：函數(shù)是奇函數(shù)，圖像關(guān)于坐標(biāo)原點對稱.變式3（山東）函數(shù)的圖象是（ ） A B C D答案：A解析：函數(shù)是偶函數(shù)，圖像關(guān)于軸對稱，又時， ， 選A，不能選C.變式4（山東）設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則的值為（ ）(A) 3 (B)2 (C)1 (D)答案：A解析：函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱 即，把選項ABCD的值逐一代入，可以確定選A.類型五：以集合、簡易邏輯為背景的不等式以集合、簡易邏輯為背景的不等式,以考查不等式的解法和集合的有關(guān)概念與運算為目

12、的，或者以不等式為工具,來確定命題,解題時應(yīng)注意將不等式的解法與集合的有關(guān)概念和運算相結(jié)合,準(zhǔn)確解題.例5. （北京卷文）記關(guān)于的不等式的解集為，不等式的解集為 （I）若，求；（II）若，求正數(shù)的取值范圍命題意圖：本題主要考查集合的有關(guān)概念和運算及分式不等式和含絕對值的不等式的解法.解：（I）由，得（II）由，得，又，所以，即的取值范圍是舉一反三：變式1（江蘇）則的元素個數(shù)為_。 答案：0解析：由得，因為，所以，因此，元素的個數(shù)為0。變式2（山東卷）設(shè)，則是的（）（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件 （C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件 答案：A.解析：由題設(shè)可得即或；即或或，選(

13、A)變式3(福建)設(shè)集合,那么“”是“”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 答案：A.解析：，（如圖），故“”是“”充分而不必要條件. 類型六：以線性規(guī)劃形式出現(xiàn)的不等式以線性規(guī)劃形式出現(xiàn)的不等式,重在考查數(shù)形結(jié)合的解題能力.這種題目解題時要注意根據(jù)已知不等式組作出圖形,分析求解.例6.（遼寧卷）雙曲線的兩條漸近線與直線圍成一個三角形區(qū)域,表示該區(qū)域的不等式組是（）（A） （B） （C） （D）命題意圖：本題主要考查利用雙曲線的圖象性質(zhì)和線性規(guī)劃的知識，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合能力.解：作圖可知三角形區(qū)域在第一象限.即滿足，故選(A)舉一反三：變式1（福建）

14、若實數(shù)x、y滿足則的取值范圍是()A.(0,1) B. C.(1,+) D. 答案：C變式2（陜西）已知實數(shù)滿足如果目標(biāo)函數(shù)的最小值為，則實數(shù)等于（）A7 B5 C4 D3答案：B變式3（山東）設(shè)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為M，使函數(shù)的圖象過區(qū)域M的a的取值范圍是（）A1,3 B2, C2,9 D,9答案：C類型七：函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式知識的綜合應(yīng)用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式知識的綜合題目,解題時往往以不等式和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為工具, 結(jié)合函數(shù)知識,通過推理來解決問題.例7. （江西卷）已知函數(shù)在與時都取得極值. (1) 求、的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2) 若對,不等式恒成立,求的取值范圍.命題意圖：本小

15、題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)，函數(shù)極值的判定，給定區(qū)間上二次函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識的綜合運用，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想分析問題，解決問題的能力.解： 由得 ，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間如表： 極大值極小值 所以函數(shù)的遞增區(qū)間為與；遞減區(qū)間為. （2），當(dāng)時，為極大值而，則為最大值，要使（）恒成立，只須，解得或.舉一反三：變式1（遼寧）設(shè)函數(shù)（）求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；（）是否存在實數(shù)a，使得關(guān)于x的不等式的解集為（0，+）？若存在，求a的取值范圍；若不存在，試說明理由解析：（）故當(dāng)時，時，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減由此知在的極大值為，沒有極小值（）（）當(dāng)時，由于，故關(guān)于的不等式的解集為（）當(dāng)時，由知，其中為正整

16、數(shù)， 且有又時，且取整數(shù)滿足，且，則，即當(dāng)時，關(guān)于的不等式的解集不是綜合（）（）知，存在，使得關(guān)于的不等式的解集為， 且的取值范圍為.變式2（重慶卷文）用長為的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？解：設(shè)長方體的寬為，則長為，高為故長方體的體積為從而令,解得（舍去）或，因此.當(dāng)時；當(dāng)時，故在處取得極大值，并且這個極大值就是的最大值.從而最大體積此時長方體的長為，高為.答：當(dāng)長體的長為，寬為，高為時，體積最大，最大體積為. 類型八：函數(shù)、不等數(shù)與數(shù)列知識的綜合應(yīng)用與數(shù)列知識結(jié)合的函數(shù)、不等式,解題時往往以不等式和數(shù)列知識結(jié)合為工具, 結(jié)合函數(shù)知識,通過計算和推理來解決問題.例8.（湖北卷）設(shè)數(shù)列的前項和為，點均在函數(shù)的圖像上. （）求數(shù)列的通項公式；（）設(shè)，是數(shù)列的前項和，求使得對所有都成立的最小正整數(shù).命題意圖：本小題主要是考查等差數(shù)列、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識和基本的運算技能，考查分析問題能力和推理能力.解：（I）依題意得，即. 當(dāng)時，; 當(dāng)時，. 所以. （II）由（I）得， 故. 因此，使得成立的必須滿足，即,故滿足要求的最小整數(shù)為10.舉一反三：變式1 已知函數(shù)f(x)=a1x+a2x2+anxn(nN*),且a1，a2，a3，an構(gòu)成數(shù)列an，又f(1)=n2.（1）求數(shù)列an的通項公式