費(fèi)馬點(diǎn)-的兩證明方法(共4頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上費(fèi)馬點(diǎn) 的兩證明方法費(fèi)馬點(diǎn)，就是平面上到三角形三頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)。當(dāng)三角形有一個內(nèi)角大于或等于一百二十度的時候，費(fèi)馬點(diǎn)就是這個內(nèi)角的頂點(diǎn)；如果三個內(nèi)角都在120度以內(nèi)，那么，費(fèi)馬點(diǎn)就是使得費(fèi)馬點(diǎn)與三角形三頂點(diǎn)的連線兩兩夾角為120度的點(diǎn)。1、費(fèi)馬點(diǎn)不在三角形外，這個就不用證了，很顯然。但為了嚴(yán)謹(jǐn)，還是說一下2、當(dāng)有一個內(nèi)角大于等于120度時候?qū)θ切蝺?nèi)任一點(diǎn)P延長BA至C'使得AC=AC'，做C'AP'=CAP，并且使得AP'=AP, PC'=PC，（說了這么多，其實(shí)就是把三角形APC以A為中心做了個旋轉(zhuǎn)）則APCA

2、P'C'BAC120°PAP'=180°-BAP-C'AP'=180°-BAP-CAP=180°-BAC60°等腰三角形PAP'中，APPP'PA+PB+PCPP'+PB+PC'>BC'=AB+AC所以A是費(fèi)馬點(diǎn)3、當(dāng)所有內(nèi)角都小于120°時做出ABC內(nèi)一點(diǎn)P，使得APC=BPC=CPA=120°，分別作PA,PB,PC的垂線，交于D,E,F三點(diǎn)，如圖，再作任一異于P的點(diǎn)P'，連結(jié)P'A,P'B,P'C，過P

3、'作P'H垂直EF于H易知D=E=F=60°，即DEF為等邊三角形，計(jì)邊長為d，面積為S則有2S=d(PA+PB+PC)P'AP'H所以2SEP'FP'A*d同理有2SDP'FP'B*d2SEP'DP'C*d相加得2Sd(P'A+P'B+P'C)即PA+PB+PCP'A+P'B+P'C，當(dāng)且僅當(dāng)P,P'重合時取到等號所以P是費(fèi)馬點(diǎn)雖然不知道費(fèi)馬點(diǎn)在那里，我們先假設(shè)他在某個位置，做出來，證明他不可能具有某些性質(zhì)，最后確定他的位置，這個證明僅限于三個內(nèi)角都小于120度的時候。 以A,C為焦點(diǎn)，AP+PC為長軸長，做橢圓，以B為圓心，BP為半徑，做圓我們先假定橢圓與原是相交的，并取他們公共部分內(nèi)部一點(diǎn)P'則P'在圓內(nèi)也在橢圓內(nèi)所以P'A+P'B+P'C>PA+PC+PC，與假設(shè)矛盾，所以圓與橢圓必相切（不可能沒有公共點(diǎn)吧，因?yàn)槎歼^P）做他們的公切線，并作直線BP，顯然BP與公切線垂直由橢圓的幾何性質(zhì)易知，BP平分角A