一元二次方程解法——因式分解配方法

1、一元二次方程解法因式分解、配方法知識點回顧：定義：只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元二次方程 一般地，任何一個關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a0）這種形式叫做一元二次方程的一般形式 一個一元二次方程經(jīng)過整理化成ax2+bx+c=0（a0）后，其中ax2是二次項，a是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項 解法一 直接開方法適用范圍：可解部分一元二次方程直接開平方法就是用直接開平方求解一元二次方程的方法。用直接開平方法解形如(x-m)2=n (n0)的方程，其解為x=m±n歸納小結(jié)：共同特點：

2、把一個一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程我們把這種思想稱為“降次轉(zhuǎn)化思想” 由應(yīng)用直接開平方法解形如x2=p（p0），那么x=±轉(zhuǎn)化為應(yīng)用直接開平方法解形如（mx+n）2=p（p0），那么mx+n=±，達到降次轉(zhuǎn)化之目的若p0則方程無解自主練習(xí)：1：用直接開平方法解下列方程：（1）； （2）； （3） （4） （5）； （6）； （7）；2. 關(guān)于的方程的根 ，3. 關(guān)于的方程的解為 解法二分解因式法適用范圍：可解部分一元二次方程因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”兩種）”和“十字相乘法”。因式分解法是通過將方程左邊因式分解

3、所得，因式分解的內(nèi)容在八年級上學(xué)期學(xué)完。解下列方程 （1）2x2+x=0 （2）3x2+6x=0上面兩個方程中都沒有常數(shù)項；左邊都可以因式分解:2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2） 因此，上面兩個方程都可以寫成：（1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=0因為兩個因式乘積要等于0，至少其中一個因式要等于0，也就是：（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=- （2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2因此，我們可以發(fā)現(xiàn)，上述兩個方程中，其解法都不是用開平方降次，而是先因式分解使方程化為兩個一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個一次式分別等于0，從而實現(xiàn)降

4、次，這種解法叫做因式分解法例1解方程 （1）4x2=11x （2）（x-2）2=2x-4 分析：（1）移項提取公因式x；（2）等號右側(cè)移項到左側(cè)得-2x+4提取-2因式，即-2（x-2），再提取公因式x-2，便可達到分解因式；一邊為兩個一次式的乘積，另一邊為0的形式 解：（1）移項，得：4x2-11x=0 因式分解，得：x（4x-11）=0 于是，得：x=0或4x-11=0 x1=0，x2= （2）移項，得（x-2）2-2x+4=0 （x-2）2-2（x-2）=0 因式分解，得：（x-2）（x-2-2）=0 整理，得：（x-2）（x-4）=0 于是，得x-2=0或x-4=0 x1=2，x2=4

5、 例2已知9a2-4b2=0，求代數(shù)式的值 分析：要求的值，首先要對它進行化簡，然后從已知條件入手，求出a與b的關(guān)系后代入，但也可以直接代入，因計算量比較大，比較容易發(fā)生錯誤 解：原式= 9a2-4b2=0 （3a+2b）（3a-2b）=0 3a+2b=0或3a-2b=0，a=-b或a=b 當(dāng)a=-b時，原式=-=3， 當(dāng)a=b時，原式=-3 例3（十字相乘法）我們知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可轉(zhuǎn)化為（x-a）（x-b）=0，請你用上面的方法解下列方程 （1）x2-3x-4=0 （2）x2-7x+6=0 （3）x2+4x-5=0上面這種

6、方法，我們把它稱為十字相乘法一：用因式分解法解下列方程：(1)y27y60； (2)t(2t1)3(2t1)； (3)(2x1)(x1)1 (4)x212x0；(5)4x210； (6)x27x；(7)x24x210；(8)(x1)(x3)12； (9)3x22x10； (10)10x2x30；(11)(x1)24(x1)210解法三配方法適用范圍：可解全部一元二次方程 引例：x2+6x-16=0 x2+6x-16=0移項x2+6x=16兩邊加（6/2）2使左邊配成x2+2bx+b2的形式 x2+6x+32=16+9左邊寫成平方形式 （x+3）2=25 降次x+3=±5 即 x+3=

7、5或x+3=-5 解一次方程x1=2，x2= -8像上面的解題方法，通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫配方法可以看出，配方法是為了降次，把一個一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解配方法解一元二次方程的一般步驟：(1)先將已知方程化為一般形式；（2）化二次項系數(shù)為1；（3）常數(shù)項移到右邊；（4）方程兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方，使左邊配成一個完全平方式；（5）變形為(x+p)2=q的形式，如果q0，方程的根是x=-p±q；如果q0,方程無實根用配方法解一元二次方程小口訣 二次系數(shù)化為一；常數(shù)要往右邊移；一次系數(shù)一半方；兩邊加上最相當(dāng)例1用配方法解下列關(guān)于x的方程 （1

8、）x2-8x+1=0 （2）x2-2x-=0 分析：（1）顯然方程的左邊不是一個完全平方式，因此，要按前面的方法化為完全平方式；（2）同上例3解下列方程 （1）2x2+1=3x （2）3x2-6x+4=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0分析：我們已經(jīng)介紹了配方法，因此，我們解這些方程就可以用配方法來完成，即配一個含有x的完全平方拓展題用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6 分析：因為如果展開（6x+7）2，那么方程就變得很復(fù)雜，如果把（6x+7）看為一個數(shù)y，那么（6x+7）2=y2，其它的3x+4=（6x+7）+，x+1=（6x+7）-，因此，方程就轉(zhuǎn)化為y的方程，

9、像這樣的轉(zhuǎn)化，我們把它稱為換元法 解：設(shè)6x+7=y 則3x+4=y+，x+1=y- 依題意，得：y2（y+）（y-）=6 去分母，得：y2（y+1）（y-1）=72 y2（y2-1）=72， y4-y2=72 （y2-）2= y2-=± y2=9或y2=-8（舍） y=±3 當(dāng)y=3時，6x+7=3 6x=-4 x=- 當(dāng)y=-3時，6x+7=-3 6x=-10 x=- 所以，原方程的根為x1=-，x2=-例5. 求證:無論y取何值時,代數(shù)式-3 y2+8y-6恒小于0.一元二次方程解法因式分解、配方法2013-7-1 （一）1下面一元二次方程解法中，正確的是（ ） A（

10、x-3）（x-5）=10×2，x-3=10，x-5=2，x1=13，x2=7 B（2-5x）+（5x-2）2=0，（5x-2）（5x-3）=0，x1= ，x2= C（x+2）2+4x=0，x1=2，x2=-2 Dx2=x 兩邊同除以x，得x=12下列命題方程kx2-x-2=0是一元二次方程；x=1與方程x2=1是同解方程；方程x2=x與方程x=1是同解方程；由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3，其中正確的命題有（ ） A0個 B1個 C2個 D3個3如果不為零的n是關(guān)于x的方程x2-mx+n=0的根，那么m-n的值為（ ） A- B-1 C D14x2-5x因式分解結(jié)

11、果為_；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的結(jié)果是_5方程（2x-1）2=2x-1的根是_6二次三項式x2+20x+96分解因式的結(jié)果為_；如果令x2+20x+96=0，那么它的兩個根是_7.方程x(x) x的解為_8用因式分解法解下列方程（1）3y2-6y=0 （2）25y2-16=0 （3）x2-12x-28=0 （4）x2-12x+35=09已知（x+y）（x+y-1）=0，求x+y的值 （二）1配方法解方程2x2-x-2=0應(yīng)把它先變形為（ ） A（x-）2= B（x-）2=0 C（x-）2= D（x-）2=2下列方程中，一定有實數(shù)解的是（ ） Ax2+1=0 B（2x+1）2=0

12、C（2x+1）2+3=0 D（x-a）2=a3已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，則x+y+z的值是（ ） A1 B2 C-1 D-24將二次三項式x2-4x+1配方后得（ ） A（x-2）2+3 B（x-2）2-3 C（x+2）2+3 D（x+2）2-35已知x2-8x+15=0，左邊化成含有x的完全平方形式，其中正確的是（ ）Ax2-8x+（-4）2=31 Bx2-8x+（-4）2=1 Cx2+8x+42=1 Dx2-4x+4=-11 6如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m0）的左邊是一個關(guān)于x的完全平方式，則m等于（ ） A1 B-1 C1或9 D-1或97方程x

13、2+4x-5=0的解是_8.方程左邊配成一個完全平方式，所得的方程是 9代數(shù)式的值為0，則x的值為_10已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若設(shè)x+y=z，則原方程可變?yōu)開，所以求出z的值即為x+y的值，所以x+y的值為_11無論x、y取任何實數(shù)，多項式x2+y2-2x-4y+16的值總是_數(shù)12如果16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x與y的關(guān)系是_13用配方法解方程（1）9y2-18y-4=0 （2）x2+3=2x（3） （4） （5） （6）14如果x2-4x+y2+6y+13=0，求（xy）z的值15.用配方法證明：（1）的值恒為正； （2）的值恒小于0（3）多項式的值總大于的值16.用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?）x2-4x-3=0