算術(shù)-幾何平均值不等式(共6頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上算術(shù)-幾何平均值不等式信息來(lái)源：維基百科在中，算術(shù)-幾何平均值不等式是一個(gè)常見(jiàn)而基本的，表現(xiàn)了兩類平均數(shù)：和之間恒定的不等關(guān)系。設(shè)為  個(gè)正，它們的算術(shù)平均數(shù)是，它們的幾何平均數(shù)是 。算術(shù)-幾何平均值不等式表明，對(duì)任意的正，總有：等號(hào)成立  。算術(shù)-幾何平均值不等式僅適用于正實(shí)數(shù)，是之的體現(xiàn)，在數(shù)學(xué)、自然科學(xué)、工程科學(xué)以及經(jīng)濟(jì)學(xué)等其它學(xué)科都有應(yīng)用。算術(shù)-幾何平均值不等式經(jīng)常被簡(jiǎn)稱為（或均值不等式），盡管后者是一組包括它的不等式的合稱。例子在  的情況，設(shè): ， 那么.可見(jiàn)。歷史上的證明歷史

2、上，算術(shù)-幾何平均值不等式擁有眾多證明。的情況很早就為人所知，但對(duì)于一般的 ，不等式并不容易證明。1729年，最早給出了一般情況的證明，用的是，然而這個(gè)證明并不嚴(yán)謹(jǐn)，是錯(cuò)誤的?？挛鞯淖C明，法國(guó)數(shù)學(xué)家在他的著作中給出了一個(gè)使用的證明：命題：對(duì)任意的  個(gè)正實(shí)數(shù)，當(dāng)  時(shí)，顯然成立。假設(shè)  成立，那么  成立。證明：對(duì)于 個(gè)正實(shí)數(shù)，假設(shè)成立，那么成立。證明：對(duì)于 個(gè)正實(shí)數(shù)，設(shè)，那么由于成立， 。但是 ， ，因此上式正好變成也就是說(shuō)綜上可以得到結(jié)論：對(duì)任意的&#

3、160;，命題  都成立。這是因?yàn)橛汕皟蓷l可以得到：對(duì)任意的自然數(shù) ，命題  都成立。因此對(duì)任意的 ，可以先找  使得 ，再結(jié)合第三條就可以得到命題  成立了。歸納法的證明使用常規(guī)數(shù)學(xué)歸納法的證明則有（）在其著作代數(shù)論（algebra）的第二卷中給出的：由對(duì)稱性不妨設(shè)  是  中最大的，由于  ，設(shè) ，則 ，并且有 。根據(jù)，于是完成了從  到  的證明。此外

4、還有更簡(jiǎn)潔的歸納法證明：在  的情況下有不等式  和  成立，于是：所以 ，從而有?；谇偕坏仁降淖C明注意到幾何平均數(shù) 實(shí)際上等于 ，因此算術(shù)-幾何平均不等式等價(jià)于：。由于是一個(gè)，由可知上式成立?；谂判虿坏仁降淖C明令 ，于是有 ，再作代換 ，運(yùn)用得到：，于是得到 ，即原不等式成立。此外還有基于或借助調(diào)整法、輔助函數(shù)求導(dǎo)和加強(qiáng)命題的證明。推廣算術(shù)-幾何平均不等式有很多不同形式的推廣。加權(quán)算術(shù)-幾何平均不等式不僅“均勻”的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)之間有不等式，加權(quán)的算

5、術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)之間也有不等式。設(shè)  和  為正實(shí)數(shù)，并且 ，那么：。加權(quán)算術(shù)-幾何平均不等式可以由琴生不等式得到。矩陣形式算術(shù)-幾何平均不等式可以看成是一維的系數(shù)的平均數(shù)不等式。對(duì)于二維的矩陣，一樣有類似的不等式： 對(duì)于系數(shù)都是正實(shí)數(shù)的矩陣設(shè) ，那么有：也就是說(shuō)：對(duì)  個(gè)縱列取算術(shù)平均數(shù)，它們的幾何平均小于等于對(duì)  個(gè)橫行取的  個(gè)幾何平均數(shù)的算術(shù)平均。極限形式也稱為積分形式：對(duì)任意在區(qū)間上可積的正值函數(shù) ，都有這實(shí)際上是在算術(shù)-幾何平均值不等式取成 

6、; 后，將兩邊的中的  趨于無(wú)窮大后得到的形式。參考來(lái)源1.  Augustin-Louis Cauchy,  Paris, 1821. p457.2.  George Chrystal, , Chapter XXIV.p46.3.  P. H. Diananda , A Simple Proof of the Arithmetic Mean Geometric Mean Inequality ,The American Mathematical Monthly, Vol. 67, No. 10 (Dec., 1960), pp. 1007· 匡繼昌，常用不等式，山東科技出版社。· 李勝宏，平均不等式與柯西不等式，華東師大出版社。· 莫里斯&#