矩陣可對(duì)角化的條件

1、  第二節(jié)矩陣可對(duì)角化的條件定義1如果矩陣 能與對(duì)角矩陣相似，則稱可對(duì)角化。例1        設(shè)，則有：，即。從而可對(duì)角化。定理1 階矩陣可對(duì)角化的充分必要條件是有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。證明：必要性如果可對(duì)角化，則存在可逆矩陣，使得將按列分塊得，從而有因此有，所以是的屬于特征值的特征向量，又由可逆，知線性無(wú)關(guān)，故有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。充分性設(shè)是的個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，它們對(duì)應(yīng)的特征值依次為，則有。令，則是一個(gè)可逆矩陣且有：  因此有，即，也就是矩陣可對(duì)角化。注 若，則，對(duì)

2、按列分塊得，于是有，即，從而?？梢?jiàn)，對(duì)角矩陣的元素就是矩陣的特征值，可逆矩陣就是由的線性無(wú)關(guān)的特征向量所構(gòu)成的，并且特征向量的順序依賴于對(duì)角矩陣。定理2矩陣 的屬于不同特征值的特征向量是線性無(wú)關(guān)的。證明：設(shè)是的個(gè)互不相同的特征值，是的屬于特征值的特征向量，現(xiàn)對(duì)作數(shù)學(xué)歸納法證明線性無(wú)關(guān)。當(dāng)時(shí)，由于特征向量不為零，因此定理成立。假設(shè)的個(gè)互不相同的特征值對(duì)應(yīng)的個(gè)特征向量是線性無(wú)關(guān)的。設(shè)是的個(gè)互不相同的特征值，是的屬于特征值的特征向量。又設(shè)(1)成立。則有，又將(1)式兩邊同乘得：從而有,由歸納假設(shè)得，再由兩兩互不相同可得,將其代入(1)式得 ，因此有 ，從而線性無(wú)關(guān)。推論1若 階矩陣有個(gè)互不相同的特

3、征值，則可對(duì)角化，且。定理3設(shè)是階矩陣的個(gè)互異特征值，對(duì)應(yīng)于的線性無(wú)關(guān)的特征向量為，則由所有這些特征向量（ 共 個(gè) ）構(gòu)成的向量組是線性無(wú)關(guān)的。證明：設(shè)，記，則有，且或是的屬于特征值 的特征向量。若存在某個(gè)，則由屬于不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān)知 ，矛盾。因此有，,又由已知得,因此向量組線性無(wú)關(guān)。定理4設(shè)是階矩陣的一個(gè)重特征值，對(duì)應(yīng)于的特征向量線性無(wú)關(guān)的最大個(gè)數(shù)為，則 ，即齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)不超過(guò)特征值的重?cái)?shù)。證明：用反證法。由于是的屬于特征值的特征向量當(dāng)且僅當(dāng)是齊次線性方程組的非零解，因此對(duì)應(yīng)于的特征向量線性無(wú)關(guān)的最大個(gè)數(shù)與齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)相等。設(shè)是齊次

4、線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系,且假設(shè),則有。現(xiàn)將擴(kuò)充為一個(gè)維線性無(wú)關(guān)向量組,其中未必是的特征向量，但有是一個(gè)維向量，從而可由向量組線性表示，即：因而有：（2）其中有個(gè)。令，并將(2)式右端矩陣分塊表示，則有，由相似 矩陣有相同的特征多項(xiàng)式，得的特征多項(xiàng)式為：其中是的次多項(xiàng)式。從而至少是的重特征值，與是重特征值矛盾。所以。定理5 階矩陣可對(duì)角化的充分必要條件是：的每個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān)的最大個(gè)數(shù)等于該特征值的重?cái)?shù)(即的每個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)等于該特征值的重?cái)?shù),也即的每個(gè)特征子空間的維數(shù)等于該特征值的重?cái)?shù)）。證明：設(shè)，其中兩兩不同，且有。充分性由于對(duì)應(yīng)于的特征向

5、量有個(gè)線性無(wú)關(guān)，又個(gè)特征值互異，因此有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，故可對(duì)角化。必要性（反證法）設(shè)有一個(gè)特征值所對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量的最大個(gè)數(shù)的重?cái)?shù)，則的線性無(wú)關(guān)的特征向量個(gè)數(shù)小于，故不能與對(duì)角矩陣相似。例2設(shè) ，求的特征值和特征向量，并判斷是否可對(duì)角化？解：由得的特征值為（二重特征值）。當(dāng)時(shí)，由，即：得基礎(chǔ)解系為，從而的屬于特征值的特征向量為（為任意非零常數(shù)）。當(dāng)時(shí)，由，即：得基礎(chǔ)解系為，從而的屬于特征值的特征向量為（為任意非零常數(shù)）。由于的特征值對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)小于特征值的重?cái)?shù)，故不可對(duì)角化。例3巳知 ，判斷能否對(duì)角化？若能對(duì)角化，求可逆矩陣，使得為對(duì)角陣。解：由得的

6、特征值為（二重特征值）。當(dāng)時(shí)，由，即：得基礎(chǔ)解系為，從而的屬于特征值的特征向量為（為任意非零常數(shù)）。當(dāng)時(shí)，由，即：得基礎(chǔ)解系為及，從而的屬于特征值的特征向量為（為任意不全為零的常數(shù)）。由于的每個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)等于特征值的重?cái)?shù)，故可對(duì)角化。令，則。例4設(shè) 是階矩陣，判斷是否可對(duì)角化。解：設(shè)的特征方程的兩個(gè)根為，則，故有兩個(gè)不同的特征值，從而可對(duì)角化。例5設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣 ，問(wèn)是否可對(duì)角化？若可對(duì)角化，求矩陣，使得為對(duì)角陣，并求（為正整數(shù)）。解：由得的特征值為（三重特征值）。當(dāng)時(shí)，由，即：得基礎(chǔ)解系為，從而的屬于特征值的特征向量為（為任意非零常數(shù)）。當(dāng)時(shí)，由，即：得基礎(chǔ)解系為,，從而的屬于特征值的特征向量為（為任意不全為零的常數(shù)）。由于的每個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)等于特征值的重?cái)?shù)，故可對(duì)角化。令，則。從而，且例6設(shè) 階矩陣滿足（稱為冪等矩陣），證明：的特征值只能為或，并且可對(duì)角化。證明：設(shè)是的屬于特征值的特征向量，則，由，得，所以冪等矩陣的特征值只能為或。設(shè)秩，當(dāng)秩時(shí)，故可對(duì)角化且；當(dāng)秩時(shí),可逆,由得，故可對(duì)角化且;現(xiàn)設(shè)。當(dāng)特征值時(shí),其特征矩陣的秩為。這是因?yàn)橛?所以；又，因而，從而有。再由可得對(duì)應(yīng)于的線性無(wú)關(guān)的特征向量的最大個(gè)數(shù)為。設(shè)的屬于特征值