研究生矩陣論課后習題答案(全)習題二

1、習題二1化下列矩陣為Smith標準型：（1）;（2）;（3）;(4).解：（1）對矩陣作初等變換，則該矩陣為Smith標準型為；（2）矩陣的各階行列式因子為,從而不變因子為故該矩陣的Smith標準型為；（3）對矩陣作初等變換故該矩陣的Smith標準型為;(4)對矩陣作初等變換在最后的形式中，可求得行列式因子,于是不變因子為故該矩陣的Smith標準形為.2.求下列矩陣的不變因子：（1）；（2）；（3）；（4）.解：（1）該矩陣的右上角的2階子式為1，故而，所以該矩陣的不變因子為;（2）當時，由于，故不變因子為，當時，由于，且該矩陣中右上角的3階子式為且，則，故，所以該矩陣的不變因子為;（3）該矩

2、陣的右上角的3階子式為，故而，所以該矩陣的不變因子為 ;（4）該矩陣的行列式因子為,所以該矩陣的不變因子為.3求下列矩陣的初等因子：（1）；（2）.解：(1)該矩陣的行列式因子為，故初等因子為；(2) 該矩陣的行列式因子為，故不變因子為因此，初等因子為.4求下列矩陣的Jordan標準形：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.解：（1）設該矩陣為，則，故的初等因子為，則的Jordan標準形為；（2）設該矩陣為，則，故的初等因子為，從而的Jordan標準形為；（3）設該矩陣為，則,故的初等因子為從而的Jordan標準形為;（4）設該矩陣為，則,故的初等因子為，從而的Jordan標準形為;

3、（5）設該矩陣為，則,故的初等因子為，從而的Jordan標準形為;（6）設該矩陣為，則，該矩陣的各階行列式因子為，則不變因子為，故初等因子為，則的Jordan標準形為.5設矩陣，求.解：矩陣的特征多項式為，故的特征值為,.屬于特征值的特征向量為,屬于的特征向量為.設,則.,故.6.設矩陣，求的Jordan標準形，并求相似變換矩陣，使得.解:(1) 求的Jordan標準形.,故其初等因子為，故的Jordan標準形.(2)求相似變換矩陣.考慮方程組即解之,得.其通解為=,其中為任意常數(shù).考慮方程組,故當時,方程組有解.取,解此方程組,得.則相似變換矩陣.7.設矩陣，試計算.解: 矩陣的特征多項式為,由于,其中.且,故=.8.證明：任意可逆矩陣的逆矩陣可以表示為的多項式.證明:設矩陣的特征多項式為,則,即,因為可逆,故,則9.設矩陣，試計算.解: 矩陣的特征多項式為,則,而,故.10.已知3階矩陣的三個特征值為1，1，2，試將表示為的二次式.解: 矩陣的特征多項式為,則設,由得解之，得,因此.11.求下列矩陣的最小多項式：（1）；（2）；（3）階單位陣；（4）階方陣，其元素均為1；（5）.解:(1) 設,則,故該矩陣的最小多項式為.(2) 設,則,故該矩陣有三個不同的特征值,因此其最小多項式為(3) 階