421　曲線的極坐標方程的意義

1、4.2.1曲線的極坐標方程的意義1理解曲線的極坐標方程的意義2掌握求曲線的極坐標方程的基本方法和一般步驟3掌握曲線的極坐標方程與直角坐標方程的互化基礎(chǔ)·初探1曲線的極坐標方程一般地，如果一條曲線上任意一點都有一個極坐標適合方程f(，)0；并且，極坐標適合方程f(，)0的點都在曲線上那么這個方程稱為這條曲線的極坐標方程，這條曲線稱為這個極坐標方程的曲線2求曲線的極坐標方程的基本步驟(1)建系(建立適當?shù)臉O坐標系)；(2)設(shè)點(在曲線上任取一點P(，)，使點與坐標對應(yīng))；(3)列式(根據(jù)曲線上的點所滿足的條件列出等式)；(4)化簡(用極坐標，表示上述等式，化簡得極坐標方程)；(5)證明(

2、證明所得的方程是曲線的極坐標方程)3直角坐標方程與極坐標方程的互化或思考·探究1曲線的極坐標方程與直角坐標方程的含義有什么不同？【提示】由于平面上點的極坐標的表示形式不惟一，即(，)，(，2)，(，)，(，)都表示同一點的坐標，這與點的直角坐標的惟一性明顯不同所以對于曲線上的點的極坐標的多種表示形式，只要求至少有一個能滿足極坐標方程即可例如對于極坐標方程，點M(，)可以表示為(，2)或(，2)或(，)等多種形式，其中，只有(，)的極坐標滿足方程.2在極坐標系內(nèi)，如何確定某一個點P是否在某曲線C上？【提示】在直角坐標系內(nèi)，曲線上每一點的坐標一定適合它的方程，可是在極坐標系內(nèi)，曲線上一點

3、的所有坐標不一定都適合方程，所以在極坐標系內(nèi)，確定某一個點P是否在某一曲線C上，只需判斷點P的極坐標中是否有一個坐標適合曲線C的方程即可質(zhì)疑·手記預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：_解惑：_疑問2：_解惑：_疑問3：_解惑：_求曲線的極坐標方程(1)求過點A(1,0)且傾斜角為的直線的極坐標方程；(2)在極坐標系中，求半徑為r，圓心為C的圓的極坐標方程【自主解答】(1)如圖，設(shè)M(，)(0)為直線上除點A以外的任意一點，則xAM，OAM，OMA，在OAM中，由正弦定理得，即，所以sin()，即(sincos cossin )，化簡，得(cos sin )

4、1，經(jīng)檢驗點A(1,0)的坐標適合上述方程，所以滿足條件的直線的極坐標方程為(cos sin )1.(2)由題意知，圓經(jīng)過極點O，設(shè)OA為其一條直徑，設(shè)M(，)為圓上除點O，A以外的任意一點，如圖，則OA2r，連接AM，則OMMA，在RtOAM中，OMOAcosAOM，即2rcos()，即2rsin ，經(jīng)驗證，點O(0,0)，A(2r，)的坐標皆滿足上式，所以滿足條件的圓的極坐標方程為2rsin .再練一題1(1)求從極點出發(fā)，傾斜角為的射線的極坐標方程(2)在極坐標平面上，求圓心為A，半徑為5的圓的方程【導學號：98990009】【解】(1)設(shè)M(，)是所求射線上的任意一點，則射線OM就是集

5、合.所以所求射線的極坐標方程是(0)(2)在圓上任取一點P(，)，那么，在AOP中，OA8，AP5，AOP或.由余弦定理得528222×8××cos()，即216cos390為所求圓的極坐標方程.直角坐標方程與極坐標方程的互化進行直角坐標方程與極坐標方程的互化(1)y24x；(2)y2x22x10；(3)；(4)cos21；(5)2cos 24；(6).【自主解答】(1)將xcos ，ysin 代入y24x，得(sin )24cos ，化簡得sin24cos .(2)將xcos ，ysin 代入y2x22x10得(sin )2(cos )22cos 10，化簡得2

6、2cos 10.(3)tan .tan，化簡得yx(x0)(4)cos21.1即cos 2.x2，化簡得y24(x1)(5)2cos 24，2(cos2sin2)4，即2cos22sin24，x2y24.(6)，2cos 1，2x1，化簡得3x24y22x10.再練一題2進行直角坐標方程與極坐標方程的互化(1)yx；(2)x2y21；(3)cos 2；(4)2cos .【解】(1)將xcos ，ysin 代入yx得sin cos ，從而.(2)將xcos ，ysin 代入x2y21，得2cos22sin21，化簡，得2.(3)cos 2，x2，是過點(2,0)且垂直于x軸的直線(4)2cos

7、，22cos ，x2y22x0，即 (x1)2y21.故曲線是圓心在(1,0)，半徑為1的圓.極坐標方程的應(yīng)用已知曲線C1，C2的極坐標方程分別為cos 3，4cos (0,0)，求曲線C1與C2交點的極坐標【思路探究】聯(lián)立兩極坐標方程求解、即為交點的極坐標【自主解答】聯(lián)立方程組得即4cos23，cos ±.又0，0，.將代入方程組，得2，C1與C2交點的極坐標為(2，)解決極坐標系中曲線問題大致有兩種思路：化方程為直角坐標方程再處理；根據(jù)、的幾何意義，數(shù)形結(jié)合再練一題3在以O(shè)為極點的極坐標系中，直線l與曲線C的極坐標方程分別是cos()3和sin28cos ，直線l與曲線C交于點A

8、、B，求線段AB的長【解】直線l與曲線C的直角坐標方程分別是xy6和y28x.解方程組得或設(shè)A(2，4)，B(18,12)，所以AB16.真題鏈接賞析(教材第32頁習題4.2第5題)將下列極坐標方程化為直角坐標方程：(1)sin3；(2)5sin；(3)2cos 216；(4).若曲線的極坐標方程為2sin 4cos ，以極點為原點，極軸為x軸正半軸建立直角坐標系，則該曲線的直角坐標方程為_【命題意圖】本題主要考查曲線的極坐標方程與直角坐標方程的互化【解析】2sin 4cos ，22sin 4cos ，x2y22y4x，即x2y22y4x0.【答案】x2y22y4x01在極坐標系中有如下三個結(jié)

9、論：點P在曲線C上，則點P的極坐標滿足C的極坐標方程；tan 1(R)和(R)表示同一條曲線；1和1表示同一條曲線其中正確的命題是_(填寫相應(yīng)的序號)【解析】在極坐標系中，曲線上的點的極坐標中必有滿足曲線方程的坐標，但不一定所有坐標都滿足極坐標方程，錯誤；tan 1(R)和 (R)均表示經(jīng)過極點傾斜角為的直線，正確；1和1均表示以極點為圓心，1為半徑的圓，正確【答案】2在極坐標系中，過點P且垂直于極軸的直線方程為_【導學號：98990010】【解析】設(shè)直線與極軸的交點為A，則OAOP·cos ，又設(shè)直線上任意一點M(，)，則OM·cos OA，即cos .【答案】cos 3極坐標方程1表示_【解析】由1得21，即x2y21，故表示