平面向量常見題型突破(共7頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上平面向量常見題型突破考向一平面向量的線性運算【例1】如圖，D，E，F(xiàn)分別是ABC的邊AB，BC，CA的中點，則()A. 0 B.0 B. C.0 D.0審題視點利用平面向量的線性運算并結(jié)合圖形可求解：0，2220即0.A方法總結(jié)： 三角形法則和平行四邊形法則是向量線性運算的主要方法，共起點的向量，和用平行四邊形法則，差用三角形法則變式練習：1.在ABC中，c，b，若點D滿足2，則() A.bc B.cb C.bc D.bc解：2，2()，32bc.答案A2.在ABC中,已知D是AB邊上一點,若則等于( ) A. B. C. D. 解: . 3.在平行四邊形ABCD中,

2、E和F分別是邊CD和BC的中點,或其中R,則 . 解析:設b, a, 則b-a, ba, =b-a. 代入條件得 .4.設P是ABC所在平面內(nèi)的一點, +=2,則( ) A. +=0 B. +=0 C. +=0 D. +=0 解析:因為+=2,所以點P為線段AC的中點,所以應該選B. 6.已知O是ABC所在平面內(nèi)一點,D為BC邊中點,且0,那么( ) A. B. C. D. 解析:且 0. 0, 即. 7.已知AD是ABC的中線, R),那么 . 解:=+= =-. 考向二：平面向量基本定理的應用【例1】(2012·南京質(zhì)檢)如圖所示，在ABC中，H為BC上異于B，C的任一點，M為A

3、H的中點，若，則_. 解析由B，H，C三點共線，可令x(1x)，又M是AH的中點，所以x(1x)，又.所以x(1x).答案方法總結(jié)： 應用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算，共線向量定理的應用起著至關(guān)重要的作用當基底確定后，任一向量的表示都是唯一的變式練習：1. 如圖，兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起若xy，則x_，y_.解析以AB所在直線為x軸，以A為原點建立平面直角坐標系如圖，令AB2，則(2,0)，(0,2)，過D作DFAB交AB的延長線于F，由已知得DFBF，則(2， )xy，(2，)(2x,2y)即有解得另解：，所以x1，y.考

4、向三求兩平面向量的數(shù)量積例：(2011·合肥模擬)在ABC中，M是BC的中點，|1，2，則·()_.解：如圖，因M是BC的中點，故2，又2，|1，所以·()·24|2|2，故填.方法總結(jié)：當向量表示平面圖形中的一些有向線段時，要根據(jù)向量加減法運算的幾何法則進行轉(zhuǎn)化，把題目中未知的向量用已知的向量表示出來，在這個過程中要充分利用共線向量定理和平面向量基本定理、以及解三角形等知識變式練習：1. 如圖，在菱形ABCD中，若AC4，則·_.解析，故··()··.而，.所以·CA28.2.如圖,在ABC中

5、 ,|=1,則等于( ) A. B. C. D. 解析: =|cos|cos|sin =|sinB=| |. 例：(2011·湖南)在邊長為1的正三角形ABC中，設2，3，則·_.解：由題意畫出圖形如圖所示，取一組基底，結(jié)合圖形可得()，·()·22·cos 60°.答案變式練習：1. (2011·天津)已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90°，AD2，BC1，P是腰DC上的動點，則|3|的最小值為_嘗試解析以D為原點，分別以DA、DC所在直線為x、y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，設DCa，DPx.D(0,

6、0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，(2，x)，(1，ax)，3(5,3a4x)，|3|225(3a4x)225，|3|的最小值為5.答案5考向四 平面向量在平面幾何中的應用例：平面上O，A，B三點不共線，設a，b，則OAB的面積等于()A. B. C. D.解析cosBOA，則sinBOA ，SOAB|a|b| .答案C方法總結(jié)：平面向量的數(shù)量積是解決平面幾何中相關(guān)問題的有力工具：利用|a|可以求線段的長度，利用cos (為a與b的夾角)可以求角，利用a·b0可以證明垂直，利用ab(b0)可以判定平行變式練習：1.設a，b，c為同一平面內(nèi)具有相同起點的任意

7、三個非零向量，且滿足a與b不共線，ac，|a|c|，則|b·c|的值一定等于()A以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積 B以b，c為鄰邊的平行四邊形的面積C以a，b為兩邊的三角形的面積 D以b，c為兩邊的三角形的面積解析|b·c|b|c|cos |，如圖，ac，|b|cos |就是以a，b為鄰邊的平行四邊形的高h，而|a|c|，|b·c|a|(|b|cos |)，|b·c|表示以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積A2.ABC中，已知向量與滿足·0且·，則ABC為()A等邊三角形B直角三角形C等腰非等邊三角形D三邊均不相等的三角形解析由

8、3;0知ABC為等腰三角形，ABAC.由·知，60°，所以ABC為等邊三角形，故選A.3.平面上有四個互異點A、B、C、D，若(2)·()0，則ABC的形狀是()A直角三角形 B等腰直角三角形C等腰三角形 D無法確定解析由(2)·()0，得()(·()0，所以()·()0.所以|2|20，|，故ABC是等腰三角形4.已知和點M滿足，若存在實數(shù)使得成立，則=（ ） A2 B3 C4 D5解：由，知，所以+,即，解得；5. 已知為平面上四點，且，則( )A點M在線段AB上 B點B在線段AM上 C點A在線段BM上 DO、A、M、B四點共線解

9、：根據(jù)題意知,則，即.由判斷出點在線段AB的延長線上，即點B在線段AM上；6.是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足則的軌跡一定通過的( ) A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心解：過作于點，取中點，由題意知=，=,即，又因=，得所以的軌跡一定通過的重心.7. 如圖，半圓的直徑，為圓心，是圓弧上不同于的任意一點，若為半徑上的動點，則的最小值是 ；ACBPO解：，等號在，即為的中點時成立8.2012·江蘇卷 如圖在矩形ABCD中，AB，BC2，點E為BC的中點，點F在邊CD上，若·，則·的值是_解析 本題考查幾何圖形中的向量的數(shù)量積的求解，解題突破口為合理建立平

10、面直角坐標系，確定點F的位置以點A為坐標原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則(，0)設(x,2)，則由條件得x，得x1，從而F(1,2)，(，1)，(1，2)，于是·.9. 2012·湖南卷 如圖在平行四邊形ABCD中，APBD，垂足為P，且AP3，則·_.解析 本題考查平面向量的數(shù)量積和向量的表示，意在考查考生對數(shù)量積的掌握和向量相互轉(zhuǎn)化能力；具體的解題思路和過程：把未知向量用已知向量來表示··(2)2·2·2|·|18.易錯點 本題易錯一：找不到已知向量，無法把未知向量用已知向量表示；易錯二：不會轉(zhuǎn)化，把向量放到同一個直角三角形中；易錯三：發(fā)現(xiàn)不了在向量上的射影等于|.10. 給出以下命題非零向量滿足，則，是的夾角為銳角的充要條件；將函數(shù)的圖像向左平移1