7.示范教案(3.4.2 基本不等式 的應用(一))57309

1、3.4.2基本不等式的應用（一）從容說課通過本節(jié)課的學習，讓學生進一步體會基本不等式的重要性，進一步領悟不等式證明的基本思路、方法.這為下面基本不等式的實際應用打下了堅實的基礎，所以說，本節(jié)課研究內容在本大節(jié)中是起承上啟下作用.在本節(jié)課的研究中，將由基本不等式推導出許多結構簡潔的重要不等式，讓學生去體會數學的簡潔美與推理過程的嚴謹美.從而激發(fā)學生對數學的熱愛和專研.進而讓學生的數學邏輯思維能力及邏輯關系的分析能力得到鍛煉與培養(yǎng)，這方面也是貫穿學生的整個數學學習過程.根據本節(jié)課的教學內容，應用觀察、類比、歸納、邏輯分析、思考、合作交流、探究，對基本不等式展開應用，進行啟發(fā)、探究式教學并使用投影儀

2、輔助.利用基本不等式證明一些簡單不等式，鞏固強化基本不等式.以數學知識為載體，對學生的邏輯思維能力，各種思想方法的掌握，進而提高學生的數學素質與數學素養(yǎng)，這是高中數學教學的一項主要任務.在本節(jié)課的教學過程中，對一些不等式的證明不是直接給出，而是以設問方式的變化，引導學生思考，通過由特殊到一般的探索規(guī)律去解決問題. 教學重點 1.利用基本不等式證明一些簡單不等式，鞏固強化基本不等式； 2.對不等式證明過程的嚴謹而又規(guī)范的表達；3.從不等式的證明過程去體會分析法與綜合法的證明思路.教學難點 1.利用基本不等式證明一些簡單不等式，鞏固強化基本不等式； 2.對不等式證明過程的嚴謹而又規(guī)范的表達；3.從

3、不等式的證明過程去體會分析法與綜合法的證明思路.教具準備投影儀、膠片、三角板、刻度尺三維目標一、知識與技能1.利用基本不等式證明一些簡單不等式，鞏固強化基本不等式；2.從不等式的證明過程去體會分析法與綜合法的證明思路；3.對不等式證明過程的嚴謹而又規(guī)范的表達.二、過程與方法1.采用探究法，按照聯(lián)想、類比、思考、交流、邏輯分析、抽象應用的方法進行啟發(fā)式教學；2.教師提供問題、素材，并及時點撥，發(fā)揮老師的主導作用和學生的主體作用；3.設計較典型的具有挑戰(zhàn)性的問題，激發(fā)學生去積極思考，從而培養(yǎng)他們的數學學習興趣.三、情感態(tài)度與價值觀1.通過具體問題的解決，讓學生去感受、體驗不等式的證明過程需要從理性

4、的角度去思考，通過設置思考項，讓學生探究，層層鋪設，使學生感受數學、走進數學、培養(yǎng)學生嚴謹的數學學習習慣和良好的思維習慣；2.學習過程中，通過對問題的探究思考，廣泛參與，培養(yǎng)學生嚴謹的思維習慣，主動、積極的學習品質，從而提高學習質量；3.通過對富有挑戰(zhàn)性問題的解決，激發(fā)學生頑強的探究精神和嚴肅認真的科學態(tài)度，同時去感受數學的應用性，體會數學的奧秘，數學的簡潔美，數學推理的嚴謹美，從而激發(fā)學生的學習興趣.教學過程導入新課師 前一節(jié)課，我們通過問題背景，抽象出了不等式a2+b22ab(a、bR)，然后以數形結合思想為指導，從代數、幾何兩個背景推導出基本不等式.本節(jié)課，我們將利用基本不等式 來嘗試證

5、明一些簡單的不等式.(此時，老師用投影儀給出下列問題)推進新課問題1.已知x、y都是正數，求證：(1)；(2)（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3.師 前面我們研究了可以用不等式和實數的基本性質來證明不等式，請同學們思考一下，第一小問是否可以用不等式和實數的基本性質來證明此不等式呢？（思考兩分鐘）生 不可以證明.師 是否可以用基本不等式證明呢？生 可以.（讓學生板演，老師根據學生的完成情況作點評）解：x、y都是正數，.，即.師 這位同學板演得很好.下面的同學都完成了嗎？（齊聲：完成）合作探究師 請同學繼續(xù)思考第二小問該如何證明？它是否能用一次基本不等式就能證明呢？（引導同學們積極思考）生

6、可以用三次基本不等式再結合不等式的基本性質.師 這位同學分析得非常好.他對要證不等式的特征觀察的很細致、到位.生 x，y都是正數，x20，y20，x30，y30.xy20，x2y22x2y20, x3+y32x3y30.可得（xy）（x 2y2）（x3y3）2xy·2·2x3y3，即（xy）（x2y 2）（x 3y3）x 3y3. 師 這位同學表達得非常好，思維即嚴謹又周到.（在表達過程中，對條件x，y都是正數往往忽視）師 在運用定理：時，注意條件a、b均為正數，往往可以激發(fā)我們想到解題思路，再結合不等式的性質(把握好每條性質成立的條件)進行變形，進而可以得證.(此時，老師

7、用投影儀給出下列問題)問題3.求證：.（此處留的時間可以長一些，意在激發(fā)學生自主探究問題，把探究的思維空間切實留給學生）師 利用完全平方公式，結合重要不等式：a2b 22ab，恰當變形，是證明本題的關鍵. （讓學生板演，老師根據學生的完成情況作點評）解：a2b22ab，2（a2b2）a2b22ab（ab）2.2（a 2b2）（ab）2.不等式兩邊同除以4，得，即.師 下面同學都是用這種思路解答的嗎？生 也可由結論到條件去證明，即用作差法.師 這位同學答得非常好，思維很活躍，具體的過程讓同學們課后去完成.課堂練習1.已知a、b、c都是正數，求證：（ab）（bc）（ca）abc.分析：對于此類題目

8、，選擇定理：（a0，b0）靈活變形，可求得結果. a、b、c都是正數，ab20,bc20,c+a20.（ab）（bc）（ca）2·2·2abc,即（ab）（bc）（ca）abc.合作探究2.已知（ab）（xy）2（aybx），求證：.（老師先分析，再讓學生完成）師 本題結論中，注意互為倒數，它們的積為1，可利用公式ab2ab，但要注意條件a、b為正數.故此題應從已知條件出發(fā)，經過變形，說明為正數開始證題.(在教師引導下，學生積極參與下列證題過程)生 （ab）（xy）2（aybx）,axaybxby2ay2bx.axaybybx0.（axbx）（ayby）0.（ab）（xy）

9、0,即ab與xy同號.均為正數. (當且僅當時取“”).師生共析 我們在運用重要不等式a 2b22ab時，只要求a、b為實數就可以了.而運用定理：“ab”時，必須使a、b滿足同為正數.本題通過對已知條件變形(恰當地因式分解)，從討論因式乘積的符號來判斷是正還是負，是我們今后解題中常用的方法.課堂小結師 本節(jié)課我們研究了什么問題？同學們在本節(jié)課的研究過程中有什么收獲呢？生 我們以基本不等式為基礎，證明了另外一些重要、常用的不等式，并且在證明過程中進一步鞏固了證明不等式常用的思想方法.（教師提出對重要、常用不等式的掌握要求）師 本節(jié)課我們用到重要不等式a 2b 22ab；兩正數a、b的算術平均數（

10、），幾何平均數（ab）及它們的關系證明了一些不等式，它們成立的條件不同，前者只要求a、b都是實數，而后者要求a、b都是正數.它們既是不等式變形的基本工具，又是求函數最值的重要工具(下一節(jié)我們將學習它們的應用).我們還可以用它們下面的等價變形來解決問題：，.師 同學們課后要進一步領會這些重要不等式成立的前提條件如何用.為下一節(jié)課基本不等式的實際應用打下堅實的基礎.布置作業(yè)課本第116頁，組第1題.板書設計基本不等式的應用（一）復習引入例1方法歸納基本不等式 例2 方法引導 小結實例剖析（知識方法應用）示范解題備課資料備用習題1.已知a、bR+，求證：a3+b3a2b+ab2.證明:a、bR+,(

11、a3+b3)-(a2b+ab2)=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2)=(a+b)(a-b)20，a3+b3a2b+ab2.2.已知A+B+C=，求證：x2+y2+z22xycosC+2xzcosB+2yzcosA.分析:“取差問號”的比較法，關鍵在于取差（左式右式）后，怎么判斷符號.這里可把差式看作關于x（關于y或關于z也可以）的二次三項式.證明:左式右式=x2+y2+z2-2xycosC-2xzcosB-2yzcosA=x2-2(ycosC-zcosB)x+y2+z2-2yzcosA=x-(ycosC+zcosB)2+y2+z2-2yzcosA-(ycosC+zcosB

12、)2.又y2+z2-2yzcosA-(ycosC+zcosB)2=y2+z2-2yzcosA-y2cos2C-z2cos2B-2yzcosBcosC=y2sin2C+z2sin2B-2yz(cosA+cosBcosC)，由于A+B+C=,故cosA=-cos(B+C)=-cosBcosC+sinBsinC.左式-右式=x-(ycosC+zcosB)2+y2sin2C+z2sin2B-2yzsinBsinC=x-(ycosC+zcosB)2+(ysinC-zsinB)20.左式右式.點評:二次三項式斷號常用配方法.也可由其二次項系數為正，證明它的判別式0來進行. 3.4.3基本不等式的應用（二）

13、從容說課在本節(jié)課的教學過程中，仍應強調不等式的現實背景和實際應用，真正地把不等式作為刻畫現實世界中不等關系的工具.通過實際問題的分析解決，讓學生去體會基本不等式所具有的廣泛的實用價值，同時，也讓學生去感受數學的應用價值，從而激發(fā)學生去熱愛數學、研究數學.而不是覺得數學只是一門枯燥無味的推理學科.在解決實際問題的過程中，既要求學生能用數學的眼光、觀點去看待現實生活中的許多問題，又會涉及與函數、方程、三角等許多數學本身的知識與方法的處理.從這個角度來說，本節(jié)課的研究是起到了對學生以前所學知識與方法的復習、應用，進而構建他們更完善的知識網絡.數學建模能力的培養(yǎng)與鍛煉是數學教學的一項長期而艱苦的任務，

14、這一點，在本節(jié)課是真正得到了體現和落實.根據本節(jié)課的教學內容，應用觀察、閱讀、歸納、邏輯分析、思考、合作交流、探究，對基本不等式展開實際應用，進行啟發(fā)、探究式教學并使用投影儀輔助.教學重點 1.構建基本不等式解決函數的值域、最值問題.2.讓學生探究用基本不等式解決實際問題；3.通過富有現實意義的實際問題的解決，去培養(yǎng)學生對數學這門學科的熱愛.教學難點 1.讓學生探究用基本不等式解決實際問題；2.基本不等式應用時等號成立條件的考查；3.通過富有現實意義的實際問題的解決，去培養(yǎng)學生對數學這門學科的熱愛.教具準備 投影儀、膠片、三角板、刻度尺三維目標一、知識與技能1.構建基本不等式解決函數的值域、最

15、值問題；2.讓學生探究用基本不等式解決實際問題；3.通過富有現實意義的實際問題的解決，去培養(yǎng)學生對數學這門學科的熱愛.二、過程與方法1.采用探究法，按照觀察、閱讀、歸納、思考、交流、邏輯分析、抽象應用的方法進行啟發(fā)式教學；2.教師提供問題、素材，并及時點撥，發(fā)揮老師的主導作用和學生的主體作用；3.設計較典型的具有挑戰(zhàn)性的問題，激發(fā)學生去積極思考，從而培養(yǎng)他們的數學學習興趣.三、情感態(tài)度與價值觀1.通過具體問題的解決，讓學生去感受、體驗現實世界和日常生活中存在著大量的不等量關系并需要從理性的角度去思考，鼓勵學生用數學觀點進行類比、歸納、抽象，使學生感受數學、走進數學、培養(yǎng)學生嚴謹的數學學習習慣和

16、良好的思維習慣；2.學習過程中，通過對問題的探究思考，廣泛參與，培養(yǎng)學生嚴謹的思維習慣，主動、積極的學習品質，從而提高學習質量；3.通過對富有挑戰(zhàn)性問題的解決，激發(fā)學生頑強的探究精神和嚴肅認真的科學態(tài)度，同時去感受數學的應用性，體會數學的奧秘，數學的簡潔美，數學推理的嚴謹美，從而激發(fā)學生的學習興趣.教學過程導入新課師 前一節(jié)課我們對基本不等式展開了一些簡單的應用.通過數與形的結合及證明應用，我們進一步領悟到基本不等式成立的條件是a0、b0.在應用的過程中，我們對基本不等式的結構特征已是充分認識，并能夠靈活把握.本節(jié)課，我們將對基本不等式展開一些在求有關函數值域、最值的應用，更重要的是對基本不等

17、式展開一些實際應用.推進新課師 已知，若ab為常數k，那么a+b的值如何變化？生 當且僅當ab時，ab就有最小值為2k.師 若ab為常數s，那么ab的值如何變化？生 當且僅當ab時，ab就有最大值（或ab有最大值）.師 同學們回答得非常好，對變量與定量理解的很清楚.由上面的研究可知，解決有關最值問題的關鍵就是如何構造這些“定和”或“定積”.(此時，老師用投影儀給出本節(jié)課的第一組問題)最值練習：解答下列各題：()求函數y2x2（x0）的最小值.()求函數yx2（x0）的最小值.()求函數y3x22x3（0x）的最大值.()求函數yx（1x2）（0x1）的最大值.()設a0，b0，且a21，求的最

18、大值.合作探究師 我們來考慮運用正數的算術平均數與幾何平均數之間的關系來解答這些問題.根據函數最值的含義，我們不難發(fā)現若平均值不等式的某一端為常數，則當等號能夠取到時，這個常數即為另一端的一個最值. （留五分鐘的時間讓學生思考，合作交流，此處留的時間可以更長一些，意在激發(fā)學生自主探究問題，把探究的思維空間切實留給學生.老師根據學生的思考情況作個別交流）（根據學生完成的典型情況，找五位學生到黑板板演，然后老師根據學生到黑板板演的完成情況再一次作點評）解：(1)x0,2x20，0.y2x22x 2.當且僅當2x 2，即時等號成立.故當時，y有最小值.(2) ，當且僅當，即x±時，等號成立

19、. 故當x±時，y有最小值.(3)0x,32x0.yx2（32x）x·x·（32x）（）31.當且僅當x32x,即x1時，等號成立.(4)0x1,1x20.y 2x 2（1x 2）2·2x 2（1x2）（1x2） ()3.當且僅當2x21x 2,即時，等號成立.當時，y 2有最大值.由題意可知y0，故當時，y有最大值.(5)a0，b0，且a 21， (a2+ +)=,當且僅當,即，時取“”.故當，時，a1+b2有最大值.（學生對等號成立的條件往往沒有詳細說明）合作探究師 若不考慮等號成立的條件，最值是否一定取到呢？生 不一定.應當考慮等號成立的條件.師

20、用均值不等式求函數的最值，是值得重視的一種方法，但在具體求解時，應注意考察下列三個條件：(1)函數的解析式中，各項均為正數；()函數的解析式中，含變數的各項的和或積必須有一個為定值；()函數的解析式中，含變數的各項均相等，取得最值，即用均值不等式求某些函數的最值時，應具備三個條件：一正二定三取等.若不滿足這些條件，則不能直接運用這種方法.請同學們看下面幾例的解法.若對，請說明理由；若不對，請改正.(此時，老師用投影儀給出本節(jié)課的第二組問題)()yx2，y的最小值為2.生 解答是錯誤的，原因是，當x0時，就不能運用公式.事實上，當x0時，y0，故最小值不可能為2.此時，函數的值域為(-,-22,

21、+).師 這位同學回答得非常好.請你說得再詳細一點，讓大家都能清楚.（此時，這位同學的學習熱情很濃，探究問題的興趣很強）生 當x0時，yx-(-x-)-2.師 很好.請坐下.感謝你為大家講解.()y3x22x2x 2，y的最小值為.生 解答是錯誤的，其錯誤的原因是忽視等號成立條件的研究，事實上等號成立的條件為2x 2x2，顯然這樣的x不存在，故y沒有最小值.師 很好.(3)yx（1xx 2）2（）2，當且僅當x1xx2，即x1時等號成立.當x1時，y有最大值為1.生 解答是錯誤的，此種解法的錯誤在于不是定值.顯然當x越大時，也越大，故y無最大值.師 很好.在求最值時，對定量與變量要理解清楚.師

22、 下面我們再用基本不等式來解決實際應用題.(此時，老師用投影儀給出本節(jié)課第三組問題)課堂練習（讓學生獨立思考，根據學生完成的典型情況，找兩位學生到黑板板演，以便起到示范功能，同時教師再一次作點評）1.用籬笆圍一個面積為100 m2的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？解：設矩形菜園的長、寬分別為x m、y m，則xy=100，籬笆的長為2(x+y) m.由，可得x+y2，等號當且僅當x=y時成立，此時x=y=10.因此這個矩形的長、寬各都為 m時，所用籬笆最短，最短的籬笆是 m.2.一段長為36 m的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？解：設矩形菜園的長、寬分別為x m、y m.則2(x+y)=36，x+y=18，矩形菜園的面積為xym2.由，可得xy81.等號當且僅當x=y=10時成立.因此這個矩形菜園的長、寬各都