北師大版八年級數(shù)學(xué)上冊 第一章 1.1.1 驗證勾股定理及其簡單計算 同步作業(yè)

1、北師大版八年級數(shù)學(xué)上學(xué)期第一章 驗證勾股定理及其簡單計算一.選擇題1.一架15米長的云梯斜靠在一豎直的城墻上,這時梯子的頂端距墻腳12米,那么梯足距墻腳()A.7米B.9米C.13米D.20米2.如圖,一棵樹在離地面9 m處折斷,樹的頂部落在離底部12 m處,則折斷之前樹的高度是()A.15 mB.17 mC.21 mD.24 m3.如圖,有兩棵樹,一棵高10 m,另一棵高4 m,兩棵樹相距8 m,一只小鳥從一棵樹的樹頂飛到另一棵樹的樹頂,小鳥至少飛行()A.8 mB.10 mC.12 mD.14 m4.如圖,把原長為8 cm的橡皮筋放置在數(shù)軸上,固定兩端點A和B,然后把中點C豎直向上拉升3

2、cm至點D處,則橡皮筋被拉長了()A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm5.如圖所示,直線l上有三個正方形a,b,c,若正方形a,c的面積分別為5和11,則正方形b的面積為()A.4B.6C.16D.55二、非選擇題6.利用四個全等的直角三角形可以拼成如圖所示的圖形,這個圖形被稱為弦圖.觀察圖形,圖中大正方形的面積用字母c可以表示為,用字母a,b可以表示為,由此你得到的等式為,化簡得.7.如圖是一個外輪廓為長方形的機(jī)器零件平面示意圖,根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸(單位:mm),計算兩圓孔中心A和B的距離為mm.8.在RtABC中,ABC=90,AB=3,BC=4,過點B的直線把ABC分割成兩個

3、三角形,使其中只有一個是等腰三角形,則這個等腰三角形的面積是.9.如圖是美國總統(tǒng)加菲爾德于1876年給出的一種驗證勾股定理的辦法,你能利用它驗證勾股定理嗎?請寫出你的驗證過程.10.如圖,在ABC中,AB=15,BC=14,AC=13.求這個三角形的面積.11.如圖,AOB=90,OA=45 cm,OB=15 cm,一機(jī)器人在點B處看見一個小球從點A出發(fā)沿著AO方向勻速滾向點O,機(jī)器人立即從點B出發(fā),沿直線勻速前進(jìn)攔截小球,恰好在點C處截住了小球.如果小球滾動的速度與機(jī)器人行走的速度相等,那么機(jī)器人行走的路程BC是多少厘米?12.如圖,一架2.5 m長的梯子AB斜靠在豎直的墻壁OC上,這時梯子

4、的底端B到墻壁OC的距離OB=0.7 m,當(dāng)梯子的頂端A沿墻壁下滑到達(dá)點A時,底端B沿水平地面向外滑動到點B.(1)當(dāng)AA=0.4 m時,線段AA的長度與線段BB的長度相等嗎?你是怎樣知道的?(2)是否存在一個點A,使AA=BB?若存在,求出點A的位置;若不存在,說明理由.13.勾股定理神秘而美妙,它的驗證方法多種多樣,其巧妙之處也各有不同,其中的“面積法”給了小聰靈感,他驚喜地發(fā)現(xiàn),當(dāng)兩個全等的直角三角形按圖或圖擺放時,都可以用“面積法”來驗證勾股定理.下面是小聰利用圖驗證勾股定理的過程:將兩個全等的直角三角形按圖所示擺放,其中DAB=90.試說明:a2+b2=c2.解:如圖,連接DB,過點

5、D作BC邊上的高DF,則DF=EC=b-a.因為S四邊形ADCB=SACD+SABC=12b2+12ab,又S四邊形ADCB=SADB+SDCB=12c2+12a(b-a),所以12b2+12ab=12c2+12a(b-a).所以a2+b2=c2.請參照上述驗證方法,利用圖完成下面的驗證.將兩個全等的直角三角形按圖所示擺放,其中DAB=90.試說明:a2+b2=c2.參考答案一、選擇題1.B2.D解析 由勾股定理可得BC2+AC2=AB2,所以AB2=92+122=225,故AB=15,所以折斷之前樹的高度是15+9=24(m).3.B解析 如圖構(gòu)造直角三角形,易知至少飛行10 m.4.A解析

6、 在RtACD中,AC=12AB=4 cm,CD=3 cm,根據(jù)勾股定理,得AD2=AC2+CD2=25.所以AD=5 cm.所以AD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2(cm).故橡皮筋被拉長了2 cm.故選A.5.C解析 如圖,因為四邊形a,b,c都是正方形,所以AC=CD,ACD=ABC=CED=90.所以ACB+ECD=ACB+BAC=90.所以BAC=ECD.又因為ABC=CED=90,所以ACBCDE.所以AB=CE,BC=ED.在RtABC中,由勾股定理得AC2=AB2+BC2=AB2+ED2,即Sb=Sa+Sc=5+11=16.二、非選擇題6.c2412ab+(b-a)2c

7、2=412ab+(b-a)2c2=a2+b2解析 大正方形的邊長為c,面積為c2,大正方形的面積等于四個直角三角形的面積與中間小正方形的面積和,四個直角三角形的面積和為412ab,中間小正方形的邊長為b-a,面積為(b-a)2,于是c2=412ab+(b-a)2,整理,得c2=a2+b2.7.1008.3.6或4.32或4.8解析 設(shè)過點B的直線交AC于點P.因為ABC=90,AB=3,BC=4,所以SABC=1234=6.(1)當(dāng)AP=AB=3時,如圖.因為ABP與ABC等高,所以SABPSABC=APAC=35.所以SABP=APACSABC=356=3.6; (2)當(dāng)BP=AB=3時,如

8、圖.因為AB=3,BC=4,ABC=90,所以AC2=AB2+BC2=25=52.所以AC=5.所以BD=ABBCAC=345=2.4.所以AD2=DP2=32-2.42=3.24=1.82.所以AD=DP=1.8.所以AP=3.6.所以SABP=APACSABC=3.656=4.32; (3)當(dāng)CP=CB=4時,如圖.SBCP=CPACSABC=456=4.8.綜上所述,這個等腰三角形的面積是3.6或4.32或4.8.9.解:因為梯形是由3個直角三角形組成的,所以S梯形=12(a+b)(a+b)=12(a+b)2,S梯形=12ab+12c2+12ab=2ab+c22.所以12(a+b)2=2

9、ab+c22,整理,得a2+b2=c2.所以直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.10.解:如圖,過點A作ADBC于點D.設(shè)BD=x,則CD=14-x.因為ADBC,所以ADB與ACD均為直角三角形.所以AB2-BD2=AC2-CD2,即152-x2=132-(14-x)2,解得x=9.所以AD2=AB2-BD2=152-92=122.所以AD=12.所以SABC=12BCAD=121412=84.11.解:由題意知小球滾動的速度與機(jī)器人行走的速度相等,它們的運動時間相等,即BC=AC.設(shè)BC=x cm,則OC=(45-x)cm.在RtBOC中,由勾股定理可知OB2+OC2=BC2,所以1

10、52+(45-x)2=x2,解得x=25.所以如果小球滾動的速度與機(jī)器人行走的速度相等,那么機(jī)器人行走的路程BC是25 cm.12.解:(1)不相等.在RtAOB中,OA2=AB2-OB2=2.52-0.72=5.76,所以O(shè)A=2.4 m.所以O(shè)A=OA-AA=2.4-0.4=2(m).在RtAOB中,OB2=AB2-OA2=2.52-22=2.25,所以O(shè)B=1.5 m.所以BB=OB-OB=1.5-0.7=0.8(m).因為AA=0.4 m,所以AABB.(2)存在.設(shè)AA=BB=x m,則OA=OA-AA=(2.4-x)m,OB=OB+BB=(0.7+x)m.在RtAOB中,根據(jù)勾股定理,得OA2+OB2=AB2,即(2.4-x)2+(x+0.7)2=2.52,整理,得x2-1.7x=0.因為x0,所以x=1.7.即當(dāng)AA=1.7 m時,AA=BB.13.證明:連接B