152 二項式系數(shù)的性質(zhì)及應用

1、1.5.2二項式系數(shù)的性質(zhì)及應用1掌握二項式定理展開式中系數(shù)的規(guī)律，明確二項式系數(shù)與各項系數(shù)的區(qū)別(重點)2借助“楊輝三角”數(shù)表，掌握二項式系數(shù)的對稱性、增減性與最大值(難點)基礎·初探教材整理1楊輝三角的特點閱讀教材P33，完成下列問題1每一行中的二項式系數(shù)是“對稱”的，即第1項與最后一項的二項式系數(shù)相等，第2項與倒數(shù)第2項的二項式系數(shù)相等，.2圖中每行兩端都是1，而且除1以外的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和(如圖1­5­1)3圖中每行的二項式系數(shù)從兩端向中間逐漸增大4第1行為120，第2行的兩數(shù)之和為2，第3行的三數(shù)之和為22第7行的各數(shù)之和為26(如圖1&#

2、173;5­1)圖1­5­11如圖1­5­2是一個類似楊輝三角的圖形，則第n行的首尾兩個數(shù)均為_13356571111791822189圖1­5­2【解析】由1,3,5,7,9，可知它們成等差數(shù)列，所以an2n1.【答案】2n12如圖1­5­3，由二項式系數(shù)構成的楊輝三角中，第_行從左到右第14與第15個數(shù)之比為23.111121133114641圖1­5­3【解析】設第n行從左到右第14與第15個數(shù)之比為23，則3C2C，即，解得n34.【答案】34教材整理2二項式系數(shù)的性質(zhì)閱讀教材

3、P33P34，完成下列問題(ab)n展開式的二項式系數(shù)C，C，C有如下性質(zhì)：(1)CC；(2)CCC；(3)當r<時，C<C；當r>時，C<C；(4)CCC2n.1已知(ab)n展開式中只有第5項的二項式系數(shù)最大，則n等于_【解析】因為只有第5項的二項式系數(shù)最大，所以15，所以n8.【答案】82已知(ax1)n的展開式中，二項式系數(shù)和為32，則n等于_. 【導學號：29440027】【解析】二項式系數(shù)之和為CCC2n32，所以n5.【答案】53(2019·山東高考)若5的展開式中x5的系數(shù)是80，則實數(shù)a_.【解析】根據(jù)二項展開式的通項公式求解Tr1C

4、3;(ax2)5rrC·a5rx10r.令10r5，解得r2.又展開式中x5的系數(shù)為80，則有C·a380，解得a2.【答案】2質(zhì)疑·手記預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1： 解惑： 疑問2： 解惑： 疑問3： 解惑： 小組合作型與“楊輝三角”有關的問題如圖1­5­4，在“楊輝三角”中斜線AB的上方，從1開始箭頭所示的數(shù)組成一個鋸齒形數(shù)列：1,2,3,3,6,4,10,5，.記其前n項和為Sn，求S19的值圖1­5­4【精彩點撥】由圖知，數(shù)列中的首項是C，第2項是C，第3項是C，第4項是C，第17

5、項是C，第18項是C，第19項是C.【自主解答】S19(CC)(CC)(CC)(CC)C(CCCC)(CCCC)(23410)C220274.“楊輝三角”問題解決的一般方法觀察分析；試驗猜想；結論證明，要得到楊輝三角中蘊含的諸多規(guī)律，取決于我們的觀察能力，觀察能力有：橫看、豎看、斜看、連續(xù)看、隔行看，從多角度觀察如表所示：再練一題1(2019·鎮(zhèn)江高二檢測)如圖1­5­5所示，滿足如下條件：第n行首尾兩數(shù)均為n；表中的遞推關系類似“楊輝三角”則第10行的第2個數(shù)是_，第n行的第2個數(shù)是_圖1­5­5【解析】由圖表可知第10行的第2個數(shù)為：(12

6、39)146，第n行的第2個數(shù)為：123(n1)11.【答案】46求展開式的系數(shù)和設(12x)2 017a0a1xa2x2a2 017·x2 017(xR)(1)求a0a1a2a2 017的值；(2)求a1a3a5a2 017的值；(3)求|a0|a1|a2|a2 017|的值【精彩點撥】先觀察所求式子與展開式各項的特點，利用賦值法求解【自主解答】(1)令x1，得a0a1a2a2 017(1)2 0171.(2)令x1，得a0a1a2a2 01732 017.得2(a1a3a2 017)132 017，a1a3a5a2 017.(3)Tr1C(2x)r(1)r·C 

7、3;(2x)r，a2k10(kN*)，a2k0(kN*)|a0|a1|a2|a3|a2 017|a0a1a2a3a2 01732 017.1解決二項式系數(shù)和問題思維流程2“賦值法”是解決二項展開式中項的系數(shù)常用的方法，根據(jù)題目要求，靈活賦給字母不同值一般地，要使展開式中項的關系變?yōu)橄禂?shù)的關系，令x0可得常數(shù)項，令x1可得所有項系數(shù)之和，令x1可得偶次項系數(shù)之和與奇次項系數(shù)之和的差再練一題2若(3x1)7a7x7a6x6a1xa0，求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6.【解】(1)令x0，則a01；令x1，得a7a6a1a027128，所以a1a2a7129.(

8、2)令x1，得a7a6a5a4a3a2a1a0(4)7，由得2(a1a3a5a7)128(4)7，a1a3a5a78 256.(3)由得2(a0a2a4a6)128(4)7，a0a2a4a68 128.整除問題利用二項式定理證明：當nN*時，32n28n9能被64整除【精彩點撥】當n1時，32×128×1964能被64整除；當n2時，將32n28n9化為(81)n18n9，按二項式定理展開，并提出因式64，若另一個因式為正整數(shù)，則能被64整除【自主解答】因為n1時，32n28n964能被64整除；當n2時，32n28n99n18n9(81)n18n98n1C·8n

9、C·8n1C·818n982(8n1C·8n2C·8n3C)，而(8n1C·8n2C·8n3C)N*，所以32n28n9能被64整除1利用二項式證明多項式的整除問題關鍵是將被除式變形為二項式的形式，使其展開后每一項均含有除式的因式若f(x)，g(x)，h(x)，r(x)均為多項式，則：(1)f(x)g(x)·h(x)f(x)被g(x)整除(2)f(x)g(x)·h(x)r(x)r(x)為g(x)除f(x)后得的余式2求余數(shù)問題的處理方法(1)解決這類問題，必須構造一個與題目有關的二項式(2)用二項式定理處理這類問題

10、，通常把被除數(shù)的底數(shù)寫成除數(shù)(或與除數(shù)密切關聯(lián)的數(shù))與某數(shù)的和(或差)的形式，再用二項式定理展開，只考慮后面(或者是前面)的幾項即可(3)要注意余數(shù)的范圍，ac·rb，這式子中b為余數(shù)，b0，r)，r是除數(shù)，利用二項式定理展開式變形后，若剩余部分是負數(shù)，要注意轉換為正數(shù)再練一題3若n為正奇數(shù)，則7nC·7n1C·7n2C·7被9除所得的余數(shù)是_. 【導學號：29440028】【解析】原式(71)nC8n1(91)n19nC9n1C·9n2C·9(1)n1(1)n1.n為奇數(shù)，(1)n1297，則余數(shù)為7.【答案】7探究共研型二項式系數(shù)

11、性質(zhì)的應用探究1根據(jù)楊輝三角的特點，在楊輝三角同一行中與兩個1等距離的項的系數(shù)相等，你可以得到二項式系數(shù)的什么性質(zhì)？【提示】對稱性，因為CC，也可以從f(r)C的圖象中得到探究2計算，并說明你得到的結論【提示】.當k<時，>1，說明二項式系數(shù)逐漸增大；同理，當k>時，二項式系數(shù)逐漸減小探究3二項式系數(shù)何時取得最大值？【提示】當n是偶數(shù)時，中間的一項取得最大值；當n是奇數(shù)時，中間的兩項Cn，Cn相等，且同時取得最大值已知f(x)(3x2)n展開式中各項的系數(shù)和比各項的二項式系數(shù)和大992.(1)求展開式中二項式系數(shù)最大的項；(2)求展開式中系數(shù)最大的項【精彩點撥】求二項式系數(shù)最

12、大的項，利用性質(zhì)知展開式中中間項(或中間兩項)是二項式系數(shù)最大的項；求展開式中系數(shù)最大的項，必須將x，y的系數(shù)均考慮進去，包括“”“”號【自主解答】令x1，則二項式各項系數(shù)的和為f(1)(13)n4n，又展開式中各項的二項式系數(shù)之和為2n.由題意知，4n2n992.(2n)22n9920，(2n31)(2n32)0，2n31(舍去)或2n32，n5.(1)由于n5為奇數(shù)，所以展開式中二項式系數(shù)最大的項為中間兩項，它們分別是T3C(x)3(3x2)290x6，T4C(x)2(3x2)3270x.(2)展開式的通項公式為Tr1C3r·x(52r)假設Tr1項系數(shù)最大，則有r，rN，r4.

13、展開式中系數(shù)最大的項為T5Cx(3x2)4405x.1求二項式系數(shù)最大的項，根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，當n為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)最大；當n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)最大2求展開式中系數(shù)最大項與求二項式系數(shù)最大項是不同的，需根據(jù)各項系數(shù)的正、負變化情況，一般采用列不等式組，解不等式的方法求得再練一題4已知(a21)n展開式中的各項系數(shù)之和等于5的展開式的常數(shù)項，而(a21)n的展開式的系數(shù)最大的項等于54，求a的值【解】由5，得Tr1C5rr5r·C·x，令Tr1為常數(shù)項，則205r0，所以r4，常數(shù)項T5C×16.又(a21)n展開式中的各項系數(shù)之和等于2

14、n，由此得到2n16，n4.所以(a21)4展開式中系數(shù)最大項是中間項T3Ca454，所以a±.構建·體系1已知n的展開式中前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，則第四項為_【解析】由題設，得C×C2××C，即n29n80，解得n8或n1(不合題意，舍去)，則8的展開式的通項為Tr1Cx8rr，令r14，得r3，則第四項為T4Cx537x5.【答案】7x52若n的展開式中各項系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項為_. 【導學號：29440029】【解析】令x1,2n64n6.由Tr1C·36r·x·(1)r·x(1)rC3

15、6rx3r，令3r0r3.所以常數(shù)項為C3320×27540.【答案】5403若(x3y)n的展開式中各項系數(shù)的和等于(7ab)10的展開式中二項式系數(shù)的和，則n的值為_【解析】(7ab)10的展開式中二項式系數(shù)的和為CCC210，令(x3y)n中xy1，則由題設知，4n210，即22n210，解得n5.【答案】54已知(ax)5a0a1xa2x2a5x5，若a280，則a0a1a2a5_.【解析】(ax)5展開式的通項為Tk1(1)kCa5kxk，令k2，得a2(1)2Ca380，解得a2，即(2x)5a0a1xa2x2a5x5，令x1，得a0a1a2a51.【答案】15在8的展開式中，(1)求系數(shù)的絕對值最大的項；(2)求二項式系數(shù)最大的項；(3)求系數(shù)最大的項；(4)求系數(shù)最小的項【解】Tr1C()8rr(1)rC2rx4.(1