廣義參變量積分

1、1積分學(xué)廣義參變量積分2討論的緣由 在參變量積分的討論中，有些是不能用控制收斂定理處理的. 這就需要發(fā)展另外的積分號下取極限理論3廣義積分極限定理 廣義積分定義 廣義帶參數(shù)積分 一致收斂 極限定理 廣義帶參數(shù)積分的微積分性質(zhì) 一致收斂準(zhǔn)則4廣義積分定義 以E=(0, )為例 廣義積分（兩種意義下） Lebesgue意義下：在(0, )沒有積分的情形 Riemann意義下： 在(0, )上的Riemann積分在常義下沒有意義 特例：對于任何0A0, 當(dāng)aA時 (B) , A0, 當(dāng)aA時 (C) baaxbdyyxf),(, 0 0,: sup),(bxbaadyyxf0 0,: sup),(l

2、imbxbaaadyyxf10極限定理 設(shè)Rd非空, a是的一個極限點. 如果 在上一致收斂, 且存在(0,)上的函數(shù)h, 滿足(*) 那么， 收斂, 且(*)0),(dyyxf0 0:)(),( sup lim, 0byyhyxfbax0)(dyyh00)(),( limdyyhdyyxfax11極限定理證明 (1) 由條件(*), h在(0,)上可測，并且b0, h在(0,b)上可積; (2) h在(0,)上可積. 只要證明a0, 當(dāng)ba時, c0,由 在上一致收斂, 就能夠找到滿足上述條件的a; (3) (*)成立. cbbdyyh)(0),(dyyxf12極限定理的情形 設(shè) 關(guān)于x在(

3、0,)上一致收斂, 且存在(0,)上的函數(shù)h, 滿足(*) 那么， 收斂, 且(*)0),(dyyxf0 0:)(),( sup lim, 0byyhyxfbx0)(dyyh00)(),( limdyyhdyyxfx13廣義帶參數(shù)積分的微積分性質(zhì) 廣義帶參數(shù)積分的連續(xù)性 廣義帶參數(shù)積分的積分換序 廣義帶參數(shù)積分的可微性 仍以為區(qū)間的情形來敘述相關(guān)的結(jié)果14廣義帶參數(shù)積分的連續(xù)性 設(shè)C(0,). 如果 在上一致收斂則參變量積分在上連續(xù). 證明 這是極限定理的直接推論0),(dyyxf0),()(dyyxfxF15廣義帶參數(shù)積分的積分換序 設(shè)=a,b, C(0,). 如果在上一致收斂. 則 證明:

4、 記 , 由在上一致收斂, A0, 使得當(dāng)cA時0),(dyyxf 00),(),(dxdyyxfdxdyyxfbaba0),()(dyyxfxF0),(dyyxfcdyyxfxFx0),()( ,16積分換序證明(續(xù))因此由普通參變量積分的結(jié)果所以令c, 就得到所要的結(jié)果)(0),()( abbacbadydxyxfdxxF c babacdxdyyxfdydxyxf00),(),()(0),()( abc babadydxyxfdxxF 17廣義帶參數(shù)積分的可微性 積分號下求導(dǎo): 設(shè), xC(0,), 在上處處收斂, 在上一致收斂, 則因此0),(dyyxf0),(dyyxfx00),()

5、,(dyyxxfdyyxfdxd)(),()(10CdyyxfxF18積分號下求導(dǎo)的證明 任取a, x, 由積分換序定理注意 在上是t的連續(xù)函數(shù)，由微積分基本定理，結(jié)果得證)()(),(),(000),(),(aFxFdyyafyxfdtdyytfdydtytfxatxat 0),(dyytft19廣義參變量積分例1 計算 解解：定義由控制收斂定理可知(y)C(0,)C1(0,)并且02dxeIx01)1 ()( ,022ydxxxyeyf0)( ,0)1(2ydxeyfxy20廣義參變量積分例1(續(xù))通過變量替換得到所以 , 注意因此， 也就是，Iyyedxeyfxy0)1 (2)(dyyy

6、eIfxfx0) 0()(0)(limxfx222I2I21廣義參變量積分例2 計算當(dāng)x0時，由廣義積分換序定理0,),( ,0badxxeebaIbxaxbaxyxeedyebxaxabdyydxdyebaIbabaxyln1),(0 22一致收斂準(zhǔn)則 Weierstrass判別法(優(yōu)函數(shù)判別法,控制收斂判別法) Dirichlet判別法 Abel判別法 Dini判別法23Weierstrass判別法 如果存在hL(0,)滿足則 在上一致收斂.證明：這由hL(0,)和一致收斂的定義直接就可以得到.0),(dyytf)(|:),(sup| ), 0 yhxyxfy24廣義參變量積分例3 證明積

7、分 0, 在,)上一致收斂，但在(0,)上不一致收斂. 證明證明：任取0, 則對于t,),由控制收斂定理， 在,)上一致收斂.注意: 由極限定理，如果 在(0,)上一致收斂，則h(x)=1,在(0,)上可積(這是不對的).02dyetx22 xxtee02dyetx) 0( 1), (, 0 , 02 textfaxaxt02dxetx25Dirichlet判別法 設(shè), g R,滿足 (1)對于x , (x,y) 是上的遞減函數(shù); (2) (3) 則 在上一致收斂0),(),(dyyxgyxf0: ),(sup limxyxfyMaxdyyxga0,:),( sup026Dirichlet判別

8、法證明 使用一致收斂的充要條件(A)來證明. 任取, 由條件(2), A0, 當(dāng)yA時，則當(dāng)aA, b0時，x, 由第二積分中值定理因此12),(,Myxfxbaccabaadyyxfbaxfdyyxfaxfdyyxf),(),(),(),(),(),(2),(axMfbaadyyxf27廣義參變量積分例4 計算 解解：定義1.先證明(y)在0,)上一致收斂.使用Dirichlet判別法,取u(x,y)=exp(-xy)/x, v(x,y)=sin x. 因此, (y)在0,)上連續(xù). 這就要證的一致收斂性0sindxxxI0sin)( ,0ydxxxxyeyf28廣義參變量積分例4(續(xù))2.

9、 當(dāng)y0時, (y)在(0,)上可導(dǎo),并且因此所以注意 (y)0 (y), 得到由此得到)(1sin)(20yfyxdxxyeyf211)(yyfyCyfarctan)(yyfarctan2)(2) 0 (0sindxfxx29廣義參變量積分例5 設(shè)a0. 證明：積分 在(0,a)上不一致收斂，而在(a,)上一致收斂. 證明：在(a,)上,利用Dirichlet判別法,取(x,y)=1/y,g(x,y)=sin(xy), 在(0,a)上,對于任何A0,取x(0,a): b=/(6x) A, c=/(2x), 則1sindyyxy21cossinsin4/6/4/6/dzzdzzzdyyxycb

10、adyxyb2)sin(130Abel判別法 設(shè), g R,滿足 (1)對于x , (x,y) 是上的單調(diào)函數(shù); (2) (3) 在上一致收斂則 在上一致收斂Myxyxf), 0,:),(sup0),(dyyxg0),(),(dyyxgyxf31Abel判別法的證明 仍使用一致收斂的充要條件(A)來證明. 任取, 由條件(2), A0, 當(dāng)aA, b0時，則當(dāng)aA, b0時，x, 由第二積分中值定理因此12),(,Mdyyxgxbaabaccabaadyyxgbaxfdyyxgaxfdyyxgyxf),(),(),(),(),(),(122),(),(MMbaadyyxgyxf32廣義參變量積分例6 證明積分 在R上一致收斂. 證明證明：利用Abel判別法, 取(x,y)=arctan(x2+y2), g(x,y)=sin(y)/y122sin)arctan(dyyyyx33Dini