新三第7講 學(xué)會(huì)倒著想

1、學(xué)會(huì)倒著想在左邊這個(gè)數(shù)字迷宮中，有5個(gè)入口和1個(gè)出口。只有相鄰的兩個(gè)數(shù)字之和是3的倍數(shù)時(shí)，才能從它們中間通過。如果你是游戲中的小朋友，你會(huì)選擇從哪個(gè)入口進(jìn)去，走怎樣的路線順剎通過迷宮呢?顯然，上面這個(gè)問題如果順著去想，就會(huì)很麻煩要嘗試很多次。倒不如反過來(lái)想既然選擇一定的路線可以通過迷宮，那么反過來(lái)按照同樣的路線，也一定可以回到出發(fā)點(diǎn)。因此，不妨把出口當(dāng)作入口，按照游戲中的規(guī)則反過來(lái)走（如圖1），一次就可以找到問題的答案（如圖2）。像這樣從所求問題出發(fā)，倒著想，回到已知條件思考問題的方法，就叫作“逆推法”。其實(shí)，不僅在游戲中，更多的也可以用在同學(xué)們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中。很多題目如果運(yùn)用逆推法去思考，可以

2、起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的效果! 利用逆推法解題，必要時(shí)借助線段圖、表格的幫助，可使思路更加清晰、簡(jiǎn)便!【例1】 浮萍在池塘里所占水面面積每天增加1倍，經(jīng)過62天整個(gè)池塘長(zhǎng)滿了浮萍。浮萍長(zhǎng)到半個(gè)池塘水面時(shí)，用了幾天的時(shí)間?分析 倒著想。由于“浮萍在池塘里所占水面面積每天增加1倍”，所以笫62天池塘浮萍的面積就應(yīng)該是第61天的兩倍。這樣不難發(fā)現(xiàn)，第61天池塘浮萍的面積就是池塘水面的一半。即學(xué)即練1 往貯水池里注水，每小時(shí)都要比原來(lái)的體積增加1倍。如果照這樣計(jì)算，注入64立方米水用了6小時(shí)，那么注入16立方米水用了幾小時(shí)?【例2】 小華問數(shù)學(xué)張老師：“您今年多少歲了?”張老師回答說：“用我的年齡數(shù)減

3、去8，乘以3，除以11，再加上3，就正好等于你現(xiàn)在的歲數(shù)9?！闭?qǐng)你算一算，張老師今年多少歲?分析 從結(jié)果倒著想。由于加上3，結(jié)果等于是9。說明沒加3之前是93 = 6；同樣的，沒除以11之前是11×6 = 66，沒乘3之前是66 ÷ 3 = 22，沒減去8之前是22 + 8 = 30。即學(xué)即練2 一個(gè)數(shù)加上4，乘以4，再減去4，最后除以4，結(jié)果還是4。這個(gè)數(shù)是幾?【例3】 在抄寫某兩個(gè)數(shù)相乘的習(xí)題時(shí)，小華將其中一個(gè)數(shù)45誤寫成54，結(jié)果他所得到的答案比正確答案大198。這個(gè)乘法習(xí)題的正確答案是多少?分析 把45誤寫成54，即比原來(lái)的數(shù)大9。那個(gè)不變的數(shù)的9倍正好等于198，

4、因此不變的數(shù)是198 ÷ 9 = 22。即學(xué)即練3（1）小彬在做一道加法題目時(shí)，把個(gè)位上的4看成了2，把十位上的7看成了8，結(jié)果得到的和是251。正確的結(jié)果應(yīng)是多少?（2）一個(gè)數(shù)減去248，聰聰不小心錯(cuò)把被減數(shù)百位和十位上的數(shù)交換了，結(jié)果得439。正確的結(jié)果是多少?【例 4】 李老師拿著一批書送給30位同學(xué)，每到一位同學(xué)家里，李老師就將手里所有的書的一半給他，每位同學(xué)也都還她一本，最后李老師手里還剩下2本書。那么李老師原來(lái)拿了多少本書?分析 從最后一個(gè)同學(xué)開始逆推。李老師收同最后那位同學(xué)給她的1本后還剩2本，說明李老師將自己剩下的書的一半給最后那個(gè)同學(xué)后還剩1本，當(dāng)然，給最后那個(gè)同學(xué)

5、之前有2本；同樣的道理，給第35個(gè)同學(xué)之前是2本；給第34個(gè)同學(xué)之前是2本為了直觀，可以用表格表示如下：本 數(shù)最 后2給第36個(gè)同學(xué)之前（2 1）× 2 = 2給第35個(gè)同學(xué)之前（2 1）× 2 = 2給第34個(gè)同學(xué)之前（2 1）× 2 = 2給第1個(gè)同學(xué)之前（2 1）× 2 = 2即學(xué)即練4盒子里有若干個(gè)球。小明每次拿出盒中的一半再放回一個(gè)球。這樣共操作了7次，盒中還有3個(gè)球。盒子里原來(lái)有多少個(gè)球?【例5】 一條彩帶，第一次用去一半，第二次又用去剩下的一半，還剩下9米。這條彩帶原來(lái)長(zhǎng)多少米?分析 從下面的線段圖上可以看出：剩下的9米和余下的一半同樣多，

6、那么可以先求出原來(lái)的一半，再求出彩帶的全長(zhǎng)。即學(xué)即練5 小林摘西瓜，第一天摘了瓜地里西瓜的一半又10個(gè)，第二天摘了余下的一半又10個(gè)，第三天摘了10個(gè)正好摘完。這塊瓜地原來(lái)共結(jié)西瓜多少個(gè)?【例6】 小紅、小青、小寧都喜愛畫片。如果小紅給小青11張畫片，小青給小寧20張畫片，小寧給小紅5張畫片，那么他們?nèi)说漠嬈瑥垟?shù)同樣多。已知他們?nèi)斯灿挟嬈?50張，他們?nèi)嗽瓉?lái)各有畫片多少?gòu)?分析 三人畫片進(jìn)行交換，其總數(shù)是不會(huì)改變的。交換以后三人張數(shù)相等，那么每人應(yīng)有150 ÷ 3 = 50（張）。再對(duì)照題中條件，把各人的畫片還原，便可得到他們?nèi)嗽瓉?lái)畫片的張數(shù)。即學(xué)即練6 小紅和小明共有54張

7、牌，小紅先給小明10張牌，小明再給小紅12張牌，這時(shí)小紅手中牌的張數(shù)是小明的2倍。他們?cè)瓉?lái)各有幾張牌?【例7】 三堆棋子共96枚。小華先從第一堆里拿出和第二堆棋子同樣多的棋子放入第二堆；再?gòu)牡诙阎心贸雠c第三堆棋子數(shù)同樣多的棋子放入第三堆；最后又從第三堆中拿出與第一堆同樣多的棋子放入第一堆，這時(shí)，三堆棋子數(shù)正好相等。三堆棋子原來(lái)各有多少枚?分析 根據(jù)題意可知，最后每堆棋子數(shù)是96 ÷3 = 32（枚）。由此向前逆推，用表格可以清楚地看出變化情況。第一堆（枚）第二堆（枚）第三堆（枚）最初狀態(tài)16 + 28 = 4456 ÷ 2 = 2824第一次變化后1632 + 24 =

8、5648 ÷ 2 = 24第二次變化后32 ÷ 2 = 163232 + 16 = 48第三次變化后323232即學(xué)即練7甲、乙、丙三人的錢數(shù)各不相同。甲最多，他拿出一些給乙和丙，使乙和丙的錢數(shù)都比原來(lái)增加一倍，結(jié)果乙的最多；乙拿出一些給甲和丙，使甲和丙的錢數(shù)都比原來(lái)增加一倍，結(jié)果丙的最多；丙拿出一些給甲和乙，使甲和乙的錢數(shù)都比原來(lái)增加一倍，結(jié)果三人的錢數(shù)一樣多。如果他們?nèi)斯灿?8元，那么甲、乙、丙三人原來(lái)各有多少元錢?能力檢測(cè)1一個(gè)數(shù)加上8，乘以8，減去8，除以8，結(jié)果還是8。這個(gè)數(shù)是多少?2將一個(gè)數(shù)作如下運(yùn)算：乘以4，再加上112，減去20，最后除以4，這時(shí)得30。那

9、么這個(gè)數(shù)是多少?3籃子里原來(lái)有蘋果若干個(gè)，拿出一半給奶奶，又拿出剩下的一半送給媽媽，這時(shí)還剩下5個(gè)。原來(lái)這籃蘋果有多少個(gè)?4一根電線，第一天先用去2米，再用去余下的一半。第二天同樣先用去2米，再用去余下的一半，這時(shí)還剩12米。這根電線原有多少米？5大白鵝教授用一種特殊營(yíng)養(yǎng)液進(jìn)行喂蟲子試驗(yàn)，蟲子體長(zhǎng)每天都長(zhǎng)1倍，8天就長(zhǎng)到了8厘米。大白鵝教授問小鴨助手：“當(dāng)蟲子長(zhǎng)到4厘米時(shí)用了多少天?”小鴨隨口答道：“8天長(zhǎng)8厘米，那么一天就長(zhǎng)1厘米，4天后就是4厘米?！蹦阏J(rèn)為小鴨說得對(duì)不對(duì)?6小華在荷塘里種了一株蓮藕，開始時(shí)它只有1片荷葉，以后每周都增加1倍的荷葉。假如現(xiàn)在它有1024片荷葉，在4周前它有多少

10、片荷葉?7算式： 3 × 5 ÷ 8 + 95 = 120中， 處應(yīng)填幾?8四個(gè)小朋友共有課外讀物120本，甲給了乙3本，乙給了丙4本，丙給了丁5本，丁給了甲6本，這時(shí)他們四個(gè)人課外讀物的本數(shù)相等。他們?cè)瓉?lái)各有課外書多少本?9有甲、乙兩個(gè)港口，各停小船若干只，如果按下面的規(guī)則移動(dòng)船只：第一次從甲港開出和乙港同樣多的船只到乙港，第二次從乙港開出和甲港剩下的同樣多的船只到甲港，那么照這樣移動(dòng)四次后，甲、乙兩港所停的小船只數(shù)都是48只。甲、乙兩港最初各有小船多少只?10將八個(gè)數(shù)從左往右排成一排，從第三個(gè)數(shù)開始，每個(gè)數(shù)都恰好等于它前面兩個(gè)數(shù)之和。如果第七個(gè)數(shù)和第八個(gè)數(shù)分別是31和5

11、0，那么第一個(gè)數(shù)是多少?11三只猴子分一堆桃子，第一只猴子先去把桃子分成3份，拿走了自己的一份；第二只猴子以為誰(shuí)也沒來(lái)分過，把剩余的桃子又分成3份，拿走了自己的一份；第三只猴子以為誰(shuí)也沒來(lái)分過，也把剩余的桃子分成3份，拿走了自己的一份，最后還剩下8個(gè)桃子。這堆桃子原來(lái)有多少個(gè)?12有一個(gè)正方形，以它的一條對(duì)角線為邊長(zhǎng)作新正方形；又以新正方形的對(duì)角線為邊長(zhǎng)作新正方形（如右圖所示）。如此這樣作下去，得到第五個(gè)正方形的面積是128平方厘米。求原正方形的面積。13工程隊(duì)要修一條小路，第一天修了全長(zhǎng)的一半多6米，第二天修了余下的一半少20米，第三天修了30米，此時(shí)還剩下14米沒有修，則這條小路長(zhǎng)多少米?14某數(shù)加上5，然后再乘4