彈性力學(xué)簡明教程(第四版)_課后習(xí)題解答01497

1、彈性力學(xué)簡明教程（第四版）課后習(xí)題解答徐芝綸第一章 緒論【1-1】試舉例說明什么是均勻的各向異性體，什么是非均勻的各向同性體？【分析】均勻的各項異形體就是滿足均勻性假定，但不滿足各向同性假定；非均勻的各向異性體，就是不滿足均勻性假定，但滿足各向同性假定?！窘獯稹烤鶆虻母黜棶愋误w如：竹材，木材。 非均勻的各向同性體如：混凝土?！?-2】一般的混凝土構(gòu)件和鋼筋混凝土構(gòu)件能否作為理想彈性體？一般的巖質(zhì)地基和土質(zhì)地基能否作為理想彈性體？【分析】能否作為理想彈性體，要判定能否滿足四個假定：連續(xù)性，完全彈性，均勻性，各向同性假定?！窘獯稹恳话愕幕炷翗?gòu)件和土質(zhì)地基可以作為理想彈性體；一般的鋼筋混凝土構(gòu)件和

2、巖質(zhì)地基不可以作為理想彈性體。【1-3】五個基本假定在建立彈性力學(xué)基本方程時有什么作用？【解答】（1）連續(xù)性假定：假定物體是連續(xù)的，也就是假定整個物體的體積都被組成這個物體的介質(zhì)所填滿，不留下任何空隙。引用這一假定后，物體的應(yīng)力、形變和位移等物理量就可以看成是連續(xù)的。因此，建立彈性力學(xué)的基本方程時就可以用坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來表示他們的變化規(guī)律。完全彈性假定：假定物體是完全彈性的，即物體在對應(yīng)形變的外力被去除后，能夠完全恢復(fù)原型而無任何形變。這一假定，還包含形變與引起形變的應(yīng)力成正比的涵義，亦即兩者之間是成線性關(guān)系的，即引用這一假定后，應(yīng)力與形變服從胡克定律，從而使物理方程成為線性的方程，其彈性常數(shù)

3、不隨應(yīng)力或形變的大小而變。均勻性假定：假定物體是均勻的，即整個物體是由同一材料組成的，引用這一假定后整個物體的所有各部分才具有相同的彈性，所研究物體的內(nèi)部各質(zhì)點的物理性質(zhì)都是相同的，因而物體的彈性常數(shù)不隨位置坐標(biāo)而變化。各向同性假定：假定物體是各向同性的，即物體的彈性在所有各個方向都相同，引用此假定后，物體的彈性常數(shù)不隨方向而變。小變形假定：假定位移和變形是微小的。亦即，假定物體受力以后整個物體所有各點的位移都遠遠小于物體原來的尺寸，而且應(yīng)變和轉(zhuǎn)角都遠小于1。這樣在建立物體變形以后的平衡方程時，就可以方便的用變形以前的尺寸來代替變形以后的尺寸。在考察物體的位移與形變的關(guān)系時，它們的二次冪或乘積

4、相對于其本身都可以略去不計，使得彈性力學(xué)中的微分方程都簡化為線性的微分方程?！?-4】應(yīng)力和面力的符號規(guī)定有什么區(qū)別？試畫出正坐標(biāo)面和負坐標(biāo)面上的正的應(yīng)力和正的面力的方向?！窘獯稹繎?yīng)力的符號規(guī)定是：當(dāng)作用面的外法線方向指向坐標(biāo)軸方向時（即正面時），這個面上的應(yīng)力（不論是正應(yīng)力還是切應(yīng)力）以沿坐標(biāo)軸的正方向為正，沿坐標(biāo)軸的負方向為負。當(dāng)作用面的外法線指向坐標(biāo)軸的負方向時（即負面時），該面上的應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸的負方向為正，沿坐標(biāo)軸的正方向為負。面力的符號規(guī)定是：當(dāng)面力的指向沿坐標(biāo)軸的正方向時為正，沿坐標(biāo)軸的負方向為負。由下圖可以看出，正面上應(yīng)力分量與面力分量同號，負面上應(yīng)力分量與面力分量符號相反。

5、正的應(yīng)力正的面力【1-5】試比較彈性力學(xué)和材料力學(xué)中關(guān)于切應(yīng)力的符號規(guī)定?！窘獯稹坎牧狭W(xué)中規(guī)定切應(yīng)力符號以使研究對象順時針轉(zhuǎn)動的切應(yīng)力為正，反之為負。彈性力學(xué)中規(guī)定，作用于正坐標(biāo)面上的切應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸的正方向為正，作用于負坐標(biāo)面上的切應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸負方向為正，反之為負?！?-6】試舉例說明正的應(yīng)力對應(yīng)于正的形變?！窘獯稹空膽?yīng)力包括正的正應(yīng)力與正的切應(yīng)力，正的形變包括正的正應(yīng)變與正的切應(yīng)變，本題應(yīng)從兩方面解答。正的正應(yīng)力對應(yīng)于正的正應(yīng)變：軸向拉伸情況下，產(chǎn)生軸向拉應(yīng)力為正的應(yīng)力，引起軸向伸長變形，為正的應(yīng)變。正的切應(yīng)力對應(yīng)于正的切應(yīng)變：在如圖所示應(yīng)力狀態(tài)情況下，切應(yīng)力均為正的切應(yīng)力，引起直角

6、減小，故為正的切應(yīng)變?！?-7】試畫出圖1-4中矩形薄板的正的體力、面力和應(yīng)力的方向?！窘獯稹?正的體力、面力正的體力、應(yīng)力【1-8】試畫出圖1-5中三角形薄板的正的面力和體力的方向?！窘獯稹俊?-9】在圖1-3的六面體上，y面上切應(yīng)力的合力與z面上切應(yīng)力的合力是否相等？【解答】切應(yīng)力為單位面上的力，量綱為，單位為。因此，應(yīng)力的合力應(yīng)乘以相應(yīng)的面積，設(shè)六面體微元尺寸如dx×dy×dz，則y面上切應(yīng)力的合力為： (a) z面上切應(yīng)力的合力為： (b)由式（a）(b)可見，兩個切應(yīng)力的合力并不相等?！痉治觥孔饔迷趦蓚€相互垂直面上并垂直于該兩面交線的切應(yīng)力的合力不相等，但對某點的

7、合力矩相等，才導(dǎo)出切應(yīng)力互等性。40第二章 平面問題的基本理論【2-1】試分析說明，在不受任何面力作用的空間體表面附近的薄層中(圖2-14)其應(yīng)力狀態(tài)接近于平面應(yīng)力的情況。【解答】在不受任何面力作用的空間表面附近的薄層中，可以認(rèn)為在該薄層的上下表面都無面力，且在薄層內(nèi)所有各點都有，只存在平面應(yīng)力分量，且它們不沿z方向變化，僅為x，y的函數(shù)。可以認(rèn)為此問題是平面應(yīng)力問題?！?-2】試分析說明，在板面上處處受法向約束且不受切向面力作用的等厚度薄片中（2-15），當(dāng)板邊上只受x，y向的面力或約束，且不沿厚度變化時，其應(yīng)變狀態(tài)接近于平面應(yīng)變的情況?！窘獯稹堪迳咸幪幨芊ㄏ蚣s束時，且不受切向面力作用，則(

8、相應(yīng))板邊上只受x，y向的面力或約束，所以僅存在，且不沿厚度變化，僅為x，y的函數(shù)，故其應(yīng)變狀態(tài)接近于平面應(yīng)變的情況。【2-3】在圖2-3的微分體中，若將對形心的力矩平很條件改為對角點的力矩平衡條件，試問將導(dǎo)出什么形式的方程？【解答】將對形心的力矩平衡條件，改為分別對四個角點A、B、D、E的平衡條件，為計算方便，在z方向的尺寸取為單位1。 (a) (b) (c) (d)略去(a)、(b)、(c)、(d)中的三階小量（亦即令都趨于0），并將各式都除以后合并同類項，分別得到?！痉治觥坑杀绢}可得出結(jié)論：微分體對任一點取力矩平衡得到的結(jié)果都是驗證了切應(yīng)力互等定理?！?-4】在圖2-3和微分體中，若考慮

9、每一面上的應(yīng)力分量不是均勻分布的，驗證將導(dǎo)出什么形式的平衡微分方程？【解答】微分單元體ABCD的邊長都是微量，因此可以假設(shè)在各面上所受的應(yīng)力如圖a所示，忽略了二階以上的高階微量，而看作是線性分布的，如圖（b）所示。為計算方便，單元體在z方向的尺寸取為一個單位。 (a) (b)各點正應(yīng)力：； ；各點切應(yīng)力：；由微分單元體的平衡條件得以上二式分別展開并約簡，再分別除以，就得到平面問題中的平衡微分方程：【分析】由本題可以得出結(jié)論：彈性力學(xué)中的平衡微分方程適用于任意的應(yīng)力分布形式?！?-5】在導(dǎo)出平面問題的三套基本方程時，分別應(yīng)用了哪些基本假定？這些方程的適用條件是什么？【解答】(1)在導(dǎo)出平面問題的

10、平衡微分方程和幾何方程時應(yīng)用的基本假設(shè)是：物體的連續(xù)性和小變形假定，這兩個條件同時也是這兩套方程的適用條件。(2)在導(dǎo)出平面問題的物理方程時應(yīng)用的基本假定是：連續(xù)性，完全彈性，均勻性和各向同性假定，即理想彈性體假定。同樣，理想彈性體的四個假定也是物理方程的使用條件?！舅伎碱}】平面問題的三套基本方程推導(dǎo)過程中都用到了哪個假定？【2-6】在工地上技術(shù)人員發(fā)現(xiàn)，當(dāng)直徑和厚度相同的情況下，在自重作用下的鋼圓環(huán)（接近平面應(yīng)力問題）總比鋼圓筒（接近平面應(yīng)變問題）的變形大。試根據(jù)相應(yīng)的物理方程來解釋這種現(xiàn)象?！窘獯稹矿w力相同情況下，兩類平面問題的平衡微分方程完全相同，故所求的應(yīng)力分量相同。由物理方程可以看出

11、，兩類平面問題的物理方程主要的區(qū)別在于方程中含彈性常數(shù)的系數(shù)。由于E為GPa級別的量，而泊松比取值一般在（0，0.5），故主要控制參數(shù)為含有彈性模量的系數(shù)項，比較兩類平面問題的系數(shù)項，不難看出平面應(yīng)力問題的系數(shù)要大于平面應(yīng)變問題的系數(shù)。因此，平面應(yīng)力問題情況下應(yīng)變要大，故鋼圓環(huán)變形大?！?-7】在常體力，全部為應(yīng)力邊界條件和單連體的條件下，對于不同材料的問題和兩類平面問題的應(yīng)力分量，和均相同。試問其余的應(yīng)力，應(yīng)變和位移是否相同？【解答】(1)應(yīng)力分量：兩類平面問題的應(yīng)力分量，和均相同，但平面應(yīng)力問題，而平面應(yīng)變問題的。（2）應(yīng)變分量：已知應(yīng)力分量求應(yīng)變分量需要應(yīng)用物理方程，而兩類平面問題的物理

12、方程不相同，故應(yīng)變分量相同，而不相同。（3）位移分量：由于位移分量要靠應(yīng)變分量積分來求解，故位移分量對于兩類平面問題也不同。【2-8】在圖2-16中，試導(dǎo)出無面力作用時AB邊界上的之間的關(guān)系式【解答】由題可得： 將以上條件代入公式（2-15），得：【2-9】試列出圖2-17，圖2-18所示問題的全部邊界條件。在其端部小邊界上，應(yīng)用圣維南原理列出三個積分的應(yīng)力邊界條件。圖2-17 圖2-18【分析】有約束的邊界上可考慮采用位移邊界條件，若為小邊界也可寫成圣維南原理的三個積分形式，大邊界上應(yīng)精確滿足公式（2-15）?！窘獯稹繄D2-17：上（y=0）左(x=0)右（x=b）0-11-100000代入

13、公式（2-15）得在主要邊界上x=0，x=b上精確滿足應(yīng)力邊界條件：在小邊界上，能精確滿足下列應(yīng)力邊界條件：在小邊界上，能精確滿足下列位移邊界條件：這兩個位移邊界條件可以應(yīng)用圣維南原理，改用三個積分的應(yīng)力邊界條件來代替，當(dāng)板厚時，可求得固定端約束反力分別為：由于為正面，故應(yīng)力分量與面力分量同號，則有：圖2-18上下主要邊界y=-h/2，y=h/2上，應(yīng)精確滿足公式（2-15）(s)(s)0-1001-0，在=0的小邊界上，應(yīng)用圣維南原理，列出三個積分的應(yīng)力邊界條件：負面上應(yīng)力與面力符號相反，有在x=l的小邊界上，可應(yīng)用位移邊界條件這兩個位移邊界條件也可改用三個積分的應(yīng)力邊界條件來代替。首先，求

14、固定端約束反力，按面力正方向假設(shè)畫反力，如圖所示，列平衡方程求反力：由于x=l為正面，應(yīng)力分量與面力分量同號，故【2-10】試應(yīng)用圣維南原理，列出圖2-19所示的兩個問題中OA邊上的三個積分的應(yīng)力邊界條件，并比較兩者的面力是否是是靜力等效？【解答】由于，OA為小邊界，故其上可用圣維南原理，寫出三個積分的應(yīng)力邊界條件：(a)上端面OA面上面力由于OA面為負面，故應(yīng)力主矢、主矩與面力主矢、主矩符號相反，有(對OA中點取矩)()應(yīng)用圣維南原理，負面上的應(yīng)力主矢和主矩與面力主矢和主矩符號相反，面力主矢y向為正，主矩為負，則綜上所述，在小邊界OA上，兩個問題的三個積分的應(yīng)力邊界條件相同，故這兩個問題是靜

15、力等效的?！?-11】檢驗平面問題中的位移分量是否為正確解答的條件是什么？【解答】（1）在區(qū)域內(nèi)用位移表示的平衡微分方程式（2-18）；（2）在上用位移表示的應(yīng)力邊界條件式（2-19）；（3）在上的位移邊界條件式（2-14）；對于平面應(yīng)變問題，需將E、作相應(yīng)的變換?！痉治觥看藛栴}同時也是按位移求解平面應(yīng)力問題時，位移分量必須滿足的條件?！?-12】檢驗平面問題中的應(yīng)力分量是否為正確解答的條件是什么？【解答】（1）在區(qū)域A內(nèi)的平衡微分方程式（2-2）；（2）在區(qū)域A內(nèi)用應(yīng)力表示的相容方程式（2-21）或（2-22）； （3）在邊界上的應(yīng)力邊界條件式（2-15），其中假設(shè)只求解全部為應(yīng)力邊界條件的

16、問題；（4）對于多連體，還需滿足位移單值條件?！痉治觥看藛栴}同時也是按應(yīng)力求解平面問題時，應(yīng)力分量必須滿足的條件?！狙a題】檢驗平面問題中的應(yīng)變分量是否為正確解答的條件是什么？【解答】用應(yīng)變表示的相容方程式（2-20）【2-13】檢驗平面問題中的應(yīng)力函數(shù)是否為正確解答的條件是什么？【解答】（1）在區(qū)域A內(nèi)用應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程式（2-25）；（2）在邊界S上的應(yīng)力邊界條件式（2-15），假設(shè)全部為應(yīng)力邊界條件；（3）若為多連體，還需滿足位移單值條件?！痉治觥看藛栴}同時也是求解應(yīng)力函數(shù)的條件?！?-14】檢驗下列應(yīng)力分量是否是圖示問題的解答： 圖2-20 圖2-21（a）圖2-20，?！窘獯稹吭?/p>

17、單連體中檢驗應(yīng)力分量是否是圖示問題的解答，必須滿足：（1）平衡微分方程（2-2）；（2）用應(yīng)力表示的相容方程（2-21）；（3）應(yīng)力邊界條件（2-15）。（1）將應(yīng)力分量代入平衡微分方程式，且 顯然滿足（2）將應(yīng)力分量代入用應(yīng)力表示的相容方程式（2-21），有等式左=右應(yīng)力分量不滿足相容方程。因此，該組應(yīng)力分量不是圖示問題的解答。（b）圖2-21，由材料力學(xué)公式，(取梁的厚度b=1)，得出所示問題的解答:，。又根據(jù)平衡微分方程和邊界條件得出：。試導(dǎo)出上述公式，并檢驗解答的正確性?！窘獯稹浚?）推導(dǎo)公式在分布荷載作用下，梁發(fā)生彎曲形變，梁橫截面是寬度為1，高為h的矩形，其對中性軸（Z軸）的慣性矩

18、，應(yīng)用截面法可求出任意截面的彎矩方程和剪力方程。所以截面內(nèi)任意點的正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為：。根據(jù)平衡微分方程第二式（體力不計）。得： 根據(jù)邊界條件得 故 將應(yīng)力分量代入平衡微分方程（2-2）第一式： 滿足第二式 自然滿足將應(yīng)力分量代入相容方程（2-23）應(yīng)力分量不滿足相容方程。故，該分量組分量不是圖示問題的解答。【2-15】試證明：在發(fā)生最大與最小切應(yīng)力的面上，正應(yīng)力的數(shù)值都等于兩個主應(yīng)力的平均值。【解答】（1）確定最大最小切應(yīng)力發(fā)生位置任意斜面上的切應(yīng)力為，用關(guān)系式消去m，得由上式可見當(dāng)時，即時，為最大或最小，為 。因此，切應(yīng)力的最大，最小值發(fā)生在與x軸及y軸（即應(yīng)力主向）成45°的

19、斜面上。（2）求最大，最小切應(yīng)力作用面上，正應(yīng)力的值任一斜面上的正應(yīng)力為最大、最小切應(yīng)力作用面上，帶入上式，得證畢?！?-16】設(shè)已求得一點處的應(yīng)力分量，試求【解答】由公式（2-6）及，得(a) (b) (c) (d) 【2-17】設(shè)有任意形狀的等候厚度薄板，體力可以不計，在全部邊界上（包括孔口邊界上）受有均勻壓力q。試證及能滿足平衡微分方程、相容方程和應(yīng)力邊界條件，也能滿足位移單值條件，因而就是正確的解答?！窘獯稹浚?）將應(yīng)力分量，和體力分量分別帶入平衡微分方程、相容方程 （a） （b）顯然滿足（a）（b）（2）對于微小的三角板A，dx，dy都為正值，斜邊上的方向余弦，將，代入平面問題的應(yīng)力

20、邊界條件的表達式（2-15），且，則有所以。對于單連體，上述條件就是確定應(yīng)力的全部條件。（3）對于多連體，應(yīng)校核位移單值條件是否滿足。該題為平面應(yīng)力情況，首先，將應(yīng)力分量代入物理方程（2-12），得形變分量， （d）將（d）式中形變分量代入幾何方程（2-8），得 （e）前兩式積分得到 （f）其中分別任意的待定函數(shù)，可以通過幾何方程的第三式求出，將式（f）代入式（e）的第三式，得等式左邊只是y的函數(shù)，而等式右邊只是x的函數(shù)。因此，只可能兩邊都等于同一個常數(shù)，于是有積分后得代入式（f）得位移分量 （g）其中為表示剛體位移量的常數(shù)，需由約束條件求得從式（g）可見，位移是坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)，滿足位移單

21、值條件。因而，應(yīng)力分量是正確的解答?！?-18】設(shè)有矩形截面的懸臂梁，在自由端受有集中荷載F（圖2-22），體力可以不計。試根據(jù)材料力學(xué)公式，寫出彎應(yīng)力，然后證明這些表達式滿足平衡微分方程和相容方程，再說明這些表達式是否就表示正確的解答?！窘獯稹浚?）矩形懸臂梁發(fā)生彎曲變形，任意橫截面上的彎矩方程，橫截面對中性軸的慣性矩為，根據(jù)材料力學(xué)公式彎應(yīng)力；該截面上的剪力為，剪應(yīng)力為取擠壓應(yīng)力（2）將應(yīng)力分量代入平衡微分方程檢驗第一式： 第二式：左=0+0=0=右該應(yīng)力分量滿足平衡微分方程。（3）將應(yīng)力分量代入應(yīng)力表示的相容方程 滿足相容方程（4）考察邊界條件在主要邊界上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件(2-1

22、5) 0-1000100代入公式（2-15），得在次要邊界x=0上，列出三個積分的應(yīng)力邊界條件，代入應(yīng)力分量主矢主矩滿足應(yīng)力邊界條件在次要邊界上，首先求出固定邊面力約束反力，按正方向假設(shè)，即面力的主矢、主矩，其次，將應(yīng)力分量代入應(yīng)力主矢、主矩表達式，判斷是否與面力主矢與主矩等效： 滿足應(yīng)力邊界條件，因此，它們是該問題的正確解答?！?-19】試證明，如果體力雖然不是常量，但卻是有勢的力，即體力分量可以表示為，其中V是勢函數(shù)，則應(yīng)力分量亦可用應(yīng)力函數(shù)表示成為，試導(dǎo)出相應(yīng)的相容方程。【解答】（1）將帶入平衡微分方程（2-2） （a）將（a）式變換為 （b）為了滿足式（b），可以取即（2）對體力、應(yīng)力

23、分量求偏導(dǎo)數(shù)，得 （c）將（c）式代入公式（2-21）得平面應(yīng)力情況下應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程 （2-21）整理得： （d）即平面應(yīng)力問題中的相容方程為將（c）式代入公式（2-22）或?qū)ⅲ╠）式中的替換為，的平面應(yīng)變情況下的相容方程： （e）即 。證畢。第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答【3-1】為什么在主要邊界（大邊界）上必須滿足精確的應(yīng)力邊界條件式（2-15），而在小邊界上可以應(yīng)用圣維南原理，用三個積分的應(yīng)力邊界條件（即主矢量、主矩的條件）來代替？如果在主要邊界上用三個積分的應(yīng)力邊界條件代替式（2-15），將會發(fā)生什么問題？【解答】彈性力學(xué)問題屬于數(shù)學(xué)物理方程中的邊值問題，而要使邊界條件完全得到

24、滿足，往往比較困難。這時，圣維南原理可為簡化局部邊界上的應(yīng)力邊界條件提供很大的方便。將物體一小部分邊界上的面力換成分布不同，但靜力等效的面力（主矢、主矩均相同），只影響近處的應(yīng)力分布，對遠處的應(yīng)力影響可以忽略不計。如果在占邊界絕大部分的主要邊界上用三個積分的應(yīng)力邊界條件來代替精確的應(yīng)力邊界條件（公式2-15），就會影響大部分區(qū)域的應(yīng)力分布，會使問題的解答精度不足。【3-2】如果在某一應(yīng)力邊界問題中，除了一個小邊界條件，平衡微分方程和其它的應(yīng)力邊界條件都已滿足，試證：在最后的這個小邊界上，三個積分的應(yīng)力邊界條件必然是自然滿足的，固而可以不必校核。【解答】區(qū)域內(nèi)的每一微小單元均滿足平衡條件，應(yīng)力邊

25、界條件實質(zhì)上是邊界上微分體的平衡條件，即外力（面力）與內(nèi)力（應(yīng)力）的平衡條件。研究對象整體的外力是滿足平衡條件的，其它應(yīng)力邊界條件也都滿足，那么在最后的這個次要邊界上，三個積分的應(yīng)力邊界條件是自然滿足的,因而可以不必校核?！?-3】如果某一應(yīng)力邊界問題中有m個主要邊界和n個小邊界，試問在主要邊界和小邊界上各應(yīng)滿足什么類型的應(yīng)力邊界條件，各有幾個條件？【解答】在m個主要邊界上，每個邊界應(yīng)有2個精確的應(yīng)力邊界條件，公式（2-15），共2m個；在n個次要邊界上，如果能滿足精確應(yīng)力邊界條件，則有2n個；如果不能滿足公式（2-15）的精確應(yīng)力邊界條件，則可以用三個靜力等效的積分邊界條件來代替2個精確應(yīng)力

26、邊界條件，共3n個?！?-4】試考察應(yīng)力函數(shù)在圖3-8所示的矩形板和坐標(biāo)系中能解決什么問題(體力不計)? 【解答】相容條件:不論系數(shù)a取何值，應(yīng)力函數(shù)總能滿足應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程，式(2-25).求應(yīng)力分量當(dāng)體力不計時，將應(yīng)力函數(shù)代入公式(2-24)，得考察邊界條件上下邊界上應(yīng)力分量均為零，故上下邊界上無面力.左右邊界上；當(dāng)a>0時，考察分布情況，注意到，故y向無面力左端: 右端: 應(yīng)力分布如圖所示，當(dāng)時應(yīng)用圣維南原理可以將分布的面力，等效為主矢，主矩A主矢的中心在矩下邊界位置。即本題情況下，可解決各種偏心拉伸問題。偏心距e：因為在A點的應(yīng)力為零。設(shè)板寬為b，集中荷載p的偏心距e：同理

27、可知，當(dāng)<0時，可以解決偏心壓縮問題?！?-5】取滿足相容方程的應(yīng)力函數(shù)為：試求出應(yīng)力分量（不計體力），畫出圖3-9所示彈性體邊界上的面力分布，并在小邊界上表示出面力的主矢量和主矩?！窘獯稹浚?）由應(yīng)力函數(shù)，得應(yīng)力分量表達式考察邊界條件，由公式（2-15）主要邊界，上邊界上，面力為 主要邊界，下邊界，面力為 次要邊界，左邊界x=0上，面力的主矢，主矩為x向主矢：y向主矢：主矩：次要邊界，右邊界x=l上，面力的主矢，主矩為x向主矢：y向主矢：主矩：彈性體邊界上面力分布及次要邊界面上面力的主矢，主矩如圖所示將應(yīng)力函數(shù)代入公式（2-24），得應(yīng)力分量表達式，考察應(yīng)力邊界條件，主要邊界,由公式（

28、2-15）得在主要邊界，上邊界上，面力為在，下邊界上，面力為在次要邊界上，分布面力可按(2-15)計算，面里的主矢、主矩可通過三個積分邊界條件求得：在左邊界x=0，面力分布為面力的主矢、主矩為x向主矢：y向主矢：主矩；在右邊界x=l上，面力分布為面力的主矢、主矩為x向主矢：y向主矢：主矩：彈性體邊界上的面力分布及在次要上面力的主矢和主矩如圖所示（3）將應(yīng)力函數(shù)代入公式（2-24），得應(yīng)力分量表達式考察應(yīng)力邊界條件，在主要邊界上應(yīng)精確滿足式（2-15）次要邊界上，分布面力可按（2-15）計算，面力的主矢、主矩可通過三個積分邊界求得：左邊界x=0上，面力分布為右邊界上，面力分布為面力的主矢、主矩為

29、x向主矢y向主矢：主矩：彈性體邊界上的面力分布及在次要邊界上面力的主矢和主矩，如圖所示【3-6】試考察應(yīng)力函數(shù)，能滿足相容方程，并求出應(yīng)力分量（不計體力），畫出圖3-9所示矩形體邊界上的面力分布（在小邊界上畫出面力的主矢量和主矩），指出該應(yīng)力函數(shù)能解決的問題?！窘獯稹浚?）將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程（2-25），顯然滿足（2）將代入式（2-24），得應(yīng)力分量表達式（3）由邊界形狀及應(yīng)力分量反推邊界上的面力：在主要邊界上（上下邊界）上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件式（2-15），應(yīng)力因此，在主要邊界上，無任何面力，即在x=0，x=l的次要邊界上，面力分別為：因此，各邊界上的面力分布如圖所示：在x=0，x=

30、l的次要邊界上，面力可寫成主矢、主矩形式：x=0上 x=l上 因此，可以畫出主要邊界上的面力，和次要邊界上面力的主矢與主矩，如圖：(a) (b)因此，該應(yīng)力函數(shù)可解決懸臂梁在自由端受集中力F作用的問題?！?-7】試證能滿足相容方程，并考察它在圖3-9所示矩形板和坐標(biāo)系中能解決什么問題（設(shè)矩形板的長度為l，深度為h，體力不計）?！窘獯稹?1)將應(yīng)力函數(shù)代入式（2-25），代入（2-25），可知應(yīng)力函數(shù)滿足相容方程。（2）將代入公式（2-24），求應(yīng)力分量表達式:(3)考察邊界條件，由應(yīng)力分量及邊界形狀反推面力：在主要邊界（上面），應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件（2-15）應(yīng)用圣維南原理，可寫成三個積分的

31、應(yīng)力邊界條件:在次要邊界上，分布面力為應(yīng)用圣維南原理，可寫成三個積分的應(yīng)力邊界條件:綜上，可畫出主要邊界上的面力分布和次要邊界上面力的主矢與主矩，如圖 (a) (b)因此，此應(yīng)力函數(shù)能解決懸臂梁在上邊界受向下均布荷載q的問題?！?-8】設(shè)有矩形截面的長豎柱，密度為，在一邊側(cè)面上受均布剪力q（圖3-10），試求應(yīng)力分量?！窘獯稹坎捎冒肽娣ㄇ蠼狻Ｓ刹牧狭W(xué)解答假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式。(1)假定應(yīng)力分量的函數(shù)形式。根據(jù)材料力學(xué)，彎曲應(yīng)力主要與截面的彎矩有關(guān)，剪應(yīng)力主要與截面的剪力有關(guān)，而擠壓應(yīng)力主要與橫向荷載有關(guān)，本題橫向荷載為零，則(2)推求應(yīng)力函數(shù)的形式將，體力，代入公式（2-24）有對y積分，

32、得 （a） （b）其中都是x的待定函數(shù)。（3）由相容方程求解應(yīng)力函數(shù)。將（b）式代入相容方程（2-25），得 （c）在區(qū)域內(nèi)應(yīng)力函數(shù)必須滿足相容方程，（c）式為y的一次方程，相容方程要求它有無數(shù)多個根（全豎柱內(nèi)的y值都應(yīng)滿足它），可見其系數(shù)與自由項都必須為零，即兩個方程要求 （d）中的常數(shù)項，中的常數(shù)項和一次項已被略去，因為這三項在的表達式中成為y的一次項及常數(shù)項，不影響應(yīng)力分量。將（d）式代入（b）式，得應(yīng)力函數(shù) （e）（4）由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量 （f） (g) (h)(5)考察邊界條件利用邊界條件確定待定系數(shù)A、B、C、D、E。主要邊界上（左）：將（f），（h）代入，自然滿足 （i）主要邊

33、界上，自然滿足，將（h）式代入，得 （j）在次要邊界上，應(yīng)用圣維南原理，寫出三個積分的應(yīng)力邊界條件： （k） （l） （m）由式（i），(j)，（k），（l），（m）聯(lián)立求得代入公式（g），(h)得應(yīng)力分量【3-9】圖3-11所示的墻，高度為h，寬度為b，在兩側(cè)面上受到均布剪力q的作用，試應(yīng)用應(yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力分量?！窘獯稹堪窗肽娼夥ㄇ蠼?。將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程（2-25）顯然滿足。由公式（2-24）求應(yīng)力分量表達式，體力為零，有，考察邊界條件：在主要邊界上，精確滿足公式（2-15）第一式自然滿足，第二式為 (a)在主要邊界x=b/2上，精確滿足式(2-15)第一式自然滿足，第二式為 (b)在次

34、要邊界y=0上，可用圣維南原理，寫出三個積分的應(yīng)力邊界條件: 滿足 滿足 （c）聯(lián)立（a）（c）得系數(shù)代入應(yīng)力分量表達式，得【3-10】設(shè)單位厚度的懸臂梁在左端受到集中力和力矩作用，體力可以不計，（圖3-12），試用應(yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力分量?！窘獯稹坎捎冒肽娼夥ㄇ蠼猓?）將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程（2-25），顯然滿足（2）由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量，代入公式(2-24) (a)(3)考察邊界條件主要邊界上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件， 滿足 得 （b）在次要邊界x=0上，應(yīng)用圣維南原理，寫出三個積分的應(yīng)力邊界條件 （c）聯(lián)立方程（b）（c）得最后一個次要邊界上，在平衡微分方程和上述邊界條件均已滿足的條件下是必

35、然滿足的，故不必在校核。將系數(shù)A、B、C、D代入公式（a），得應(yīng)力分量【3-11】設(shè)圖3-13中的三角形懸臂梁只受重力作用，而梁的密度為，試用純?nèi)问降膽?yīng)力函數(shù)求解。【解答】采用半逆解法求解(1) 檢驗應(yīng)力函數(shù)是否滿足相容方程（2-25）設(shè)應(yīng)力函數(shù)，不論上式中的系數(shù)如何取值，純?nèi)问降膽?yīng)力函數(shù)總能滿足相容方程（2-25）(2) 由式（2-24）求應(yīng)力分量由體力分量，將應(yīng)力函數(shù)代入公式（2-24）得應(yīng)力分量： （a） （b） （c）（3）考察邊界條件：由應(yīng)力邊界條件確定待定系數(shù)。對于主要邊界，其應(yīng)力邊界條件為：， （d）將式（d）代入式（b），（c），可得 （e）對于主要邊界（斜面上），應(yīng)力邊界

36、條件：在斜面上沒有面力作用，即，該斜面外法線方向余弦為，.由公式（2-15），得應(yīng)力邊界條件 （f）將式（a）、（b）、（c）、（e）代入式（f），可解得 （g）將式（e）、（g）代入公式（a）、（b）、（c），得應(yīng)力分量表達式：【分析】本題題目已經(jīng)給定應(yīng)力函數(shù)的函數(shù)形式，事實上，也可通過量綱分析法確定應(yīng)力函數(shù)的形式。按量綱分析法確定應(yīng)力函數(shù)的形式：三角形懸臂梁內(nèi)任何一點的應(yīng)力與有關(guān)。由于應(yīng)力分量的量綱是，而的量綱是，的量綱是，又是量綱的數(shù)量，因此，應(yīng)力分量的表達式只可能是的純一項式，即應(yīng)力分量的表達式只可能是這兩種項的結(jié)合，其中A，B是量綱一的量，只與有關(guān)。應(yīng)力函數(shù)又比應(yīng)力分量的長度量綱高二

37、次，即為和的純?nèi)问?，故可假設(shè)應(yīng)力函數(shù)的形式為?！?-12】設(shè)圖3-5中簡支梁只受重力作用，而梁的密度為，試用§3-4中的應(yīng)力函數(shù)（e）求解應(yīng)力分量，并畫出截面上的應(yīng)力分布圖?！痉治觥颗c§3-4節(jié)例題相比，本題多了體力分量。去除了上邊界的面力。依據(jù)§3-4，應(yīng)力分量的函數(shù)形式是由材料力學(xué)解答假設(shè)的?！窘獯稹堪窗肽娼夥ㄇ蠼?。（1）由§3-4可知應(yīng)力函數(shù)的函數(shù)形式為 ，由§3-4可知，必然滿足相容方程（2-25）。（2）應(yīng)力分量的表達式： （a） （b） （c） 【注】項多了-這些應(yīng)力分量是滿足平衡微分方程和相容方程的。因此，如果能夠適當(dāng)選擇常數(shù)，

38、使所有的邊界條件都被滿足，則應(yīng)力分量式（a）、（b）、（c）就是正確的解答。（3）考慮對稱性因為面是梁和荷載的對稱面，所以應(yīng)力分布應(yīng)當(dāng)對稱于面。這樣是的偶函數(shù)，而是的奇函數(shù)，于是由式（a）和式（c）可見 （d）（4）考察邊界條件：在主要邊界上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件（2-15），將應(yīng)力分量式（b）、（c）代入，并注意到，可得：聯(lián)立此四個方程，得： （e）將式（d）、（e）代入式（a）、（b）、（c） （f） （g） （h）考察次要邊界條件由于問題的對稱性，只需考慮其中的一邊，如右邊。右邊界上，不論取任何值，都有。由（f）式可見，這是不可能的，除非均為零。因此，只能用應(yīng)力的主矢、主矩為零，即 （

39、i） （j）將（f）式代入式（i）得積分后得 K=0 （k）將式（f）代入式（i），得積分后得 （l）將（k）、（l）代入式（f），得 （m）考察右邊界上切應(yīng)力分量的邊界條件：右邊界上，則的主矢為可知滿足應(yīng)力邊界條件。將式（g），（h），（m）略加整理，得應(yīng)力分量的最后解答： (n)（5）應(yīng)力分量及應(yīng)力分布圖梁截面的寬度取為1個單位，則慣性矩，靜矩是。根據(jù)材料力學(xué)截面法可求得截面的內(nèi)力，可知梁橫截面上的彎矩方程和剪力方程分別為則式（n）可寫成： 【分析】比較彈性力學(xué)解答與材料力學(xué)解答，可知，只有切應(yīng)力完全相同，正應(yīng)力中的第一項與材料力學(xué)結(jié)果相同，第二項為彈性力學(xué)提出的修正項；表示縱向纖維間的擠壓應(yīng)力，而材料力學(xué)假設(shè)為零。對于l>>h的淺梁，修正項很小，可忽略不計?！?-13】圖3-14所示的懸臂梁，長度為，高度為，在上邊界受均布荷載，試檢驗應(yīng)力函數(shù)能否成為此問題的解