空間幾何體記憶

1、a龍汝學姣<3 TFiirTTn'藺單 J幾何悴園住L愫住廚惟-概錐三按魏四換辛侄筒甲幾何悻®1臺三股臺四4五籍臺加專慘臺面悴穩(wěn)柱棱臺園柱園臺龍文教育一您值得信賴的專業(yè)化、個性化輔導學?？臻g幾何體小結1、基礎知識（一）空間幾何體的結構結構特征結構特征圖例棱 柱（1）兩底面相互平行， 其余各面都是四邊形；（2）并且每相鄰兩個四 邊形的公共邊都互相平 行曲曲恥闕圓 柱（1 ）是以矩形的一邊所在直 線為旋轉軸，其余三邊旋轉形 成的曲面所圍成的幾何體，圓 柱 00f.制麗-，A 1ZJi 1 熾一針1-_L#廠一福直棱 錐（1）底面是多邊形，各 側面均是三角形；（2）各 側面有

2、一個公共頂點.S-ABCD圓 錐（1）底面是圓；（2）是以直 角三角形的一條直角邊所在 的直線為旋轉軸，其余兩邊旋 轉形成的曲面所圍成的幾何 體.圓錐so棱 臺（1）兩底面相互平行；（2）是用一個平行于棱 錐底面的平面去截棱錐， 底面和截面之間的部分 .棱臺 ABCD-C圓臺（1）兩底面相互平行；（2 ）是用一個平行于圓錐底 面的平面去截圓錐，底面和截 面之間的部分.圓臺cr球（1）球心到球面上各點的距離相等；（2）是以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的幾何體.球O.1知識拓展1.特殊的棱柱：側棱不垂直于底面的棱柱稱為斜棱柱；側棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱；底面是正多邊形的直棱柱

3、是正棱柱；底面是平行四邊形的四棱柱叫做平行六面體；處龍文學姣龍文教育一您值得信賴的專業(yè)化、個性化輔導學校側棱垂直于底面的平行六面體叫做直平行六面體;底面是矩形的直平行六面體叫做長方體；棱長都相等的長方體叫做正方體，其中長方體對角線的平方等于同一頂點上 三條棱的平方和2特殊的棱錐：如果棱錐的底面為正多邊形，且各側面是全等的等腰三角形，那么這樣的棱 錐稱為正棱錐，正棱錐各側面底邊上的高均相等，叫做正棱錐的斜高； 側棱長等于底面邊長的正三棱錐又稱為正四面體3. 特殊的棱臺：由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺，正棱臺的側面是全等的等腰梯形，正棱臺各側面等腰梯形的高稱為正棱臺的斜高4. 球心與球的截面圓心的連

4、線垂直于截面5. 規(guī)定：在多面體中，不在同一面上的兩個頂點的連線叫做多面體的對角線，不在同一面上的兩條側棱稱為多面體的不相鄰側棱，側棱和底面多邊形的邊統稱為棱（二）空間幾何體的三視圖和直觀圖中心投影口觀圖一斜一測価法1、中心投影與平行投影中心投影：把光由一點向外散射形成的投影。其投影的大小隨物體與投影中心間距離的變化而變化，所以其投影不能反映物體的實形.平行投影：把在一束平行光線照射下形成的投影，叫做平行投影。平行投影的投影線是平行的。在平行投影中，投影線正對著投影面時，叫做正投影，否則叫做斜投影。討 論：點、線、三角形在平行投影后的結果.r->V止輕屈2、空間幾何體的三視圖正視圖：是光

5、線從幾何體的側視圖：是光線從幾何體的 前面向后面正投影得到的投影圖。 左面向右面正投影得到的投影圖。俯視圖：是光線從幾何體的上面向下面正投影得到的投影圖。3、空間幾何體的直觀圖直觀圖”最常用的畫法是斜二測畫法，由其規(guī)則能畫出水平放置的直觀圖，其實質就是在坐標系中確定點的位置的畫法-岡柱的側面積：S = 2戚J-IS錐的側面積：、胡曲用L-圓臺的側面積* S = （rl + r/球的表面積；S -切脅一柱體的體積：V = tVA和館一錐體的體積：J滴 體積一丄3一臺體的體積后?+ 5“ 匚球的體積：心叔3龍文教育一您值得信賴的專業(yè)化、個性化輔導學校.基本步驟如下：（1） 建系：在已知圖形中取互相

6、垂直的x軸和y軸，得到直角坐標系 xoy，直觀圖中 畫成斜坐標系x'o'y'，兩軸夾角為45.（2） 平行不變：已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x'或y'軸的線段.（3） 長度規(guī)則：已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持長度不變；平行于 y軸的線段，長度為原來的一半（三）空間幾何體的表面積和體積四：典型例題考點一：簡單幾何體結構的理解與應用1、下面幾何體的軸截面一定是圓的是（C ）A .圓柱B .圓錐C.球D 圓臺2、下列說法正確的是（D ）A 有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B 有兩個面平行，其余各面都是平行

7、四邊形的幾何體叫棱柱C .有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐D .棱臺各側棱的延長線交于一點3、以等腰直角梯形的直角腰所在的直線為軸，其余三邊旋轉形成的面所圍成的旋 轉體是圓臺04、若三棱錐的底面為正三角形，側面為等腰三角形，側棱長為2,底面周長為9，求棱錐的高。解:底面正三角形中，邊長為3,高為3 sin 60 =3-3，中心到頂點距離為 3-3 = 3 ,223則棱錐的高為 22 -（、3）2 =1。5、用一個平行于圓錐底面的平面截這個圓錐，截得圓臺上、下底面的面積之比為 截去的圓錐的母線長是 3cm，求圓臺的母線長。解：設圓臺的母線為I，截得圓臺的上、下底面半徑分別為r

8、, 4r 根據相似三角形的性質得，3-,解得I =9.3+1 4r所以，圓臺的母線長為 9cm.點評：用平行于底面的平面去截柱、錐、臺等幾何體，注意抓住截面的性質（與底面全 等或相似），同時結合旋轉體中的軸截面（經過旋轉軸的截面）的幾何性質，利用相似三角 形中的相似比，構設相關幾何變量的方程組而解得。6、如圖，四邊形 ABCD繞邊AD所在直線EF旋轉，其中AD / BC，AD丄CD，當點A選龍文教育一您值得信賴的專業(yè)化、個性化輔導學校在射線DE上的不同位置時，形成的幾何體大小、形狀不同，比較其異同點答案：當AD > BC時，四邊形ABCD繞EF旋轉一周所得幾何體為底面半徑為CD的圓柱和圓

9、錐拼成；當AD=BC時，四邊形ABCD繞EF旋轉一周所得幾何體為圓柱；當Ov AD v BC時，四邊形ABCD繞EF旋轉一周所得幾何體為圓柱中挖去一個同底的圓錐;當AD=O時，四邊形ABCD繞EF旋轉一周所得幾何體為圓柱中挖去一個同底等高的圓錐5、連接正方體的相鄰各面的中心（所謂中心是指各面所在正方形的兩條對角線的交點），所得的一個幾何體是幾面體？并畫圖表示該幾何體活動：先畫出正方體，然后取各個面的中心，并依次連成線觀察即可連接相應點后，得出圖形如圖（1），再作出判斷 （2）解：如圖 ，正方體 ABCD AQiDi,O2、O3、O4、O5、。6分別是各表面的中心由點Oi、O2、O3、O4、O5

10、、O6組成了一個八面體，而且該八面體共有 6個頂點，12條棱. 該多面體的圖形如圖（2）所示.點評：本題中的八面體，事實上是正八面體 一一八個面都是全等的正三角形， 并且以每個頂 點為其一端，都有相同數目的棱由圖還可見，該八面體可看成是由兩個全等的四棱錐經重合底面后而得到的，而且中間一個四邊形O2O3O4O5還是正方形，當然其他的如O1O2O6O4等也是正方形為了增強立體效果，正方體應畫得正”些，而八面體的放置應稍許傾斜”些，并且 后面的”線，即被前面平面所遮住的線，如圖中的O1o5、O6O5、O5O2、O5O4應畫成虛線 考點二：簡單幾何體的三視圖及其應用）C.兩條平行直線D.兩條相交直線或

11、一條直線1、兩條相交直線的平行投影是（A.兩條相交直線 B. 條直線Pi18所示，在長方體 ABCA1B1CD中，一束平行光線 相交直沖分析：借助于長方體模型來判斷，如圖從正上方向下照射則相交直線 CD和DC在面ABCD上的平行投影是同一條直線CDG是正乙中的線CD和BD在面ABCD上的平行投影是兩條相交直線CD和BB 答案：D2、如圖甲所示，在正方體 ABCD A1B1C1D1中，E、F分別是AA" C1D1的中點， 方形BCC1B1的中心，則四邊形 AGFE在該正方體的各個面上的投影可能是圖12a捱文學較<37FihirT7ri龍文教育一您值得信賴的專業(yè)化、個性化輔導學校a

12、 a甲活動：要畫出四邊形 AGFE在該正方體的各個面上的投影，只需畫出四個頂點A、G、F、E在每個面上的投影，再順次連接即得到在該面上的投影，并且在兩個平行平面上的投影是相 同的。分析：在面ABCD和面AiBiCiDi上的投影是圖12乙（1）；在面ADD 1A1和面BCCiBi上的 投影是圖12乙（2）；在面ABB 1A1和面DCCiDi上的投影是圖12乙（3）.答案：（1）（ 2）（ 3）點評：本題主要考查平行投影和空間想象能力畫出一個圖形在一個平面上的投影的關鍵是確定該圖形的關鍵點， 如頂點等，畫出這些關鍵點的投影， 再依次連接即可得此圖形在該平 面上的投影如果對平行投影理解不充分，做該類

13、題目容易出現不知所措的情形，避免出現 這種情況的方法是依據平行投影的含義，借助于空間想象來完成D.俯視圖3、下列各項不屬于三視圖的是（）A.正視圖B.側視圖C.后視圖分析：根據三視圖的規(guī)定，后視圖不屬于三視圖答案：C4、如果一個空間幾何體的正視圖與側視圖均為全等的等邊三角形，俯視圖為一個圓及其圓 心，那么這個幾何體為（）A.棱錐B.棱柱C.圓錐D.圓柱分析：由于俯視圖是一個圓及其圓心，則該幾何體是旋轉體，又因正視圖與側視圖均為全等的等邊三角形，則該幾何體是圓錐答案：C5、某幾何體的三視圖如圖所示，那么這個幾何體是（）側視圖A.三棱錐B.四棱錐C.四棱臺分析：由所給三視圖可以判定對應的幾何體是四

14、棱錐答案：BD.三棱臺6、如圖所示，甲、乙、丙是三個立體圖形的三視圖,甲、乙、丙對應的標號正確的是 （龍文教育一您值得信賴的專業(yè)化、個性化輔導學校D正覘圖側觀圖o俯視圖甲長方體 圓錐 三棱錐圓柱正視圏側視圏正視幅傭視圖O 箭視圖刪圖乙丙A.B.C.D.分析：由于甲的俯視圖是圓，則該幾何體是旋轉體，又因正視圖和側視圖均是矩形，則甲是 圓柱；由于乙的俯視圖是三角形，則該幾何體是多面體，又因正視圖和側視圖均是三角形，則該多面體的各個面都是三角形，則乙是三棱錐；由于丙的俯視圖是圓， 則該幾何體是旋轉體，又因正視圖和側視圖均是三角形，則丙是圓錐答案：A點評：本題主要考查三視圖和簡單幾何體的結構特征根據三

15、視圖想象空間幾何體，是培養(yǎng)空間想象能力的重要方式，這需要根據幾何體的正視圖、側視圖、俯視圖的幾何特征， 想象整個幾何體的幾何特征，從而判斷三視圖所描述的幾何體通常是先根據俯視圖判斷是多面體還是旋轉體，再結合正視圖和側視圖確定具體的幾何結構特征，最終確定是簡單幾何體還是簡單組合體。7、.圖是一幾何體的三視圖，想象該幾何體的幾何結構特征，畫出該幾何體的形狀分析：由于俯視圖有一個圓和一個四邊形，則該幾何體是由旋轉體和多面體拼接成的組合體,結合側視圖和正視圖，可知該幾何體是上面一個圓柱，下面是一個四棱柱拼接成的組合體 答案：上面一個圓柱，下面是一個四棱柱拼接成的組合體該幾何體的形狀如圖所示.8、.畫出

16、如圖所示的正四棱錐的三視圖.八分析：正四棱錐的正視圖與側視圖均為等腰三角形，俯視圖為正方形，對角線體現正四棱錐龍汝學姣Uiti 11龍文教育一您值得信賴的專業(yè)化、個性化輔導學校的四條側棱答案：正四棱錐的三視圖如圖9、下列圖形表示水平放置圖形的直觀圖，畫出它們原來的圖形解：依據斜二測畫法規(guī)則，逆向進行，如圖所示10、（ 1）畫水平放置的一個直角三角形的直觀圖；r（2）畫棱長為4cm的正方體的直觀圖。解：（1）畫法：如圖，按如下步驟完成 一第一步，在已知的直角三角形 ABC中取直角邊CB所在的直線為x軸，與BC垂直的直線為y軸，畫出對應的x軸和y軸，使MxOy:=45.1 第二步，在x軸上取OC=

17、BC，過C'作y'軸的平行線，取C'A'JcA.2第三步，連接 A'O'，即得到該直角三角形的直觀圖 （2）畫法：如圖，按如下步驟完成第一步，作水平放置的正方形的直觀圖ABCD，使/BAD =4 5AB = 4cmAD2 c m第二步，過 A作z'軸，使BAr 90.分別過點B,C,D作z 軸的平行線，在z軸及這組平行線上分別截取AA =BB ' JCC ' JDD 'Tcm.第三步，連接A B；BC；CD ,D A，所得圖形就是正方體的直觀圖點評：直觀圖的斜二測畫法的關鍵之處在于將圖中的關鍵點轉化為坐標系中的水平

18、方向 與垂直方向的坐標長度，然后運用"水平長不變，垂直長減半”的方法確定出點，最后連線 即得直觀圖注意被遮擋的部分畫成虛線 .。11、如右圖所示，梯形 ABGD是一平面圖形 ABCD的直觀圖。若ADJ/Op，2A1B1 /C1D1，A1B1C1D1 =2， A1D1 =OD =1.。請畫出原來的平面幾何圖形3的形狀，并求原圖形的面積 解：如圖，建立直角坐標系 xOy，在x軸上截取OD =0' =1 ； OC =0'G 在過點D的y軸的平行線上截取 DA =20。=2.在過點A的x軸的平行線上截取 AB = ABt =2 .連接BC ,即得到了原圖形由作法可知，原四邊形

19、ABCD是直角梯形，上、AB =2, CD =3，直角腰長度為 AD =2，龍文教育一您值得信賴的專業(yè)化、個性化輔導學校所以面積為S2 =5.2點評：給出直觀圖來研究原圖形， 逆向運用斜二測畫法規(guī)則，更要求我們具有逆向思維的能力.畫法關鍵之處同樣是關鍵點的確定，逆向的規(guī)則為“水平長不變，垂直長增倍” 注意平行于y '軸的為垂直.考點三：會計算簡單幾何體的表面積與體積1、如果一個水平放置的圖形的斜二測直觀圖是一個底面為4 5 腰梯形，那么原平面圖形的面積是（ AA. 2B. 1 2腰和上底均為1的等C.2.22D.1.22、半徑為R的半圓卷成一個圓錐，則它的體積為（A. 3C.D.3、正

20、方體的內切球和外接球的半徑之比為A. .3:1B. .3:2C.)_2 >3D. .3:34、長方體的一個頂點上三條棱長分別是 個球的表面積是（B ）A、25二B、50"：3、且它的8個頂點都在同一球面上，則這C、125'：D、都不對5、已知圓臺的上下底面半徑分別是 長.解：設圓臺的母線長為圓臺的上底面面積為5,且側面面積等于兩底面面積之和，求該圓臺的母線所以圓臺的底面面積為，則2 2S± = : 2 =4-圓臺的下底面面積為S = : 5 = 25S = S上ST = 29二又圓臺的側面積 Sw - - (2 5)1 = 7二I29是1 l = 25二9分即

21、| 為所求76、直三棱柱ABC-A 1B1C1中，各側棱和底面的邊長均為A1B,BD, A 1D,AD,則三棱錐 A- A 1BD的體積為（B ）1343 343 3A.B.C.6 12 a 6 aa,點D是CCi上任意一點，連接7、一塊邊長為10 cm的正方形鐵片按如圖所示的陰影部分裁下 腰三角形加工成一個正四棱錐形容器的定義域.。，然后用余下的四個全等的等，試建立容器的容積 V與x的函數關系式，并求出函數10C龍汝學姣TTuirrTFi'龍文教育一您值得信賴的專業(yè)化、個性化輔導學校1解:如圖，設所截等腰三角形的底邊邊長為xcm .在RL EOF中, EF = 5cm,0F = xc

22、m , 3分所以EO=,25-：x2, 6分于是V=1xl.25-；x2 10分依題意函數的定義域為x 10 ： x ： 108、已知兩個幾何體的三視圖如下，試求它們的表面積和體積。單位：CM正視圖側Kffi正視匡俯規(guī)圖(1 )圖(1 )中的幾何體可看成是一個底面為直角梯形的直棱柱。直角梯形的上底為1,下底為2,高為1;棱柱的高為1?？汕蟮弥苯翘菪蔚乃臈l邊的長度為1 , 1, 2，-. 2。所以此幾何體的體積S表面=2S底S側面V - S弟形訕=2（12）1 1 - § （cm 3）3)= !(r2p<v：2 +(1 +1 + 2+72)漢 12=7 + J2(cm 2)4。(

23、2) 由圖可知此正三棱柱的高為2,底面正三角形的高為 2. 3，可求得底面邊長為S表面=2S底 S側面所以 V 二4 2、3 2=8、3(CM3)= 2 2 4 233 4 2二8 ,324(CM 2)9、養(yǎng)路處建造圓錐形倉庫用于貯藏食鹽(供融化高速公路上的積雪之用)，已建的倉庫的底面直徑為12M，高4M。養(yǎng)路處擬建一個更大的圓錐形倉庫，以存放更多食鹽?，F有兩種方 案：一是新建的倉庫的底面直徑比原來大4M (高不變)；二是高度增加4M(底面直徑不變)。分別計算按這兩種方案所建的倉庫的體積；分別計算按這兩種方案所建的倉庫的表面積； 哪個方案更經濟些？解：(1)如果按方案一，倉庫的底面直徑變成16

24、M,則倉庫的體積V廣1一 I164=蕊二（M3）3323如果按方案二，倉庫的高變成8M，則倉庫的體積龍文教育一您值得信賴的專業(yè)化、個性化輔導學校1c1<12 f o 288 z 3、S h8（M ）V 23323（2）如果按方案一，倉庫的底面直徑變成16M,半徑為8M.,棱錐的母線長為I 二,8 42 =4、5則倉庫的表面積 SihQ"8 4. 32, 5 （M 2）如果按方案二，倉庫的高變成8M.棱錐的母線長為| h；.；82 62 =10則倉庫的表面積2S2 -二 6 10 =60二（M ）（3vv1，s2Ys方案二比方案一更加經濟 能力提升想一想：正方體的截面可能是什么形

25、狀的圖形？活動：靜止是相對的，運動是絕對的，點動成線，線動成面.用運動的觀點看幾何問題的形成，容易建立空間想象力，這樣對于分割和組合圖形是有好處的明確棱柱、棱錐、棱臺等多面體的定義及圓柱、圓錐、圓臺的生成過程，以及柱、錐、臺的相互關系，對于我們正確的割補圖形也是有好處的對于正方體的分割，可通過實物模型，實際切割實驗，還可借助于多媒體手段進行切割實驗 對于切割所得的平面圖形可根據它的定義進行證明，從而判斷出各個截面的形狀探究：本題考查立體幾何的空間想象能力，通過嘗試、歸納，可以有如下各種肯定或否定性的答案：（1）截面可以是三角形：等邊三角形、等腰三角形、一般三角形（2）截面三角形是銳角三角形，截

26、面三角形不能是直角三角形、鈍角三角形（3）截面可以是四邊形：平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形；截面為四邊形時，這個四邊形至少有一組對邊平行.（4）截面不能是直角梯形.（5 ）截面可以是五邊形：截面五邊形必須有兩組分別平行的邊，同時有兩個角相等；截面 五邊形不可能是正五邊形 .（6）截面可以是六邊形：截面六邊形必須有分別平行的邊，同時有兩個角相等（7） 截面六邊形可以是等角（均為120° ）的六邊形，即正六邊形 . 截面圖形如圖12中各圖所示：(2)(3)(4)(5)五：課后練習1一個棱柱是正四棱柱的條件是（）.B.底面是正方形，有兩個側面垂直于底面D.每個側面都是全等矩

27、形的四棱柱A. 底面是正方形，有兩個側面是矩形C.底面是菱形，且有一個頂點處的三條棱兩兩垂直2.下列說法中正確的是（）.A. 以直角三角形的一邊為軸旋轉所得的旋轉體是圓錐B. 以直角梯形的一腰為軸旋轉所得的旋轉體是圓臺C. 圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓龍汝學絞Uiti 11龍文教育一您值得信賴的專業(yè)化、個性化輔導學校D. 圓錐側面展開圖為扇形，這個扇形所在圓的半徑等于圓錐的底面圓的半徑3. 下列說法錯誤的是（）.A. 若棱柱的底面邊長相等，則它的各個側面的面積相等B. 九棱柱有9條側棱，9個側面，側面為平行四邊形C. 六角螺帽、三棱鏡都是棱柱D. 三棱柱的側面為三角形4、在四棱錐的四個側面中，

28、直角三角形最多可有（）.A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個解：在長方體ABCD A'B'C'D'中，取四棱錐A' ABCD，它的四個側面都是直角三角形 .選D.5、下列說法正確的是（）.A. 相等的線段在直觀圖中仍然相等B. 若兩條線段平行，則在直觀圖中對應的兩條線段仍然平行C. 兩個全等三角形的直觀圖一定也全等D. 兩個圖形的直觀圖是全等的三角形，則這兩個圖形一定是全等三角形6、如圖所示，E、F分別為正方體面 ADD A 面BCC B的中心，則四邊形 BFD'E在該正方體的各個面上的投影可能是圖13(2)的分析:四邊形BFD E在正方體ABCD A B'在面DCC D'上的投影是 B;同理，在面 ABB A'、面ABCD、面A B' C'上的投影也全是B.答案：B C7、D.A、B、C.A.B.C.分析：正方