第一章 時(shí)域離散信號(hào)與系統(tǒng)

1、第一章第一章 時(shí)域離散信號(hào)與系統(tǒng)時(shí)域離散信號(hào)與系統(tǒng)Discrete-Time Signals and Systems in the Time-Domain 1.1 引言 1.2 模擬信號(hào)、時(shí)域離散信號(hào)和數(shù)字信號(hào) 1.3 時(shí)域離散系統(tǒng) 1.4 時(shí)域離散系統(tǒng)的輸入輸出描述法線性常系數(shù)差分方程1.1 1.1 引引 言言信號(hào)信號(hào)：模擬信號(hào)、時(shí)域離散信號(hào)、數(shù)字信號(hào)數(shù)字信號(hào)處理數(shù)字信號(hào)處理：用數(shù)值計(jì)算的方法對(duì)數(shù)字信號(hào)進(jìn)行處理信號(hào)處理系統(tǒng)信號(hào)處理系統(tǒng)：模擬系統(tǒng)、時(shí)域離散系統(tǒng)、數(shù)字系統(tǒng)（處理對(duì)象分別對(duì)應(yīng)上面的三種信號(hào)）以及數(shù)字和模擬的混合系統(tǒng)。實(shí)際使用的系統(tǒng)是模擬系統(tǒng)、數(shù)字系統(tǒng)和數(shù)?；旌舷到y(tǒng)。返回返回1.2

2、1.2 模擬信號(hào)、時(shí)域離散信號(hào)和數(shù)字信號(hào)模擬信號(hào)、時(shí)域離散信號(hào)和數(shù)字信號(hào)返回返回p 1.2.1 時(shí)域離散信號(hào)和數(shù)字信號(hào)p 1.2.2 時(shí)域離散信號(hào)的表示方法p 1.2.3 常用的時(shí)域離散信號(hào)1.2.1 1.2.1 時(shí)域離散信號(hào)和數(shù)字信號(hào)時(shí)域離散信號(hào)和數(shù)字信號(hào)時(shí)域離散信號(hào) 數(shù)字信號(hào)隨著二進(jìn)制編碼的位數(shù)的增加，時(shí)域離散信號(hào)和數(shù)字信號(hào)的數(shù)值差別越來越小。在計(jì)算機(jī)上，精度很高，可達(dá)32或者64位，差別可忽略不計(jì)，但是在用硬件實(shí)現(xiàn)的時(shí)候，由于二進(jìn)制編碼位數(shù)直接影響到設(shè)備的復(fù)雜性和成本，所以位數(shù)不是很高，如8位通用單片機(jī)，這樣的誤差是要考慮的。對(duì)幅度進(jìn)行有限位的二進(jìn)制編碼、量化返回返回回到本節(jié)回到本節(jié)1.

3、2.2 1.2.2 時(shí)域離散信號(hào)的表示方法時(shí)域離散信號(hào)的表示方法時(shí)域離散信號(hào)（序列）的來源時(shí)域離散信號(hào)（序列）的來源對(duì)模擬信號(hào)采樣：通過實(shí)驗(yàn)測(cè)試得到：不同時(shí)刻的血壓測(cè)量值時(shí)域離散信號(hào)的表示方法時(shí)域離散信號(hào)的表示方法用集合符號(hào)表示序列例如：x(n)=,0,0.636,0.000,0.57,0.78,式中，n=,-1,0,1,2, 用公式表示序列 例如： 0a1,-nnanx)(帶下劃線的元素表示n=0點(diǎn)的序列值nnTxtxnxanTta)()()(返回返回回到本節(jié)回到本節(jié)用圖形表示序列例如：時(shí)域離散信號(hào) ，它的圖形表示如下圖所示。這是一種很直觀的表示方法。( )( 1)nx n 為了醒目，常常在

4、每一條豎線的頂端加一個(gè)小黑點(diǎn)返回返回回到本節(jié)回到本節(jié)舉例：模擬信號(hào) 時(shí)域離散信號(hào) 數(shù)字信號(hào)，例1.1：已知模擬信號(hào)是一個(gè)正弦波即 ,試將它轉(zhuǎn)換成時(shí)域離散信號(hào)和數(shù)字信號(hào)。解： 等間隔采樣，將得到的t=nT, 代入到 中 去， 得到：ttxa50sin9 .0)(ttxa50sin9 . 0)(ttxa50sin9 .0)(等間隔采樣，采樣頻率必須是模擬信號(hào)最高頻率的2倍 以上模擬信號(hào)頻率為25Hz周期為0.04s采樣頻率Fs=200Hz采樣間隔T=1/Fs=0.005s返回返回回到本節(jié)回到本節(jié) 式中n=,0,1,2,3,將n代入到式子中去，得到：x(n)=,0,0.9sin50T,0.9sin1

5、00T,0.9sin150T, 這里的n就是第n個(gè)采樣點(diǎn)，只能取整數(shù)。 按照上式算出來的序列值一般有無限位小數(shù)，如果我們采用四位二進(jìn)制數(shù)表示x(n)的幅度，第一位為符號(hào)位，且信號(hào)用xn表示，那么有xn=,0.000,0.101,0.111,0.101,0.000,0.101,0,111,0.101nTtxnxnTta50sin9 . 0)()(時(shí)域離散信號(hào)時(shí)域離散信號(hào)數(shù)字信號(hào)數(shù)字信號(hào)返回返回回到本節(jié)回到本節(jié)1.2.3 1.2.3 常用的時(shí)域離散信號(hào)常用的時(shí)域離散信號(hào)單位脈沖序列單位脈沖序列 單位脈沖序列也稱為單位采樣序列。特點(diǎn)是僅在n=0處取值為1，其他均為零。 10( )00nnn返回返回回

6、到本節(jié)回到本節(jié)單位階躍序列單位階躍序列 單位階躍序列的特點(diǎn)是只有在n0時(shí)，它才取非零值1，當(dāng)n0時(shí)，均取零值。 u(n)可以用單位脈沖序列表示為 1 0( )00nu nn( )()nmu nnm返回返回回到本節(jié)回到本節(jié)矩形序列矩形序列下標(biāo)N稱為矩形序列的長(zhǎng)度 1 01( )0 NnNRn其他返回返回回到本節(jié)回到本節(jié)實(shí)指數(shù)序列實(shí)指數(shù)序列 式中，a取實(shí)數(shù)，u(n)起著使x(n)在n0時(shí)幅度值為零的作用。l如果0a1， x(n)的值則隨著n的加大而加大。n一般把絕對(duì)值隨著n的加大而減小的序列稱為收斂序列n而把絕對(duì)值隨著n的加大而加大的序列稱為發(fā)散序列。 ( )( )nx na u n返回返回回到本

7、節(jié)回到本節(jié)正弦序列正弦序列復(fù)指數(shù)序列復(fù)指數(shù)序列用歐拉公式將上式展開，得到 ( )sin()x nAnj( )enx n( )cosjsinx nnn返回返回回到本節(jié)回到本節(jié)周期序列周期序列規(guī)定周期序列的周期為滿足上式的最小的正整數(shù)N。如果如果n n一定，一定，作為變量時(shí)，它是以作為變量時(shí)，它是以2 2 為周期的函數(shù)。但為周期的函數(shù)。但當(dāng)當(dāng)一定，一定，n n作為變量時(shí)，正弦序列卻不一定是周期序列！作為變量時(shí)，正弦序列卻不一定是周期序列！如果是周期序列，則要求正弦序列的頻率滿足一定條件： 是一個(gè)正整數(shù) ( )() x nx nNn 2M返回返回回到本節(jié)回到本節(jié)例1.2： ，分析其周期性。解: :

8、該序列的頻率 = 1/4，周期 ，這 是一個(gè)無理數(shù)，M 取任何整數(shù)，都不會(huì)使 變成整數(shù)，因此這是一個(gè)非周期序列。 1( )sin4x nn28 2 M 返回返回回到本節(jié)回到本節(jié)1.3 1.3 時(shí)域離散系統(tǒng)時(shí)域離散系統(tǒng)返回返回p 1.3.1 線性時(shí)不變時(shí)域離散系統(tǒng)p 1.3.2 線性時(shí)不變系統(tǒng)輸出和輸入之間的關(guān)系p 1.3.3 系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性1.3.1 1.3.1 線性時(shí)不變時(shí)域離散系統(tǒng)線性時(shí)不變時(shí)域離散系統(tǒng)線性時(shí)不變時(shí)域離散系統(tǒng)的特點(diǎn)就是系統(tǒng)具有線性性質(zhì)和時(shí)不變性質(zhì)。線性性質(zhì)線性性質(zhì)線性性質(zhì)表現(xiàn)在系統(tǒng)滿足線性疊加原理。即y1(n)=Tx1(n); y2(n)=Tx2(n) Tax1(n)

9、+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n) =ay1（n)+by2(n) 非線性系統(tǒng)不服從線性疊加原理。 返回返回回到本節(jié)回到本節(jié)時(shí)不變特性時(shí)不變特性 如果系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的運(yùn)算關(guān)系T在整個(gè)過程中不隨時(shí)間變化，則稱該系統(tǒng)是時(shí)不變系統(tǒng) 即 如果 Tx(n)=y(n)， Tx(n-n0)=y(n-n0)（ n0為任意整數(shù)） 上式說明時(shí)不變吸系統(tǒng)的輸出隨出入信號(hào)移位而移位，且波形保持不變。 如果運(yùn)算關(guān)系在整個(gè)運(yùn)算過程中隨時(shí)間變化，則時(shí)變系統(tǒng)。返回返回回到本節(jié)回到本節(jié)1.3.2 1.3.2 線性時(shí)不變系統(tǒng)輸出和輸入間關(guān)系線性時(shí)不變系統(tǒng)輸出和輸入間關(guān)系如果令h(n)為系統(tǒng)對(duì)單位脈沖序列的響應(yīng)， h(n

10、h(n)=)=T(nT(n)任一序列都可表示成各延時(shí)單位脈沖序列的加權(quán)和，對(duì)任意輸入的信號(hào)x(n)，有 則系統(tǒng)輸出可以表示為：mmnmxnx)()()(mmnmxTnxTny)()()()(單位脈沖響應(yīng)返回返回回到本節(jié)回到本節(jié)利用系統(tǒng)服從線性疊加的原理：利用系統(tǒng)時(shí)不變性質(zhì)，式中的 ，因此得到：上式的運(yùn)算關(guān)系被稱作卷積運(yùn)算卷積運(yùn)算，式中的*代表兩個(gè)序列的卷積運(yùn)算。mmnTmxny)()()(mnhnxmnhmxny)(*)()()()()()(mnhmnT返回返回回到本節(jié)回到本節(jié)卷積運(yùn)算方法：卷積運(yùn)算方法： 圖解法或者列表法 用MATLAB計(jì)算兩個(gè)有限長(zhǎng)序列的卷積 解析法卷積運(yùn)算的重要性質(zhì)卷積運(yùn)

11、算的重要性質(zhì)任意序列與單位脈沖序列的卷積等于該序列本身如果卷積一個(gè)移位n0的單位脈沖序列，即將該序列移位n0)(*)()(nnxnx)()()(00nnnxnnx返回返回回到本節(jié)回到本節(jié)l卷積運(yùn)算服從交換律、結(jié)合律和分配律：交換律交換律結(jié)合律結(jié)合律分配律分配律)(*)()(*)()(nxnhnhnxny)(*)()(*)()()(*)(2121nhnxnhnxnhnhnx)(*)(*)()(*)(*)(2121nhnhnxnhnhnx返回返回回到本節(jié)回到本節(jié)u卷積運(yùn)算的圖解法（1 1）畫出）畫出x(mx(m) )和和h(mh(m) )的波形；的波形；（2 2）反轉(zhuǎn)平移：）反轉(zhuǎn)平移：x(mx(m

12、) )反轉(zhuǎn)反轉(zhuǎn) x(-mx(-m),),右移右移n n x(nx(n m) m)（3 3）乘積：）乘積： x(mx(m) ) h(nh(n m) m) （4 4）求和：）求和： m m 從從到到 對(duì)應(yīng)乘積項(xiàng)求和。對(duì)應(yīng)乘積項(xiàng)求和。圖解法簡(jiǎn)單明了返回返回回到本節(jié)回到本節(jié)例例：用圖解法求解下面兩個(gè)函數(shù)的卷積和otherwisennx, 050, 1otherwisennnh, 050,038 . 1返回返回回到本節(jié)回到本節(jié)返回返回回到本節(jié)回到本節(jié)返回返回回到本節(jié)回到本節(jié)返回返回回到本節(jié)回到本節(jié)返回返回回到本節(jié)回到本節(jié)返回返回回到本節(jié)回到本節(jié)返回返回回到本節(jié)回到本節(jié)返回返回回到本節(jié)回到本節(jié)返回返回回到

13、本節(jié)回到本節(jié)返回返回回到本節(jié)回到本節(jié)u用Matlab計(jì)算卷積和序列從序列從0 0開始開始xn=2,1,-2; hn=1,2,-1;yn=conv(xn,hn);n=0:length(yn)-1;subplot(1,1,1);stem(n,yn,.);line(0,5,0,0)xlabel(n);ylabel(y(n);grid on;axis(0,5,-6,6)012345-505ny(n)思考：有限長(zhǎng)序列卷積和的長(zhǎng)度？返回返回回到本節(jié)回到本節(jié)h=ones(1,5);nh=-2:2;x=h;nx=nh;nys=nh(1)+nx(1); nyf=nh(end)+nx(end);y=conv(h,

14、x);ny=nys:nyf;stem(ny,y,.);line(-4,4,0,0)xlabel(n);ylabel(y(n);grid on;axis(-4,4,-6,6)序列不從0開始-4-2024-6-4-20246ny(n) 2() 1()() 1() 2()(nnnnnnx)()(nxnh返回返回回到本節(jié)回到本節(jié)u解析法求解卷積和例1.3：已知 , ,試求信號(hào)x(n)，它滿足 ，并畫出x(n)的波形。(選自西安交通大學(xué)2003年攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題)解：這是一個(gè)典型的解線性卷積的題目。 )2(2) 1(3)()(1nnnnx) 3()()(2nununx)()()(21nxn

15、xnx) 4(2) 3(5) 2(6) 1(4)( ) 2(2) 1(3)( )()2(2) 1(3)( )3()()2(2) 1(3)()()()(333321nnnnnnRnRnRnRnnnnununnnnxnxnx返回返回回到本節(jié)回到本節(jié)畫出x(n)的波形如下圖所示：返回返回回到本節(jié)回到本節(jié)例1.4：如下圖(a)所示，系統(tǒng) 和 串聯(lián)，設(shè) 求系統(tǒng)的輸出y(n)。1( )h n2( )h n12( )( ), ( )( )(4), ( )( ), 1nx nu nh nnnh na u na返回返回回到本節(jié)回到本節(jié)解: : 系統(tǒng) 的輸出用m(n)表示，可以先求m(n)，再求y(n)。串聯(lián)系統(tǒng)

16、的等效系統(tǒng)如上圖(b)所示。1( )h n14( )( )( )( ) ( )(4)( )( )( )(4)( )(4)( )m nx nh nu nnnu nnu nnu nu nR n24123( )( )( )( )( )( ) ( )(1)(2)(3)( )(1)(2)(3)nnnnnny nm nh nR na u na u nnnnna u nau nau nau n返回返回回到本節(jié)回到本節(jié)因?yàn)樗?，等效系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為同樣可以推導(dǎo)出兩個(gè)系統(tǒng) 并聯(lián)，其等效系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為 ，如上圖(c)、(d)所示。212( )( )( )( )( )( )y nm nh nx nh nh

17、 n( )( )x nh n12( )( )( )h nh nh n12( )( )h nh n和12( )( )( )h nh nh n返回返回回到本節(jié)回到本節(jié)1.3.3 1.3.3 系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性系統(tǒng)的因果性：系統(tǒng)的因果性：系統(tǒng)的因果性即系統(tǒng)的可實(shí)現(xiàn)性。因果系統(tǒng)：系統(tǒng)的n時(shí)刻的輸出y（n）只取決于當(dāng)前以及過去的輸入，而與n時(shí)刻以后的輸入沒有系，該系統(tǒng)是可實(shí)現(xiàn)的。非因果系統(tǒng)：如果n時(shí)刻的系統(tǒng)輸出還和n時(shí)刻以后的輸出有關(guān)，在時(shí)間上違背了因果性，系統(tǒng)無法實(shí)現(xiàn)。系統(tǒng)具有因果性的充要條件充要條件是，系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)滿足下式： ， n0 利用此概念可以判斷系統(tǒng)的因果性0)(

18、nh判斷因果系統(tǒng)的依據(jù)返回返回回到本節(jié)回到本節(jié)系統(tǒng)的穩(wěn)定性系統(tǒng)的穩(wěn)定性穩(wěn)定系統(tǒng)：對(duì)于任意有界輸入產(chǎn)生有界輸出的系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。當(dāng)且僅當(dāng) (充要條件) 時(shí)，該線性時(shí)不變系統(tǒng)是穩(wěn)定的。kkhs)(返回返回回到本節(jié)回到本節(jié)1.4 1.4 時(shí)域離散系統(tǒng)的輸入輸出描述時(shí)域離散系統(tǒng)的輸入輸出描述法法線性常系數(shù)差分方程線性常系數(shù)差分方程描述一個(gè)系統(tǒng)可以不管系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)如何，將系統(tǒng)看成一個(gè)黑盒子，只描述系統(tǒng)的輸出與輸入之間的關(guān)系，這種描述法被稱為輸入輸出描述法。微分方程 模擬系統(tǒng)差分方程 時(shí)域離散系統(tǒng)狀態(tài)變量描述法線性時(shí)不變系統(tǒng) 線性常系數(shù)差分方程Tx(n)y(n)時(shí)域離散系統(tǒng)用方程來描述兩種不同的描述方法

19、返回返回本節(jié)主要講述：返回返回p 1.4.1 線性常系數(shù)差分方程p 1.4.2 線性常系數(shù)差分方程的遞推解法p 1.4.4 應(yīng)用舉例滑動(dòng)平均濾波器1.4.1 1.4.1 線性常系數(shù)差分方程線性常系數(shù)差分方程一個(gè)N階線性常系數(shù)差分方程用下式描述：或 ， a0=1式中，x(n)和y(n)分別表示系統(tǒng)的輸入和輸出，系數(shù)ai和bi均為常系數(shù)，且x(n-i)和y(n-i)只有次冪，也沒有相互交叉的線性相乘項(xiàng)，故稱為線性常系數(shù)差分方程。MiNiiiinyainxbny01)()()(NiMiiiinxbinya01)()(返回返回回到本節(jié)回到本節(jié)1.4.2 1.4.2 線性常系數(shù)差分方程的遞推解法線性常系

20、數(shù)差分方程的遞推解法已知系統(tǒng)的輸信號(hào)和描述系統(tǒng)的線性常系數(shù)微分方程，求解系統(tǒng)的輸出一般有三種方法： 經(jīng)典解法經(jīng)典解法: : 和求解微分方程解法類似，齊次解特解 遞推解法遞推解法：由初始值和輸入值遞推解出系統(tǒng)以后輸出值 Z Z變換解法：變換解法：（下一章學(xué)習(xí)）適合計(jì)算機(jī)求解返回返回回到本節(jié)回到本節(jié)我們著重介紹遞推解法：遞推解法遞推解法 觀察上式，如果已知輸入信號(hào)，求n時(shí)刻的輸出，需要知道輸入信號(hào)x(n),以及n時(shí)刻以前的N個(gè)輸出信號(hào)值：y(n-1),y(n-2),y(n-3),y(n-N)。這N個(gè)輸出信號(hào)值成為初始條件。可以看到，上式是一個(gè)遞推方程，如果已知輸入信號(hào)和一個(gè)初始條件，可以先求出n個(gè)時(shí)刻的輸出，再將這公式中的n用n+1代替，求出n