第二節(jié) 卷積與相關(guān)

1、第二節(jié)第二節(jié) 卷積與相關(guān)卷積與相關(guān)一、卷積與相關(guān)的定義一、卷積與相關(guān)的定義1.1.卷積定義卷積定義: :函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)和和h(x)h(x)，其卷積運算用符號，其卷積運算用符號f(x)f(x)* *h(x)h(x)表示，定義為如下積分表示，定義為如下積分 fxhxfhxd 2.2.函數(shù)函數(shù)f(xf(x) )和和h(xh(x) )的相關(guān)定義的相關(guān)定義fxhxfhxd 2 2一維實函數(shù)卷積的幾何說明一維實函數(shù)卷積的幾何說明: : 首先，在以首先，在以為橫軸的圖上畫出為橫軸的圖上畫出f()和和h(),再再將將h() 反轉(zhuǎn)得到反轉(zhuǎn)得到h(- h(- ) )h(- h(- ) )平移平移x x值

2、得到值得到h-(h-(- -x x) )=h(x-) . . f() 和h(x-)相乘得到一新函數(shù)相乘得到一新函數(shù),此新函此新函數(shù)圖象與數(shù)圖象與軸之間軸之間圍成的面積便是函數(shù)圍成的面積便是函數(shù)f(xf(x) ) * h(xh(x) )在在x x點點的數(shù)值的數(shù)值x x值不同值不同, , h(- )平移距離不同平移距離不同,而使而使f(x) * h(x)可可能取不同值能取不同值. fxh xfh xd根據(jù)這種幾何解釋容易得到以下結(jié)論根據(jù)這種幾何解釋容易得到以下結(jié)論:若若f(x)有非零值的有非零值的范圍是范圍是t1，h(x)有非零值的范圍是有非零值的范圍是t2,則則f(x) * h(x)有非零值有非

3、零值的范圍為的范圍為t1+t2.卷積使非零值范圍擴(kuò)大了卷積使非零值范圍擴(kuò)大了. 光學(xué)圖象大多是平面圖象，用二維函數(shù)表示信息光學(xué)圖象大多是平面圖象，用二維函數(shù)表示信息光學(xué)中的卷積運算大多是二維函數(shù)的卷積，二維函數(shù)光學(xué)中的卷積運算大多是二維函數(shù)的卷積，二維函數(shù)f(xf(x，y)y)和和h(xh(x，y)y)的卷積表示為的卷積表示為: : ,fx yhx yfhxydd 如果如果f(xf(x，y)y)和和h(xh(x，y)y)描述的是兩個真實的光學(xué)描述的是兩個真實的光學(xué)量，則量，則f(xf(x，y)y)* *h(xh(x，y)y)總是存在的總是存在的二二: :卷積運算圖例卷積運算圖例 考慮兩個矩形函

4、數(shù)的卷積運算，從幾何圖形上看，考慮兩個矩形函數(shù)的卷積運算，從幾何圖形上看，就是將其中個矩形函數(shù)繞縱軸翻轉(zhuǎn)，然后再對另一個就是將其中個矩形函數(shù)繞縱軸翻轉(zhuǎn)，然后再對另一個作平移，并計算兩矩形函數(shù)的重疊面積，從而得到卷積作平移，并計算兩矩形函數(shù)的重疊面積，從而得到卷積的運算結(jié)果。顯然，這個結(jié)果是平移距離的函數(shù)。的運算結(jié)果。顯然，這個結(jié)果是平移距離的函數(shù)。1oxa/2-a/21oxa/2-a/21oxa/2-a/21oxa/2-a/21oxa/2-a/2x1oxa-aa01f (x)f ()1h (x- )h (x- )01f (x)f ()1h (x- )01f (x)f ()h (x- )101x

5、f (x)01xh(x)2f (x) h (x) :0101f (x)f ()h (x- )h (x- )01f (x)f ()01f (x)f ()h (x- )1f (x)f ()1 h (x- )01f (x)f ()1h (x- )01f (x)f ()1h (x- )f (x)f ()h (x- )10101f (x)f ()1 h (x- )0101f (x)f ()h (x- )h (x- )01f (x)f ()01f (x)f ()h (x- )1f (x)f ()1 h (x- )01f (x)f ()1h (x- )01f (x)f ()1h (x- )f (x)f ()h (x- )10101f (x)f ()1 h (x- )三三 、相關(guān)運算、相關(guān)運算相關(guān)運算與卷積與算有以下關(guān)系： g(x,y) h(x,y) = g (-x, -y) h(x,y) G (fx,fy) H(fx,fy)g(x,y) g(x,y) G(fx，fy)2 自相關(guān)與功率譜構(gòu)成傅里葉變換自相關(guān)與功率譜構(gòu)成傅里葉變換當(dāng)g(x,y) = h(x,y)時稱為自相關(guān)，自相關(guān)，有 g(x,y) g(x