條件或結(jié)論的探究性問題

1、 初三復(fù)習(xí)教案模塊 探究開放性問題 第一講 條件或結(jié)論的探究性問題教學(xué)內(nèi)容概要： 本講主要研究中考中較為特殊的一類問題因條件或結(jié)論引起的探究開放性問題，這類問題結(jié)論或條件都不確定，只要答案能夠滿足條件或結(jié)論的需求就可以了，因此此類問題較為簡(jiǎn)單，為學(xué)生進(jìn)行自我學(xué)習(xí)與探索提供了很好的準(zhǔn)備條件。教學(xué)目標(biāo)：1、教會(huì)學(xué)生了解條件或結(jié)論的探究性問題，懂得如何對(duì)此類題目進(jìn)行審題、分析，能夠找到此類題目的考查點(diǎn)，從而讓學(xué)生自己掌握相關(guān)的解題方法。2、能夠讓學(xué)生通過熟悉條件或結(jié)論的探究性問題，初步學(xué)會(huì)如何從條件或結(jié)論入手分析數(shù)學(xué)試題，體會(huì)試題中條件與結(jié)論的聯(lián)系，從數(shù)學(xué)本質(zhì)上理解數(shù)學(xué)題目的多樣性與靈活性。重難點(diǎn)：

2、對(duì)條件或結(jié)論的探究性問題進(jìn)行審題與分析，找到相關(guān)解題方法。知識(shí)要點(diǎn) 開放型問題是指題目的條件或結(jié)論是發(fā)散的、不確定的，其解答往往不拘泥于單一的、固定的模式，它的特點(diǎn)是正確答案不唯一。條件或結(jié)論的開放型探究性問題主要包括條件開放型問題、結(jié)論開放型問題、條件結(jié)論同時(shí)開放型問題、過程開放型問題。1、給出題目的結(jié)論，讓解題者分析探索使結(jié)論成立應(yīng)具備的條件，而滿足結(jié)論的條件往往不是唯一的，這樣的問題是條件開放型問題。填寫條件時(shí)，應(yīng)符合題意或相關(guān)的概念、性質(zhì)與定理。2、給出問題的條件，讓解題者根據(jù)條件探索相應(yīng)的結(jié)論，而符合條件的結(jié)論往往呈現(xiàn)多樣性，這樣的問題是結(jié)論開放型問題。得出的結(jié)論應(yīng)盡可能用上題目及圖

3、形所給的條件。3、問題的條件不完備，結(jié)論也具有開放性的題目，就屬于條件結(jié)論同時(shí)開放型問題。例題經(jīng)典例1：如圖1，在ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，作射線AD，在線段AD及其延長(zhǎng)線上分別取點(diǎn)E、F，聯(lián)結(jié)CE、BF。請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使得BDFCDF，并加以證明。圖1解：思路一：若添加DE=DF，在BDF和CDF中，BD=DC，F(xiàn)DB=EDC，DF=DE，由判定SAS得，BDFCDF。思路二：若添加BF/EC，由平行線的性質(zhì)定理得，F(xiàn)BD=ECD，在BDF和CDF中，BD=DC，F(xiàn)DB=EDC，F(xiàn)BD=ECD，由判定ASA得，BDFCDF。思路三：若添加FBD=ECD，在BDF和CDF中，BD=DC，

4、FDB=EDC，F(xiàn)BD=ECD，由判定ASA得，BDFCDF。思路四：若添加DFB=DEC，在BDF和CDF中，BD=DC，F(xiàn)DB=EDC，DFB=DEC，由判定AAS得，BDFCDF?！军c(diǎn)評(píng)】本題是一道條件開放型問題，考查的知識(shí)點(diǎn)是全等三角形的判定。因?yàn)槿切稳葪l件中必須是三個(gè)元素，而例1中，已知BD=DC，EDC=FDB，即已經(jīng)確定一條邊及此邊相鄰的一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，根據(jù)全等三角形判定中的SAS、AAS、ASA，可以添加三類條件。若用到判定SAS，可添加DE=DF；若用到判定ASA或AAS，可添加EC/BF或者DEC=DFB或者ECD=FBD（只要從以上條件中選出任意一個(gè)條件添加都正確）。

5、因此解這種開放問題的一般思路是：由已知的結(jié)論反思題目應(yīng)具備怎樣的條件，即從題目的結(jié)論出發(fā)，逆向追索，逐步探求。例2：已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，問由此圖像中所顯示的拋物線特征，可以得到二次函數(shù)的系數(shù)的哪些關(guān)系和結(jié)論。 圖2解：由圖2知，二次函數(shù)的圖像開口向下，得；與y軸交于正半軸處得，對(duì)稱軸直線x=2，得，即。又對(duì)稱軸直線x=2，即，得；從圖中分析還知圖像與x軸交于兩點(diǎn)，得；當(dāng)x=1時(shí)，又，得；再將變形得，代入得，【點(diǎn)評(píng)】本題是一道結(jié)論開放型問題，考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)。例2中，二次函數(shù)基本圖像已經(jīng)給出，從它的開口方向、對(duì)稱軸范圍以及與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)可先確定的正負(fù)性，再根據(jù)對(duì)稱軸的具

6、體數(shù)值可以討論出系數(shù)與的關(guān)系。本題結(jié)論不唯一，只要圍繞之間的聯(lián)系展開討論，并且結(jié)論正確都可以。因此解這種開放問題的一般思路是：充分利用已知條件或圖形特征，進(jìn)行猜想、類比、聯(lián)想、歸納，透徹分析出給定條件下可能存在的結(jié)論，然后經(jīng)過論證作出取舍。例3：如圖3，在ABC中，AB=AC，過點(diǎn)A作GE/BC，角平分線BD、CF相交于點(diǎn)H，它們的延長(zhǎng)線分別交GE于點(diǎn)E、G。試在圖中找出三對(duì)全等三角形，并對(duì)其中一對(duì)全等三角形給出證明。圖3解：圖3中有五對(duì)全等三角形，分別是BCFCBD、BHFCHD、BADCAF、BAECAG、ADEAFG。（只要從以上全等三角形中任選一個(gè)都正確）。（1）證明BCFCBD。在A

7、BC中，AB=AC，ABC=ACB， 又角平分線BD、CF相交于點(diǎn)H，DBC=FCB在BCF和CBD中，ABC=ACB，BC=CB，F(xiàn)CB=DBC，BCFCBD（ASA）（2）證明BHFCHD。在ABC中，AB=AC，ABC=ACB，又角平分線BD、CF相交于點(diǎn)H，DBC=FCB，ABD=ACF，又DBC=FCB，BH=CH在BHF和CHD中，ABD=ACF，BH=CH，F(xiàn)HB=DHC，BHFCHD（ASA）（3）證明BADCAF。在ABC中，AB=AC，ABC=ACB，又角平分線BD、CF相交于點(diǎn)H，ABD=ACF，在BAD和CAF中，ABD=ACF，AB=AC，BAC=CAB，BADCAF

8、（ASA）（4）證明BAECAG。在ABC中，AB=AC，ABC=ACB，又角平分線BD、CF相交于點(diǎn)H，DBC=FCB，ABD=ACF，又GE/BC，G=FCB，DBC=E，G=E在BAE和CAG中，ABD=ACF，AB=AC，E=G，BAECAG（AAS）（5）證明ADEAFG。在ABC中，AB=AC，ABC=ACB，又角平分線BD、CF相交于點(diǎn)H，DBC=FCB，ABD=ACF，又GE/BC，G=FCB，DBC=E，G=E又GE/BC，GAB=ABC，ACB=EAC，GAB=EAC又GE/BC，G=FCB=ACF，DBC=E=ABD，AG=AC，AE=AB，AG=AE在ADE和AFG中，

9、GAB=EAC，AG=AE，GAB=EAC，ADEAFG（ASA）【點(diǎn)評(píng)】本題也是一道結(jié)論開放型問題，考查的知識(shí)點(diǎn)是全等三角形的判定與性質(zhì)。與例1不同的是，本題解題難點(diǎn)在于如何找出夠數(shù)量的全等三角形并進(jìn)行證明。解這類題目要從圖形與條件同時(shí)入手考慮，在例3中，從圖形觀察出，題目的背景圖形是一個(gè)等腰三角形，根據(jù)對(duì)稱性能發(fā)現(xiàn)有五組成對(duì)稱性的三角形。要證明這五組成對(duì)稱性的三角形全等，又要從條件入手，條件多從角度出發(fā)，因此學(xué)生也要從SAS、AAS、ASA等與角有關(guān)的判定證明。例4：如圖4，四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上，聯(lián)結(jié)AE、BE。給出下列五個(gè)關(guān)系式：AD/BC；DE=CE；AE是DAB的角平分線

10、；BE是ABC的角平分線；AD+BC=AB。將其中的三個(gè)關(guān)系式作為題設(shè)，另外兩個(gè)作為結(jié)論，構(gòu)成一個(gè)命題。用序號(hào)寫出所有可能的真命題（書寫格式如：如果那么），并給出證明。圖4解：第一種情況：。證明一：如圖5，延長(zhǎng)AE、BC交于點(diǎn)F。AD/BC，DAE=F，又DAE=EAB，EAB=F，AB=BF在DAE和CFE中，DAE=F，DE=EC，DEA=CEF，DAECFE（AAS）AD=CF，AE=EF，又BF=BC+CF，AB=BF=BC+CF=BC+AD在ABF中，AB=BF，AE=EF，BE是ABC的角平分線 圖5 圖6 圖7證明二：如圖6，過點(diǎn)E作EG/BC交AB于點(diǎn)G。AD/BC/EG，DA

11、E=AEG，又DAE=EAB，EAB=AEG，AG=GE，又AD/BC/EG，又DE=EC，AG=GB，EG是梯形ABCD的中位線，同時(shí)，AB=AD+BCGB=GE，ABE=GEB，又EG/BC，GEB=EBC，ABE=EBC，即BE是ABC的角平分線。 第二種情況：。證明方法同第一種類似，也有兩種方法。證明一：如圖7，延長(zhǎng)BE、AD交于點(diǎn)H。AD/BC，EBC=H，又ABE=EBC，ABE=H，AB=AH在DEH和CEB中，H=EBC，DE=EC，DEH=CEB，DEHCEB（AAS）DH=CB，HE=EB，又AH=AD+DH，AB=AH=AD+DH=AD+BC在ABH中，AB=AH，HE=

12、EB，AE是DAB的角平分線證明二：如圖6，過點(diǎn)E作EG/BC交AB于點(diǎn)G。AD/BC/EG，GEB=EBC，又ABE=EBC，GEB=ABE，BG=GE，又AD/BC/EG，又DE=EC，AG=GB，EG是梯形ABCD的中位線，同時(shí)，AB=AD+BCGA=GE，BAE=AEG，又EG/AD，DAE=AEG，BAE=DAE，即AE是DAB的角平分線。第三種情況：。證明一：如圖5，延長(zhǎng)AE、BC交于點(diǎn)F。AD/BC，DAE=F，又DAE=EAB，EAB=F，AB=BF又BE是ABC的角平分線，AE=EF在DAE和CFE中，DAE=F，AE=EF，DEA=CEF，DAECFE（ASA）AD=CF，

13、DE=EC，BF=BC+CF =BC+AD證明二：如圖6，過點(diǎn)E作EG/BC交AB于點(diǎn)G。AD/BC/EG，GEB=EBC，DAE=AEG，又AE、BE分別是DAB和ABC的角平分線，GEB=ABE，DAE=EAG，AG=GE，GE=GB，又AD/BC/EG，又AG=GB，DE=EC，EG是梯形ABCD的中位線，AB=AD+BC剩下三種情況證法一樣，不再加以詳述?！军c(diǎn)評(píng)】本題是一道條件與結(jié)論同時(shí)開放型問題，主要考查梯形的性質(zhì)與中位線定理等幾何知識(shí)，還涉及到全等三角形的判定與性質(zhì)。本題難度較高，但是本題題型新穎，需要在梯形中通常作輔助線來構(gòu)造三角形，轉(zhuǎn)移有關(guān)線段來求解。例4中首先要確定梯形，只能

14、做條件，如果作為條件，可得到以下兩種情況：和；如果作為條件，可得到以下兩種情況：和；還有兩種情況和也可以成立。此類問題沒有明確的條件和結(jié)論，并且符合條件的結(jié)論具有多樣性，因此必須認(rèn)真觀察與思考，將已知的信息集中分析，挖掘問題成立的條件或特定條件下的結(jié)論，多方面、多角度、多層次探索條件和結(jié)論，并進(jìn)行證明或判斷。 課后作業(yè)一、填空題1、給出兩個(gè)數(shù)3和6，請(qǐng)?jiān)賹懗鲆粋€(gè)數(shù)，使這三個(gè)數(shù)中的一個(gè)數(shù)是另外兩個(gè)數(shù)的比例中項(xiàng)，這個(gè)數(shù)可以是 。（寫出一個(gè)你認(rèn)為正確的答案即可）2、請(qǐng)從下列三個(gè)代數(shù)式中（）任選兩個(gè)構(gòu)造一個(gè)分式： 。（寫出一個(gè)你認(rèn)為正確的答案即可）3、已知在ABC中，AB=AC，ADBC，點(diǎn)D為垂足，由以上兩個(gè)條件可得 。（寫出一個(gè)你認(rèn)為正確的結(jié)論）4、多項(xiàng)式可分解為兩個(gè)一次因式的積，整數(shù)p的值是 。（寫出一個(gè)即可）5、請(qǐng)寫出一個(gè)開口向上，對(duì)稱軸為直線x=2，且與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）的拋物線的解析式 。6、平移拋物線，使它經(jīng)過原點(diǎn)，寫出平移后拋物線的一個(gè)解析式 。7、請(qǐng)給出一元二次方程 =0的一個(gè)常數(shù)項(xiàng)，使這個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。8、已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)（0，1），且y隨x的增大而增大，請(qǐng)你寫出一個(gè)符合上述條件的函數(shù)關(guān)系式： 。9、已知：如圖，AB/DE，且AB=DE，請(qǐng)只添加一個(gè)條件，使ABCDEF，你添加的條件是 。第9題圖10、已知，從這四個(gè)數(shù)中任意選取三個(gè)數(shù)