朱衛(wèi)華《大學物理》振動

1、第四章振動與波動整理ppt一些振動現(xiàn)象一些振動現(xiàn)象整理ppt一些振動現(xiàn)象一些振動現(xiàn)象整理ppt一些振動現(xiàn)象一些振動現(xiàn)象整理ppt一些振動現(xiàn)象一些振動現(xiàn)象 演示程序演示程序tx一些振動現(xiàn)象一些振動現(xiàn)象4-1 4-1 簡諧運動簡諧運動振動的定義振動的定義機械振動機械振動 電磁振動電磁振動 任一物理量任一物理量( (如位移、電如位移、電 流等流等) )在某一數(shù)值附近在某一數(shù)值附近反復變化反復變化紀念國際遠程通訊展覽會在柏林舉行并紀念電視技術100周年整理ppt4-1 4-1 簡諧運動簡諧運動 振動分類振動分類3 3、受迫振動外界作用力下的振動、受迫振動外界作用力下的振動1 1、自由振動沒有能量的輸入

2、與輸出、自由振動沒有能量的輸入與輸出2 2、阻尼振動振幅減少的振動（介質阻尼和輻射阻尼）、阻尼振動振幅減少的振動（介質阻尼和輻射阻尼）4 4、隨機振動用概率統(tǒng)計的方法研究、隨機振動用概率統(tǒng)計的方法研究本章主要研究自由振動，而自由振動中最基本的振動是本章主要研究自由振動，而自由振動中最基本的振動是簡諧振動簡諧振動，它是其它一切振動的基礎。，它是其它一切振動的基礎。簡諧運動簡諧運動復雜振動復雜振動合成合成分解分解xtOtOxttttOOOO本章主要研究自由振動，而自由振本章主要研究自由振動，而自由振動中最基本的振動是動中最基本的振動是簡諧振動簡諧振動，它，它是其它一切振動的基礎。是其它一切振動的基

3、礎。4.1.1 4.1.1 簡諧運動的描述簡諧運動的描述一一. . 簡諧振動的定義簡諧振動的定義二二. . 描述簡諧振動的描述簡諧振動的特征量特征量 1. 1. 振幅振幅 A A物體離開平衡物體離開平衡 位置的最大距離位置的最大距離2. 周期周期T 和圓頻率和圓頻率 T 2 ， = 1/T (Hz) = 2 (1/s)( )cos()x tAt3. 相位相位(1) 、( t + )是是 t 時刻的相位時刻的相位 (2) 、 是是t =0時刻的相位時刻的相位 初相初相相位是確定物體振動狀態(tài)的物理量，不同的相反映不同的態(tài)相位是確定物體振動狀態(tài)的物理量，不同的相反映不同的態(tài)0,01 VAx AVx

4、,0,220,3VAx AVx , 0,234 sinAV cos)cos(AtAxA00000VV0,25 VAx 旋轉矢量的長度旋轉矢量的長度旋轉矢量與參考方向旋轉矢量與參考方向x 的夾角的夾角旋轉矢量旋轉的方向旋轉矢量旋轉的方向旋轉矢量旋轉的角速度旋轉矢量旋轉的角速度振動位相振動位相振動圓頻率振動圓頻率振幅振幅 A逆時針逆時針1 1、旋轉矢量的構造、旋轉矢量的構造AtAx )cos( 整理pptMx0P(t)+)cos( tAxAtAx )cos( A M 點在點在x 軸上投影軸上投影 P點點 的運動規(guī)律的運動規(guī)律MPxAMPxv0MPxv0MPxv0MPxv0MPxv0MPxv0MPx

5、v0MPxv0MPxv0MPxv0MPxv0MPxv0MPxv0MPxv0MPxv0MPxv0MPxv0MPxv0MPxv0MPxv0MPxv0MPxv0MPxv0MPxv0MPx 0)(cos tAxtxcos12. 030sin0Av0sin3振動方程振動方程)3cos(12. 0txyx33cos12. 006. 0初始條件：初始條件：t = 0 時，時， x0 = 0.06 m , v0 010.50.50.50.12 sin()0.1893tttxtt dm sdv220.50.50.50.12cos()0.1033tttatt dm sdv2、t = 0.5 s時，質點的速度和加速

6、度時，質點的速度和加速度)3cos(12. 0tx整理ppt3、如果在某時刻質點位于、如果在某時刻質點位于x = -6 cm，且向，且向 x 軸負方向運動，軸負方向運動，求從該位置回到平衡位置所需要的時間。求從該位置回到平衡位置所需要的時間。(2) 設在某一時刻設在某一時刻 t1 x = - 0.06 m)3(cos12. 006. 01 t代入振動方程代入振動方程21)3(cos1 t 設在某一時刻設在某一時刻 t2 x = 00)3(cos2tstt132311 yx32stt61123322 sttt65161112 32 tst65 旋轉矢量法確定時間旋轉矢量法確定時間4.1.3 4.

7、1.3 簡諧振動的動力學方程（特征）簡諧振動的動力學方程（特征）一一. . 簡諧振動的動力學方程簡諧振動的動力學方程( (以水平彈簧振子為例以水平彈簧振子為例) )1. 受力特點受力特點: 線性恢復力線性恢復力 (F= -kx)2. 2. 動力學方程動力學方程22tdxdmmaF0222xtdxd mk 固有固有( (圓圓) )頻率頻率決定于系統(tǒng)內在性質決定于系統(tǒng)內在性質 x(t)=Acos( t+ )整理ppt0222xtdxd 由初始條件求振幅和相位由初始條件求振幅和相位 cos0Ax sin0Av22020 xA)(tg001x x(t)=Acos( t+ )整理ppt4.1.4.4.1

8、.4.簡諧振動的能量簡諧振動的能量( (以水平彈簧振子為例以水平彈簧振子為例) )(1)(1)動能動能221 mEk )(sin2122 tkA(2)(2)勢能勢能221kxEp )(cos2122 tkA(3) (3) 機械能機械能221kAEEEpk 簡諧振動系統(tǒng)機械能守恒簡諧振動系統(tǒng)機械能守恒整理ppt整理ppt演示程序演示程序整理ppt簡諧振動的三種表示方法描述例例3 3： 質點振動方程為質點振動方程為)43cos(06. 0 tx（SI）X=X=？系統(tǒng)勢能為總能量的一半？系統(tǒng)勢能為總能量的一半？解：解：221kAE總總22212121kAkx22xA 0.0424m 例例4 垂直懸掛

9、的彈簧下端系一質量為垂直懸掛的彈簧下端系一質量為m m的小球，彈簧伸長量為的小球，彈簧伸長量為b 。用手將重物上托使彈簧保持自然長度后放手。求證：放手后小。用手將重物上托使彈簧保持自然長度后放手。求證：放手后小球作簡諧振動，并寫出振動方程球作簡諧振動，并寫出振動方程. .b自然長度自然長度mgb0 x平衡位置平衡位置自然長度自然長度自然自然長度長度b平衡平衡位置位置x任意位置時小球所受到的合外力為：任意位置時小球所受到的合外力為：可見小球作諧振動。由可見小球作諧振動。由得：得：mg - kb = 0F = mg - k ( b + x ) = - kxmgF0Xbgmk mg自然自然長度長度b

10、平衡平衡位置位置xF0X)cos( tbgbx當當0,000vbxt得得,bA例例5：k=?k2(c)ll21k1k1、的關系的關系?k2k1(a)k2Fk2k1(b)k=?F例例5 5：k=?k1(a)k2F(a)11/kFx 22/kFx )/ 1/ 1 (2121kkFxxx21111kkxFkk2k1(b)k=?F(b)kxxkkFFF)(212121kkk結論結論串聯(lián)串聯(lián)21111kkk并聯(lián)并聯(lián)21kkk設給彈簧施力設給彈簧施力F11xkF 1111llxk11lk 22xkF 2222llxk22lk 2211lklkk2(c)l1k1k1、的關系的關系?k2l2xl材料應變材料應

11、變t = 0時時以及振動方程。以及振動方程。求：求： 例例 6 一諧振動的振動曲線如圖所示。一諧振動的振動曲線如圖所示。 0 xA0t2A00cos2 AAx 0sin00 Av30 A3 x解：解：t =1時時xAt2A01 x01 dtdxv21 011 t31 2 65 A3 xxA2 x = A cos ( 56t3)32AxAt =1t = 0本題本題 的另一種求法：的另一種求法：32 t 32 65 例例 7：有一：有一單擺單擺，長為，長為l=1.0m,小球質量為小球質量為m=10g,初始時該小球初始時該小球在擺角在擺角處，以角速度處，以角速度 00.2rad/s 向平衡位置運動。

12、試求：向平衡位置運動。試求：（1）、圓頻率，頻率，周）、圓頻率，頻率，周 期。期。（2）、角振幅和初相。）、角振幅和初相。（3）、寫出小球的振動方程。）、寫出小球的振動方程。mg+L轉轉動動正正方方向向解：由轉動定律：解：由轉動定律：2mLJJM mgLmgLMsin222dtdmLmgL 整理pptmmg+L轉轉動動正正方方向向222dtdmLmgL 022 Lgdtd0222 dtdLg )cos(max t113. 3)1(slg HzglT0 . 22 0)2(t cosmax0 sinmax0rad088. 0max rad23.2 radt)32. 213. 3cos(088. 0

13、)3( 整理ppt拓展問題-復擺振動周期同學們研究例例8. 8. 質量為質量為m m的比重計，放在密度為的比重計，放在密度為 的液體中。已知比的液體中。已知比重計圓管的直徑為重計圓管的直徑為d d。試證明，比重計推動后，在豎直方向的。試證明，比重計推動后，在豎直方向的振動為簡諧振動。并計算周期。振動為簡諧振動。并計算周期。解：解：取平衡位置為坐標原點取平衡位置為坐標原點平衡時：平衡時：0 Fmg浮力：浮力： VgF 其中其中V V 為比重計的排水體積為比重計的排水體積0mgF2222dtxdmgxdVmg xmgddtxd4222 2222dtxdmxdgVgmg 0 xxmgd 2 gmdT

14、 42 整理ppt例例 一臺鐘的等效擺長為一臺鐘的等效擺長為 l =0.995m，擺錘可以上下移動以調，擺錘可以上下移動以調節(jié)周期。該鐘每天快節(jié)周期。該鐘每天快1分分27秒，假設將此擺當作質量集中在秒，假設將此擺當作質量集中在擺錘中心的一個單擺來考慮，則應將擺錘向下移動多少距離擺錘中心的一個單擺來考慮，則應將擺錘向下移動多少距離才能使鐘走得準確？才能使鐘走得準確？解解：) 1 (gldldlglldT 一天一天2424小時擺動的次數(shù)為小時擺動的次數(shù)為)2(360024tdTT 由式（由式（1 1）、（）、（2 2）得）得mmttldl22 glT2T360024一天產生的總誤差一天產生的總誤差

15、4-2-1 4-2-1 簡諧振動的合成簡諧振動的合成一一. 兩個同方向同頻率的簡諧振動的合成兩個同方向同頻率的簡諧振動的合成x1=A1cos( t+ 1) )cos(11tAtAA cos)coscos(2211 )cos(212212221 AAAAx)cos(22 tAtAA sin)sinsin(2211 x2=A2cos( t+ 2)cos( tx = x1+ x2 x =A cos( t+ )合振動是簡諧振動合振動是簡諧振動)cos(212212221 AAAAA22112211coscossinsintg AAAA (1) (1) 若兩分振動同相若兩分振動同相則則 A=A1+A2

16、, 兩分振動相互加強兩分振動相互加強 k212(k=0,1,2,)整理ppt x =A cos( t+ )合振動是簡諧振動合振動是簡諧振動)cos(212212221 AAAAA22112211coscossinsintg AAAA (2) (2) 若兩分振動反相若兩分振動反相) 12 (12k則則A=|A1-A2|, 兩分振動相互減弱兩分振動相互減弱(k=0,1,2,)如如 A1=A2 , 則則 A=0旋轉矢量法求合振動旋轉矢量法求合振動x1=A1cos( t+ 1)1A2A1A2AA 2 1 X22112211coscossinsintg AAAA22sin A2211coscos AA)

17、cos(212212221 AAAAAx2=A2cos( t+ 2)11sin A二二. . 同方向同方向N N個同頻率的簡諧振動的合成個同頻率的簡諧振動的合成11cosAtax 22)cos(Atax NNANtax )1(cos AtAx )cos( 整理pptC )1(N N1A 2A3ANA2sin2 NRA 2sin2 Ra 2sin2sin NaA 21N)cos( tAx2 A R二二. . 同方向同方向N N個同頻率的簡諧振動的合成個同頻率的簡諧振動的合成例例9 . 兩個同方向的簡諧振動曲線兩個同方向的簡諧振動曲線(如圖所示如圖所示) 1、求合振動的振幅。、求合振動的振幅。2、

18、求合振動的振動方程。、求合振動的振動方程。解：解：T20cos11A22110cos22A2222x2A1AT)(1tx)(2txt1AA2A122()()2xAA costT2:由矢量圖同學們練習同學們練習cmtx)410cos(0 .21 例例1010：三個同方向同頻率的諧振動：三個同方向同頻率的諧振動cmtx)210cos(0 .22 cmtx)4310cos(0 .23 試用旋轉矢量法求合振動的方程試用旋轉矢量法求合振動的方程1A2A3A4 解：三個對應的旋轉矢量如圖所示解：三個對應的旋轉矢量如圖所示cmA83.422222 2 cmtx)210cos(83.4 A ttAx)2cos

19、()2cos(21212 合振動不是簡諧振動合振動不是簡諧振動x = x1+ x2三三. . 同方向不同頻率的簡諧振動的合成同方向不同頻率的簡諧振動的合成 x1=Acos 1 t x2=Acos 2t整理ppt當當 2 1時時 2- 1 2+ 1其其中中tAtA)2cos(2)(12 )2cos(cos12tt 隨緩變隨緩變隨快變隨快變合振動可看作振幅緩變的簡諧振動合振動可看作振幅緩變的簡諧振動ttAx cos)( ttAx)2cos()2cos(21212 x = x1+ x2整理ppt合振動頻率合振動頻率振幅部分振幅部分ttAx22cos)22cos2(12121 合振動可看作振幅緩變的簡

20、諧振動合振動可看作振幅緩變的簡諧振動tAA22cos2121振幅振幅 1max2AA0min A2212 T 121T12拍頻（振幅變化的頻率）拍頻（振幅變化的頻率）整理ppt兩個同方向不同頻率簡諧運動的合成兩個同方向不同頻率簡諧運動的合成( (視頻視頻) )頻率較大而頻率之差很小的兩個同方向簡諧運動的合成，其頻率較大而頻率之差很小的兩個同方向簡諧運動的合成，其合振動的振幅時而加強時而減弱的現(xiàn)象叫拍合振動的振幅時而加強時而減弱的現(xiàn)象叫拍. .整理ppt拍現(xiàn)象視頻拍現(xiàn)象視頻例例11：第一音叉和第二音叉（：第一音叉和第二音叉（f2=438Hz)的標準音叉同時振動，的標準音叉同時振動，它們每秒產生它

21、們每秒產生2個拍頻個拍頻 。當?shù)谝粋€音叉的臂上涂了一層石臘時，。當?shù)谝粋€音叉的臂上涂了一層石臘時，拍頻減少。試問第一個音叉的頻率是多少？拍頻減少。試問第一個音叉的頻率是多少？321 拍拍 ,mmk211, ，拍拍Hz44021拍解解四四 垂直方向簡諧振動的合成垂直方向簡諧振動的合成* * *x=A1cos( t+ 1)y=A2cos( t+ 2)(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAx合運動一般是一個橢圓，橢圓的性質在合運動一般是一個橢圓，橢圓的性質在 A1 、A2確定之確定之后后, 主要決定于主要決定于 = 2- 1 1 1、同頻率簡諧振動、同頻率簡諧振動合振動仍為諧

22、振動，振幅為合振動仍為諧振動，振幅為2AyA1x0)(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAx0221222212 AyAxAyAx0)1(12 0221 AyAxxAAy12 2221AAA 整理ppt1222212 AyAxyx0r1A2A合運動一般是在合運動一般是在 2A1 ( x向向 )、2A2 ( y向向 ) 范圍內范圍內的一個橢圓的一個橢圓 橢圓的性質橢圓的性質 (方位、長短軸、左右旋方位、長短軸、左右旋 )在在 A1 、A2確確定之后定之后, 主要決定于主要決定于 = 2- 1 2)2(12（3）位相差位相差為不同值時的合成結果為不同值時的合成結果12整理p

23、pt用用旋旋轉轉矢矢量量描描繪繪振振動動合合成成圖圖整理ppt簡簡諧諧運運動動的的合合成成圖圖兩兩相相互互垂垂直直同同頻頻率率不不同同相相位位差差整理ppt整理ppt2 2 、 兩相互垂直不同頻率的簡諧運動的合成兩相互垂直不同頻率的簡諧運動的合成)cos(111tAx)cos(222tAynm212,83,4,8,0201測量振動頻率和相位測量振動頻率和相位李李 薩薩 如如 圖圖整理ppt李李 薩薩 如如 圖演示圖演示4-2-2 振動的分解* 一、一、 兩個頻率比為兩個頻率比為1:21:2的簡諧運動的合成的簡諧運動的合成 的特點的特點tAtAxxx 2coscos2121 x1x2xtTT2

24、如果將一系列角頻率是如果將一系列角頻率是某個基本角頻率某個基本角頻率（亦稱主（亦稱主頻）的整數(shù)倍的簡諧運動疊頻）的整數(shù)倍的簡諧運動疊加，則其合振動仍然是以加，則其合振動仍然是以為角頻率的周期性振動，但為角頻率的周期性振動，但一般不再是簡諧運動。一般不再是簡諧運動。 xtO一個以一個以為頻率的周期性函數(shù)為頻率的周期性函數(shù) f (t)，可以用傅里葉級數(shù)的余弦可以用傅里葉級數(shù)的余弦項表示為：項表示為： 10)cos()(nnntnAAtf 主頻主頻nn 次諧頻次諧頻tOxttttOOOO二、二、傅里葉級數(shù)展開傅里葉級數(shù)展開x=11354A(sinsinsinttt+35.)=4Ak = 08(2k+

25、1)(2k+1)sintxtTA主頻主頻53xt11354Ax=(sinsinsinttt+35)合成后合成后整理ppt周期信號的頻譜-分立譜鋸齒波頻譜 2/2/22/2/)(sin)sin()(TTTTndttndttntxA )( nA )sin()(tnAtxn 分立譜分立譜整理ppt一個非周期性振動可分解為無限多個頻率連續(xù)變化的簡諧振動一個非周期性振動可分解為無限多個頻率連續(xù)變化的簡諧振動四四 傅里葉變換傅里葉變換整理ppt矩形脈沖頻譜分析矩形脈沖頻譜分析整理ppt正弦脈沖串傅里葉變換正弦脈沖串傅里葉變換演示程序演示程序整理ppt4-3 阻尼振動、受迫振動和共振*4-3-1 阻尼振動

26、振動系統(tǒng)在回復力和阻力振動系統(tǒng)在回復力和阻力作用下發(fā)生的減幅振動作用下發(fā)生的減幅振動4-3-1 阻尼振動 振動系統(tǒng)在回復力和阻力振動系統(tǒng)在回復力和阻力作用下發(fā)生的減幅振動作用下發(fā)生的減幅振動txFdd v ：阻尼系數(shù)：阻尼系數(shù) 4-3 阻尼振動、受迫振動和共振*oxxrfkxf oxxrfkxf mmk2 ,20令令0dd2dd2022xtxtx0無阻尼時振子的固有頻率無阻尼時振子的固有頻率 阻尼因子阻尼因子txkxtxmdddd22動力學方程動力學方程4-3-1阻尼振動 整理ppt阻尼振動方程解討論22振幅隨時間按指數(shù)規(guī)律迅速減少。阻尼越大，減幅越振幅隨時間按指數(shù)規(guī)律迅速減少。阻尼越大，減幅

27、越迅速。振動周期大于自由振動周期振幅迅速。振動周期大于自由振動周期振幅 tAexot22cos方程解方程解costAet振動特點振動特點22 o tAexot22costOxAA202 振動曲線振動曲線22是質點不作往復運動的是質點不作往復運動的一個極限一個極限2222從最大位移緩慢回到平衡從最大位移緩慢回到平衡位置，不作往復運動。位置，不作往復運動。阻尼振動方程解討論0dd2dd2022xtxtx3.3.臨界阻尼臨界阻尼時時a：小阻尼：小阻尼b：過阻尼：過阻尼c：臨界阻尼：臨界阻尼處于臨界阻尼這種狀態(tài)物體從運動到靜止所需的時間是處于臨界阻尼這種狀態(tài)物體從運動到靜止所需的時間是最短的。在靈敏電

28、流計等精密儀表中，為了使人們能較最短的。在靈敏電流計等精密儀表中，為了使人們能較快地進行讀數(shù)測量，常使電流計偏轉系統(tǒng)處于臨界阻尼快地進行讀數(shù)測量，常使電流計偏轉系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)下工作。狀態(tài)下工作。臨界阻尼臨界阻尼的應用的應用整理ppt例例 . . 一物體懸掛在彈簧下作阻尼振動。開始時其振幅為一物體懸掛在彈簧下作阻尼振動。開始時其振幅為120 mm120 mm，經過經過2.42.4分鐘后，振幅減為分鐘后，振幅減為60 mm60 mm。問：阻尼系數(shù)為多少？。問：阻尼系數(shù)為多少？解：解：阻尼振動方程阻尼振動方程 tAextcostoeAA AAeot tAAoln 131081. 4604 .

29、260120ln s整理ppt4-3-2 受迫振動和共振*oxx4-3-2 受迫振動和共振*系統(tǒng)在周期性的外力持續(xù)系統(tǒng)在周期性的外力持續(xù)作用下所發(fā)生的振動。作用下所發(fā)生的振動。1. 1. 受迫振動受迫振動設設：tFFcos0rfkxf FtFtxkxtxm cosdddd022 mFfmmk0020,2, 令tfxtxtx cosdd2dd02022 tAtAxtcoscose02200方程的解方程的解動力學方程動力學方程4-3-2 受迫振動和共振*穩(wěn)定后的振動表達式穩(wěn)定后的振動表達式tAxcos受迫振動的頻率與策動力的頻率相等受迫振動的頻率與策動力的頻率相等受迫振動的振幅受迫振動的振幅22222004fA受迫振動的初相位受迫振動的初相位2202arctg結論：穩(wěn)態(tài)響應的振幅結論：穩(wěn)態(tài)響應的振幅, ,初相位與外力初相位與外力頻率有關頻率有關4-3-2 受迫振動和共振*共振：當策動力的頻率為某一特定值時，受迫振動的振幅共振：當策動力的頻率為某一特定值時，受迫振動的振幅將達到極大值的現(xiàn)象。將達到極大值的現(xiàn)象。2. 2. 共振共振 042222200 fAdddd共振頻率共振頻率220r2 2200r2 fA共振振幅共振振幅0