二重積分說課(共12頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高等數(shù)學(xué)（下）說課稿說課教師：方政蕊 （經(jīng)濟(jì)與數(shù)學(xué)系）各位評(píng)委、老師：大家好!我是經(jīng)濟(jì)與數(shù)學(xué)系的數(shù)學(xué)教師方政蕊，很榮幸能夠參加此次的說課活動(dòng)，希望各位評(píng)委、老師對(duì)我的說課內(nèi)容提出寶貴意見。下面我將就本學(xué)期我所擔(dān)任的高等數(shù)學(xué)這門課程所使用的教材、該課程的地位作用、教學(xué)方法的選擇、學(xué)生學(xué)法的指導(dǎo)和教學(xué)過程的設(shè)計(jì)等幾個(gè)方面來向大家做一簡(jiǎn)要介紹。一、教材介紹這門課所使用的教材是同濟(jì)大學(xué)出版社出版的面向21世紀(jì)普通高等教育規(guī)劃教材高等數(shù)學(xué)的下冊(cè)，該教材內(nèi)容符合教學(xué)大綱的要求，知識(shí)系統(tǒng)、體系結(jié)構(gòu)清晰、例題豐富、語(yǔ)言通俗易懂，講解透徹難度適中，在上冊(cè)一元函數(shù)微積分的基礎(chǔ)上進(jìn)一步較系

2、統(tǒng)地介紹多元函數(shù)微分學(xué)，多元函數(shù)積分學(xué)，無窮級(jí)數(shù)和微分方程等高等數(shù)學(xué)的知識(shí)。二、課程介紹1、地位和作用高等數(shù)學(xué)在當(dāng)今社會(huì)的各個(gè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，因而“高等數(shù)學(xué)”是理工類本科教學(xué)重要基礎(chǔ)課之一，通過本課程的教學(xué)，旨在使學(xué)生掌握該課程的基本概念、基本理論和方法，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的意識(shí)和能力，為學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)后續(xù)相關(guān)專業(yè)課奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。2、教學(xué)目標(biāo) （1）、理解多元函數(shù)的概念、會(huì)求二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分 （2）、能將多元函數(shù)應(yīng)用到幾何上，會(huì)求極值 （3）、理解多元函數(shù)的概念、性質(zhì)，掌握二重積分的計(jì)算方法 （4）、掌握三重積分、曲線積分和曲面積分的計(jì)算方法 （5）、理解無窮級(jí)數(shù)

3、的概念、性質(zhì)，掌握判別級(jí)數(shù)收斂性的方法 （6）、會(huì)將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)或傅里葉級(jí)數(shù) （7）、理解微分方程的概念，掌握求微分方程的解的方法3、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn) （1）、求二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、極值 （2）、求二重積分、三重積分、曲線積分和曲面積分 （3）、無窮級(jí)數(shù)的收斂性判別、將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)或傅里葉級(jí)數(shù) （4）、解微分方程二、教學(xué)方法科學(xué)合理的教學(xué)方法能使教學(xué)效果事半功倍，達(dá)到教與學(xué)的和諧完美統(tǒng)一。數(shù)學(xué)是本科教學(xué)中的重要基礎(chǔ)課，是一門培養(yǎng)和發(fā)展人的思維的重要學(xué)科，因此，在中，不僅要使學(xué)生“知其然”而且要使學(xué)生“知其所以然”。根據(jù)教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生的認(rèn)知水平，我主要采取教師啟發(fā)講授、適當(dāng)點(diǎn)撥和學(xué)

4、生探究學(xué)習(xí)的教學(xué)方法。教學(xué)過程中，教師可以系統(tǒng)的傳授知識(shí)，充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，根據(jù)教材提供的線索，安排適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)情境，讓學(xué)生展示相應(yīng)的數(shù)學(xué)思維過程，使學(xué)生有機(jī)會(huì)經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念抽象的各個(gè)階段，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立自主地開展思維活動(dòng)，深入探究，在思考中體會(huì)數(shù)學(xué)圖象變換過程中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)方法，使之獲得內(nèi)心感受，特別是通過多媒體課件的演示，直觀展示函數(shù)圖象的變化過程，激發(fā)學(xué)生的興趣，從而創(chuàng)造性地解決問題，最終形成概念，獲得方法，培養(yǎng)能力，突出學(xué)生的主體地位除使用常規(guī)的教學(xué)手段外，還將使用多媒體投影和計(jì)算機(jī)來輔助教學(xué)，目的是充分發(fā)揮其快捷、生動(dòng)、形象的特點(diǎn)，為學(xué)生提供直觀感性的材料，有助于學(xué)生對(duì)問題的理解和認(rèn)

5、識(shí)。三、學(xué)生學(xué)法指導(dǎo)我們常說：“授人以魚不如授人以漁”，因而在中要特別重視學(xué)法的指導(dǎo)。轉(zhuǎn)變學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，不僅有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，而且有利于促進(jìn)學(xué)生整體學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變。我以大綱和課程標(biāo)準(zhǔn)為指導(dǎo)，輔以多媒體手段，結(jié)合師生共同討論、歸納，著重引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)探索研究的學(xué)習(xí)方法。探究式學(xué)習(xí)法的好處是學(xué)生主動(dòng)參與知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程，在探究的過程中激發(fā)學(xué)生的好奇心和創(chuàng)新意識(shí)，在探究過程中學(xué)習(xí)科學(xué)研究的方法,在探究過程中培養(yǎng)堅(jiān)韌不拔的精神。學(xué)生掌握了這種學(xué)習(xí)方法后，對(duì)學(xué)生終生學(xué)習(xí)都有積極意義。四、       教學(xué)過程的設(shè)計(jì)為完成本門課的教

6、學(xué)目標(biāo)，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，我把教學(xué)過程設(shè)計(jì)為六個(gè)階段：創(chuàng)設(shè)情境，引入課題；歸納探索，形成概念；掌握求法，適當(dāng)延展；適當(dāng)練習(xí)，鞏固新課；歸納小結(jié)，提高認(rèn)識(shí)；作業(yè)布置，鞏固提高。具體過程如下：1、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題在學(xué)生原有的知識(shí)體系上,通過類比逐步引導(dǎo)學(xué)生從一元函數(shù)的極限、連續(xù)、求導(dǎo)和積分到多元函數(shù)的的極限、連續(xù)、求導(dǎo)和積分過渡,發(fā)現(xiàn)兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系, 這樣獲取的知識(shí)，不但易于保持，而且易于遷移到陌生的問題情境中。2、歸納探索，形成概念由引例得出新課的知識(shí)點(diǎn)，如在講多元函數(shù)積分的概念上，由兩個(gè)引例求曲頂柱體的體積和平面薄片的質(zhì)量的講解，歸納總結(jié)出多元函數(shù)積分的概念。3、掌握求法，適當(dāng)延展通過

7、例題的講解，讓學(xué)生掌握多元函數(shù)微積分的計(jì)算方法。在講解例題時(shí)，不僅在于怎樣解，更在于為什么這樣解，而及時(shí)對(duì)解題方法和規(guī)律進(jìn)行概括，有利于發(fā)展學(xué)生的思維能力。在課本例題的基礎(chǔ)上，適當(dāng)將題目引申,使例題的作用更加突出，有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的串聯(lián)、累積、加工，從而達(dá)到舉一反三的效果。4、適當(dāng)練習(xí)，鞏固新課針對(duì)學(xué)生素質(zhì)的差異進(jìn)行分層訓(xùn)練，既使學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)，又使學(xué)有余力的學(xué)生有所提高，從而達(dá)到拔尖和“減負(fù)”的目的，具體做法是課堂提問和讓學(xué)生到黑板上解題。5、歸納小結(jié)，提高認(rèn)識(shí)知識(shí)性內(nèi)容的小結(jié)，可把課堂教學(xué)傳授的知識(shí)盡快化為學(xué)生的素質(zhì)；數(shù)學(xué)思想方法的小結(jié)，可使學(xué)生更深刻地理解數(shù)學(xué)思想方法在解題中的地位和應(yīng)

8、用，并且逐漸培養(yǎng)學(xué)生的良好的個(gè)性品質(zhì)目標(biāo)。6、作業(yè)布置，鞏固提高：根據(jù)學(xué)生的不同層次分為必做和選做,由學(xué)生自主選擇“二重積分”的教學(xué)方案的設(shè)計(jì)經(jīng)濟(jì)與數(shù)學(xué)系 方政蕊二重積分是高等數(shù)學(xué)下冊(cè)第六章第一節(jié)的內(nèi)容。在此之前，學(xué)生已學(xué)習(xí)了定積分,這為過渡到本節(jié)的學(xué)習(xí)起著鋪墊作用。本節(jié)內(nèi)容在高等數(shù)學(xué)中，占據(jù)著重要地位，以及為其他學(xué)科和今后專業(yè)課程的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。本著課程標(biāo)準(zhǔn)，在吃透教材的基礎(chǔ)上，我確立了如下的教學(xué)目標(biāo)、重點(diǎn)和教學(xué)難點(diǎn):一、 教學(xué)目標(biāo)：1、理解二重積分的概念與性質(zhì) 2、掌握利用直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)計(jì)算二重積分二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：二重積分的計(jì)算三、教學(xué)準(zhǔn)備：1、教師：查看參考書、編寫教案或課件制作

9、 2、學(xué)生：課前預(yù)習(xí)四、教學(xué)時(shí)間：2課時(shí)五、教學(xué)方案設(shè)計(jì)為達(dá)到本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，我把教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)為四個(gè)階段：創(chuàng)設(shè)情境，引入課題；歸納探索，形成概念；掌握求法，適當(dāng)延展；歸納小結(jié)，提高認(rèn)識(shí)，具體過程如下：1、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題長(zhǎng)期以來，我們的學(xué)生為什么對(duì)數(shù)學(xué)不感興趣，甚至害怕數(shù)學(xué)，其中的一個(gè)重要因素就是數(shù)學(xué)離學(xué)生的生活實(shí)際太遠(yuǎn)了。事實(shí)上，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該與學(xué)生的生活融合起來，從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和已有的知識(shí)背景出發(fā)，讓他們?cè)谏钪腥グl(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、探究數(shù)學(xué)、認(rèn)識(shí)并掌握數(shù)學(xué)。 概念的形成主要依靠對(duì)感性材料的抽象概括，只有學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)對(duì)象有了豐富具體經(jīng)驗(yàn)以后，才能使學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)對(duì)象進(jìn)行主動(dòng)的、充分

10、的理解，因此在本節(jié)的教學(xué)中，我從具體的兩個(gè)實(shí)例引出概念：（1）、曲頂柱體的體積先用兩分鐘時(shí)間，讓學(xué)生回憶學(xué)習(xí)定積分時(shí)求曲邊梯形面積的方法，再利用類比的方法講解求曲頂柱體的體積。（2）、平面薄片的質(zhì)量用同樣的方法求出平面薄片的質(zhì)量2、歸納探索，形成概念把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型是學(xué)生形成和掌握概念的前提，也是培養(yǎng)學(xué)生觀察分析能力的重要一步，以上兩個(gè)實(shí)例可以抽象地給出二重積分的定義，從而引出二重積分的概念。（1）、對(duì)概念作進(jìn)一步解釋，并與定積分的概念作比較，加深學(xué)生的印象，最后強(qiáng)調(diào)幾個(gè)要點(diǎn)。（2）、給出二重積分的性質(zhì)，使學(xué)生能更深刻地理解二重積分。3、掌握求法，適當(dāng)延展（1）、直角坐標(biāo)系下二重積分的

11、求法在講二重積分的計(jì)算前，先讓學(xué)生回顧定積分的基本公式和計(jì)算方法，提問兩位學(xué)生，得出結(jié)論。再重點(diǎn)介紹二重積分的計(jì)算方法，對(duì)于不同的區(qū)域要用不同的積分次序進(jìn)行積分，詳細(xì)講解兩種區(qū)域的特點(diǎn)，推導(dǎo)出計(jì)算二重積分的公式。（2）、講解例題選擇典型而具有代表性的例題3個(gè)，一個(gè)的積分區(qū)域是-型，一個(gè)既是-型又是-型，一個(gè)既不是-型也不是-型，使學(xué)生掌握不同積分區(qū)域的二重積分的計(jì)算，并及時(shí)對(duì)解題方法和規(guī)律進(jìn)行概括，有利于發(fā)展學(xué)生的思維能力。（3）、極坐標(biāo)下二重積分的求法很多學(xué)生沒有學(xué)過極坐標(biāo)，所以先對(duì)極坐標(biāo)作簡(jiǎn)單的介紹，再講解用極坐標(biāo)求二重積分，通過直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的變換得出公式，并強(qiáng)調(diào)在什么情況下選擇用極坐

12、標(biāo)求二重積分。（4）、講解例題選擇例題2個(gè)，一個(gè)是既可以用直角坐標(biāo)計(jì)算又可以用極坐標(biāo)計(jì)算，另一個(gè)是只能用極坐標(biāo)計(jì)算的例子，經(jīng)過對(duì)比，使學(xué)生了解有時(shí)用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分會(huì)減少很多計(jì)算量。（5）、能力訓(xùn)練為了使學(xué)生達(dá)到對(duì)知識(shí)的深化理解，從而達(dá)到鞏固提高的效果，我特地設(shè)計(jì)了一組即時(shí)訓(xùn)練題，并且把課本的例題熔入即時(shí)訓(xùn)練題中，隨機(jī)抽兩位學(xué)生到黑板上做課堂練習(xí)，再作評(píng)講，使學(xué)生能鞏固所學(xué)知識(shí)與解題思想方法。（6）、變式延伸，進(jìn)行重構(gòu)重視課本例題，適當(dāng)對(duì)題目進(jìn)行引申,使例題的作用更加突出，有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的串聯(lián)、累積、加工，從而達(dá)到舉一反三的效果。4、歸納小結(jié)，提高認(rèn)識(shí)提出問題：這節(jié)課你們學(xué)到了什么？鼓勵(lì)學(xué)

13、生積極回答，答不完整的沒有關(guān)系，其它同學(xué)補(bǔ)充。以此培養(yǎng)學(xué)生的口頭表達(dá)能力，歸納概括能力。5、布置作業(yè) 根據(jù)學(xué)生的不同層次分為必做和選做,由學(xué)生自主選擇。六、板書設(shè)計(jì)好的板書就像一份微型教案，此板書力圖全面而簡(jiǎn)明的將授課內(nèi)容傳遞給學(xué)生，清晰直觀，便于學(xué)生理解和記憶，理清文章脈絡(luò)。我在上這節(jié)課時(shí)較注重板書的設(shè)計(jì)，將定義、性質(zhì)和計(jì)算方法寫在黑板的左邊，例題和講解寫在黑板的右邊，特別是有的例題沒有馬上擦去，保留到下一個(gè)例子講完，這樣就可以進(jìn)行對(duì)比。下面附上板書設(shè)計(jì)與詳細(xì)教案：附1：板書設(shè)計(jì)6.1二重積分一、 二重積分的概念與性質(zhì)1引例（1）、曲頂柱體的體積（2）、平面薄片的質(zhì)量2、二重積分的概念3、二

14、重積分的性質(zhì)二、二重積分的計(jì)算1、利用直角坐標(biāo)系計(jì)算例題：2、利用極坐標(biāo)計(jì)算例題練習(xí)：*附2：教案第一節(jié) 二重積分教學(xué)目標(biāo)：1、理解二重積分的概念與性質(zhì) 2、掌握利用直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)計(jì)算二重積分教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：二重積分的計(jì)算一、二重積分的概念1. 引例1：曲頂柱體的體積設(shè)有一空間立體,它的底是面上的有界區(qū)域,它的側(cè)面是以的邊界曲線為準(zhǔn)線,而母線平行于軸的柱面,它的頂是曲面()，稱這種立體為曲頂柱體。曲頂柱體的體積可以這樣來計(jì)算:(1) 用任意一組曲線網(wǎng)將區(qū)域分成個(gè)小區(qū)域，以這些小區(qū)域的邊界曲線為準(zhǔn)線,作母線平行于軸的柱面,這些柱面將原來的曲頂柱體分劃成個(gè)小曲頂柱體，。 （假設(shè)所對(duì)應(yīng)的小曲頂柱

15、體為,這里既代表第個(gè)小區(qū)域,又表示它的面積值, 既代表第個(gè)小曲頂柱體,又代表它的體積值）。從而 圖9-1-1(2) 由于連續(xù),對(duì)于同一個(gè)小區(qū)域來說,函數(shù)值的變化不大。因此,可以將第個(gè)小曲頂柱體近似地看作小平頂柱體,于是 ，整個(gè)曲頂柱體的體積近似值為 (3) 為得到的精確值,只需讓這個(gè)小區(qū)域越來越小,即讓每個(gè)小區(qū)域向某點(diǎn)收縮。為此,我們引入?yún)^(qū)域直徑的概念:一個(gè)閉區(qū)域的直徑是指區(qū)域上任意兩點(diǎn)距離的最大者。所謂讓區(qū)域向一點(diǎn)收縮性地變小,意指讓區(qū)域的直徑趨向于零。設(shè)個(gè)小區(qū)域直徑中的最大者為,定義2.引例2：平面薄片的質(zhì)量設(shè)有一平面薄片占有面上的區(qū)域, 它在處的面密度為（）,現(xiàn)計(jì)算該平面薄片的質(zhì)量。(1

16、)將分成個(gè)小區(qū)域 ，既代表第個(gè)小區(qū)域又代表它的面積。(2)第小平面薄片的質(zhì)量可近似為 圖9-1-2 ， 整個(gè)平面薄片的質(zhì)量的近似值為 (3)記為的直徑，, 整個(gè)平面薄片的質(zhì)量定義為 綜上，兩種實(shí)際意義完全不同的問題, 都?xì)w結(jié)同一形式的極限。因此,有必要撇開這類極限問題的實(shí)際背景, 給出一個(gè)更廣泛、更抽象的數(shù)學(xué)概念,即二重積分。3. 二重積分的定義定義 設(shè)是閉區(qū)域上的有界函數(shù)。(1) 將區(qū)域任意分成個(gè)小區(qū)域，其中, 既表示第個(gè)小區(qū)域, 也表示它的面積。(2) 在第個(gè)小區(qū)域上任取一點(diǎn)，作乘積 ，作和 (3) 記為的直徑，若極限 存在，則稱此極限值為函數(shù)在區(qū)域上的二重積分,記作 ，即 其中: 稱為被

17、積函數(shù), 稱為被積表達(dá)式,稱為面積元素,稱為積分變量, 稱為積分區(qū)域, 稱為積分和式。4. 幾點(diǎn)說明：(1) 極限 的存在性不依賴區(qū)域的分割，也不依賴的取法。 (2) 二重積分的存在性定理：若在閉區(qū)域上連續(xù), 則在上的二重積分存在。(3) 中的面積元素象征著積分和式中的。由于二重積分的定義中對(duì)區(qū)域的劃分是任意的,若用一組平行于坐標(biāo)軸的直線來劃分區(qū)域,因此,可以將記作 (為直角坐標(biāo)系下的面積元素 ) 二重積分也可表示成為 。 圖9-1-3 (4) 若,二重積分表示以為曲頂,以為底的曲頂柱體的體積，即 二、二重積分的性質(zhì)1. 線性性質(zhì)其中:是常數(shù)。2. 對(duì)區(qū)域的可加性若區(qū)域分為兩個(gè)部分區(qū)域,則3.

18、 若在上, ,表示區(qū)域的面積,則4. 若在上, ,則有不等式特別地,由于，有5. 估值不等式設(shè)與分別是在閉區(qū)域上最大值和最小值,是區(qū)域的面積,則6. 二重積分的中值定理設(shè)函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù), 是的面積,則在上至少存在一點(diǎn),使得證明：由于在閉區(qū)域上連續(xù)，故在閉區(qū)域上取得其最大值和最小值。由性質(zhì)5，得顯然，因此有再由二元函數(shù)的介值性質(zhì)知道，至少存在一點(diǎn)，使得 即例1 比較積分與，其中是三頂點(diǎn)為，和的三角形。例2 估計(jì)積分值 其中三、二重積分的計(jì)算法1、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分根據(jù)二重積分的幾何意義可知, 當(dāng)時(shí)，的值等于以為底,以曲面為頂?shù)那斨w的體積。在區(qū)間上任意取定一個(gè)點(diǎn),作平行于面的平面,這平面截曲頂柱體所得截面是一個(gè)以區(qū)間為底, 為曲邊的曲邊梯形,其面積為 一般地,過區(qū)間上任一點(diǎn)且平行于面的平面截曲頂柱體所得截面的面積為利用計(jì)算平行截面面積為已知的立體的體積的方法,該曲頂柱體的體積為從而有這也稱為先對(duì), 后對(duì)的二次積分，也常記作其中：積分區(qū)域?yàn)椤Ｈ绻e分區(qū)域?yàn)椋瑒t二重積分也可化為例1 計(jì)算 ，其中解：由二重積分的計(jì)算方法，得例2 ，其