圓的標準方程 人教試驗修訂本

1、圓的標準方程圓的標準方程OXY求：圓心是求：圓心是C(a,b)，半徑是，半徑是r的圓的方程。的圓的方程。xCMrOy解：解：設設M（x，y）是圓上任意一點）是圓上任意一點則則 |MC|=r 又兩點間的距離公式：又兩點間的距離公式：rbyax22）（）（兩邊平方得兩邊平方得（x-a）2+（y-b）2=r2圓心為圓心為C(a,b)，半徑為，半徑為r的圓的方程的圓的方程圓標準方程圓標準方程 的特點：的特點： 2、確定圓的方程必須具備三個獨立、確定圓的方程必須具備三個獨立條件。條件。 1、明確給出圓心和半徑，其中圓心明確給出圓心和半徑，其中圓心(a,b)定位定位,半徑半徑r0定大小。定大小。注注：確定

2、確定a、b、r，可以根據(jù)條件利用，可以根據(jù)條件利用待定系數(shù)法來解決。待定系數(shù)法來解決。222)()(rbyax特例：圓心在原點的圓的方程為特例：圓心在原點的圓的方程為x2+y2=r2.練習練習1 1：寫出下列各圓的標準方程。寫出下列各圓的標準方程。1 1、圓心在點、圓心在點C(3,4),C(3,4),半徑是半徑是 3 3、經(jīng)過點經(jīng)過點P(5,1),P(5,1),圓心在圓心在C(8,-3)C(8,-3)2、圓心在點（、圓心在點（-1，-2），半徑是），半徑是981)2() 1(22yx25)3()8(22yx55)4() 3(22yx例例1 判斷下列命題是否正確判斷下列命題是否正確:（1）圓圓(

3、x-1)2+(y-2)2=3的圓心坐標是的圓心坐標是 （-1，-2），半徑是半徑是3. (2)圓圓(2x-2)2+(2y+4)2=2的圓心坐標為的圓心坐標為 (2，-4)，半徑為，半徑為 (3)圓圓(x+1)2+(y+2)2=m2(m0)的圓心坐標的圓心坐標 為為(-1，-2)，半徑為，半徑為m.2221），半徑，圓心（ 圓心圓心(-1,-2),半徑半徑m2圓心圓心(1,2),半徑半徑3CyxO例2:求以（，）為圓心求以（，）為圓心，并且，并且和直線和直線x-4y-相切的圓的方程相切的圓的方程.解解: : 因為圓因為圓C C和直線和直線x-4y-7=0 相切相切 所以圓心所以圓心C C到這條直

4、線的距離等到這條直線的距離等于半徑于半徑r r 根據(jù)點到直線的距離公式，得根據(jù)點到直線的距離公式，得| 31 43 7 |32+(-4)2=516r =因此，所求圓的方程是因此，所求圓的方程是 25256) 3() 1(22yx練習練習2：2、以、以C（,-）為圓心，分別求與）為圓心，分別求與x軸，軸，y軸相切的圓的方程軸相切的圓的方程.1 1、已知一個圓的圓心在原點，并、已知一個圓的圓心在原點，并與直線與直線4x+3y-70=04x+3y-70=0相切的圓方程相切的圓方程C(1，-2)yxOyxOC(1，-2)當點當點M在坐標軸上時，可以驗證上面方程同樣適用在坐標軸上時，可以驗證上面方程同樣

5、適用. 例例3：已知圓的方程是已知圓的方程是 ,求經(jīng)求經(jīng)過圓上一點過圓上一點 的切線的方程。的切線的方程。222ryx),(00yxM),(00yxMyxO 所求的切線方程是所求的切線方程是因為點因為點M M在圓上在圓上, ,所以所以經(jīng)過點經(jīng)過點M M的切線方程是的切線方程是 解解: :設切線的斜率為設切線的斜率為k,k,則則k=k=200ryyxx22020ryxOMk100 xykOMoyxk0)(0000 xxyxyy因為因為,所以所以分析二：設分析二：設P(x，y)是切線上任一點。連是切線上任一點。連OM，OP，根據(jù)勾股定理可得：根據(jù)勾股定理可得：OM2+MP2=OP2再利用再利用兩點

6、間距離公式也可求得切線方程為兩點間距離公式也可求得切線方程為 xx0+yy0=r2分析三分析三:設設P(x，y)是切線上任一點。連是切線上任一點。連OM，由由OMMP可知，可知，化簡得切線方程為化簡得切線方程為 xx0+yy0=r2M(x0,y0)OXYP(x,y)0 MPOM練習練習:1、寫出過圓上一點寫出過圓上一點(2，)的的切線方程。切線方程。2、從圓、從圓 外一點（，）向外一點（，）向該圓引切線，求切線方程。該圓引切線，求切線方程。 x+3y=10 或 3x-y=1061062yx1022yx1022yx例、某圓拱橋的一孔例、某圓拱橋的一孔圓拱，其跨度為圓拱，其跨度為20m，高，高度為

7、度為4m，在建造時每隔，在建造時每隔4m需用一個支柱支撐，求需用一個支柱支撐，求較長支柱的長度。較長支柱的長度。如圖是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖如圖是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖,該該圓拱的跨度圓拱的跨度AB=20m,拱高拱高OP=4m，在建造時，在建造時每隔每隔4m需用一需用一個支柱支撐，個支柱支撐，求支柱求支柱 的長度的長度。（精確到。（精確到0.01m）22PABAOPA3A2P2A4A1解：建立坐標系如圖所示解：建立坐標系如圖所示yxPoxy2AAB2P3A4A1A(0,b).0 ,10(),4 , 0(, 的坐標為依題意點BP代入圓的方程得代入圓的方程得222)4(0rb222)0(1

8、0rb.5 .14, 5 .1022rb2225 .14)5 .10( yx所求圓的方程為)(86. 322myxP代入得的橫坐標把(因為因為y0)答答：支支柱柱A2P2的的長長度度約約為為3.86m。設圓心坐標為設圓心坐標為(0,b),半徑為半徑為r,222)(rbyx則圓的標準方程：則圓的標準方程：、已知兩點、已知兩點A（4，9）和和B（6，3）求以為直經(jīng)的圓的方程。求以為直經(jīng)的圓的方程。、已知圓的方程是求、已知圓的方程是求:（）斜率等于（）斜率等于1的切線的方程。的切線的方程。（）在（）在y軸上截距是軸上截距是 的切線的方程。的切線的方程。、求過點求過點（5，15）向圓向圓所引的切線方程

9、。所引的切線方程。隨堂練習隨堂練習2122yx2522yx分析（軌跡法）分析（軌跡法）：在圓上任在圓上任取一點取一點M(x,y)連，連，為直徑的圓的方程。求以，）（引申：已知兩點AByxByxA),(,22110 BMAMM(x,y)BMAMyO0)()(2121yyyyxxxx得則則即即回回2、已知圓的方程是、已知圓的方程是x2+y2=1求求:(1)斜率等于斜率等于1的切線的方程。的切線的方程。(2)在在y軸上截距是軸上截距是 的的切線的方程。切線的方程。2yxO（，）（，）22 xy2xy、求過點（，）向、求過點（，）向的圓所引的切線的圓所引的切線方程。方程。2522yxyxO（，）（，）)(0, 0YXM解解：經(jīng)驗證點經(jīng)驗證點A在已知圓外，設所求切線在已知圓外，設所求切線的切點為的切點為M（x0，y0），則切線方程為：則切線方程為：x0 x+ y0 y=25又點又點A在切線上，所以：在切線上，所以：5x0+15 y0=25 252020 yx