無窮小階的比較

1、無窮小階的 比較 高等數(shù)學(xué)在線開放課程 無窮小無窮小階的比較階的比較 速度可比時(shí)速度可比時(shí), ,極限值不同極限值不同, ,反映了兩個(gè)無窮小趨向反映了兩個(gè)無窮小趨向于零的于零的“快慢快慢”程度不同程度不同. .xxx3lim200sinlimxxx2201sinlimxxxx20 x sin0;xx 與與速速度度大大致致相相同同不可比不可比. .,0 xx1sinlim0 觀察各極限觀察各極限例如例如, 都是無窮小.時(shí),當(dāng)0 x2213, sin,sinx xx xx的速度要比的速度要比3x快得多快得多;不不存在存在，1, 定義定義 設(shè)設(shè) 及及 為自變量的同一為自變量的同一個(gè)變化個(gè)變化過程中的過

2、程中的無窮無窮小小，且且 0， 也也是在這個(gè)變化過程中的極限是在這個(gè)變化過程中的極限lim lim 若若0 ,(0) ,c 1,lim0 (0),kck 若若稱稱 是比是比 高階的高階的無窮小無窮小,記作記作稱稱 是是 比比 低階的低階的無窮小無窮小;稱稱 與與 是是同階同階無窮小無窮小,特別地特別地:稱稱 與與 是是等價(jià)無窮小等價(jià)無窮小,記作記作 .稱稱 是是 的的 k 階無窮小階無窮小.( )； 階的比較舉例階的比較舉例xxx3lim200sinlimxxx2= (3)xoxsin xx ,0 例如例如,時(shí),當(dāng)0 x23, sin1- cosx xxx，1, 201cos1lim,2xxx

3、 21cos xx 與與是同階無窮小是同階無窮小5 定理定理 設(shè)設(shè)函數(shù)函數(shù) 是自變量同一變化過程中的無是自變量同一變化過程中的無窮小，窮小， 且且 是同一變化過程中的極限，是同一變化過程中的極限，則當(dāng)則當(dāng)極限極限 存在時(shí)，極限存在時(shí)，極限 也存在，也存在，且且limlim. , , lim lim lim 定理的意義：求定理的意義：求兩個(gè)無窮小比值的極限時(shí)兩個(gè)無窮小比值的極限時(shí) 分子及分母都可分子及分母都可用等價(jià)無窮小來代替用等價(jià)無窮小來代替 常用等價(jià)無窮小常用等價(jià)無窮小: :0 x sin,arcsin,tan, arctan,xxxxxxxx(1)1 .xx (1) 上述等價(jià)上述等價(jià)無窮小

4、必須熟練掌握無窮小必須熟練掌握; ;(2) 將將x換成任意換成任意 f (x) 0 都成立都成立.注意注意:當(dāng) 時(shí)，21ln (1) ,1 ,1cos2，xxxexxx 30ln(12 )lim1xxxe 例例、 計(jì)算計(jì)算30ln(12 )lim1xxxe 02lim3xxx 當(dāng)當(dāng) x 0 時(shí)時(shí), -2 x 0 ， 3 x 0 解解31 3,xex ln(12) 2,xx 所以所以2.3 注意：注意：對分子和對分子和分母中分母中乘積的無窮小可作乘積的無窮小可作等價(jià)無窮小代換等價(jià)無窮小代換! ! 對于對于代數(shù)和中各代數(shù)和中各無窮小替換時(shí)容易產(chǎn)生大的誤差，變成錯(cuò)誤，無窮小替換時(shí)容易產(chǎn)生大的誤差，變成錯(cuò)誤，不可無窮小代換不可無窮小代換. .8無窮小無窮小的比較內(nèi)容的比較內(nèi)容小結(jié)小結(jié)(1) 無窮小的比較無窮小的比較反映反映了同一過程中了同一過程中, 兩無窮小趨于零的速度快慢兩無窮小趨于零的速度快慢, 但并不但并不是所有的無窮小都可進(jìn)行比較是所有的無窮小都可進(jìn)行比較; 正確理解無窮小的階及正確理解無窮小的階及高階、低階、等價(jià)無窮小