反三角函數(shù)的概念和性質(zhì)

1、反三角函數(shù)的概念和性質(zhì)一基礎(chǔ)知識自測題：1函數(shù)yarcsinx的定義域是 1, 1 ，值域是.2函數(shù)yarccosx的定義域是 1, 1 ，值域是 0, .3函數(shù)yarctgx的定義域是 R ，值域是.4函數(shù)yarcctgx的定義域是 R ，值域是 (0, ) .5arcsin(); arccos(); arctg(1); arcctg().6sin(arccos); ctgarcsin(); tg(arctg); cos(arcctg).7若cosx, x(, )，則x.8若sinx, x(, 0)，則x.9若3ctgx10, x(0, )，則x.二基本要求：1正確理解反三角函數(shù)的定義，把握

2、三角函數(shù)與反三角函數(shù)的之間的反函數(shù)關(guān)系；2掌握反三角函數(shù)的定義域和值域，yarcsinx, x1, 1, y，, yarccosx, x1, 1, y0, , 在反三角函數(shù)中，定義域和值域的作用更為明顯，在研究問題時，一定要先看清楚變量的取值范圍；3符號arcsinx可以理解為，上的一個角或弧，也可以理解為區(qū)間，上的一個實數(shù)；同樣符號arccosx可以理解為0，上的一個角或弧，也可以理解為區(qū)間0，上的一個實數(shù)；4yarcsinx等價于sinyx, y，, yarccosx等價于cosyx, x0, , 這兩個等價關(guān)系是解反三角函數(shù)問題的主要依據(jù)；5注意恒等式sin(arcsinx)x, x1,

3、 1 , cos(arccosx)x, x1, 1, arcsin(sinx)x, x，, arccos(cosx)x, x0, 的運用的條件；6掌握反三角函數(shù)的奇偶性、增減性的判斷，大多數(shù)情況下，可以與相應(yīng)的三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)結(jié)合起來理解和應(yīng)用；7注意恒等式arcsinxarccosx, arctgxarcctgx的應(yīng)用。例一下列各式中成立的是（C）。（A）arcctg(1) （B）arccos() （C）sinarcsin() （D）arctg(tg)解：(A)(B)中都是值域出現(xiàn)了問題，即arcctg(1)(0, ), arccos()0, ,(D)中，arctg(tg), , 而，,

4、 (A)(B)(D)都不正確。例二下列函數(shù)中，存在反函數(shù)的是（D）。（A）ysinx, x, 0 （B）ysinx, x, （C）ysinx, x, （D）ysinx, x,解：本題是判斷函數(shù)ysinx在哪個區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，由于ysinx在區(qū)間,上是單調(diào)遞減函數(shù)， 所以選D。例三 arcsin(sin10)等于（C）。（A）210 （B）102 （C）310 （D）103解：本題是判斷哪個角度的正弦值與sin10相等，且該角度在, 上。由于sin(310)sin(10)sin10, 且310, , 所以選C。例四求出下列函數(shù)的反函數(shù)，并求其定義域和值域。（1）f (x)2sin2x, x,

5、;（2）f (x)arccos2x.解：(1) x, , 2x, , 2x, , 2y2由y2sin2x, 得sin2x, sin(2x)sin2x, 2xarcsin(), xarcsin, f 1(x)arcsin, 2x2, y, .(2) f (x)arccos2x, x, , y, arccos2xy, 2xcos(y), xcos(y)siny,f 1(x)sinx , x, y, .例五求下列函數(shù)的定義域和值域：(1) yarccos; (2) yarcsin(x2x); (3) yarcctg(2x1),解：(1) yarccos, 01, 0 arcctg(2x1), xR,

6、 y(0, ).例六求下列函數(shù)的值域：(1) yarccos(sinx), x(, ); (2) yarcsinxarctgx.解：(1) x(, ), sinx(, 1, y0, ).(2) yarcsinxarctgx., x1, 1, 且arcsinx與arctgx都是增函數(shù), arcsinx, arctgx, y,.例七判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1) f (x)xarcsin(sinx); (2) f (x)arcctgx.解：(1) f (x)的定義域是R， f (x)(x)arcsinsin(x)xarcsin(sinx)f (x), f (x)是偶函數(shù);(2) f (x)的定義域是

7、R, f (x)arcctg(x)(arcctgx)arcctgxf (x), f (x)是奇函數(shù).例八作函數(shù)yarcsin(sinx), x, 的圖象.解：yarcsin(sinx), x, , 得, 圖象略。例九比較arcsin, arctg, arccos()的大小。解：arcsin, arctg, arccos()最大,設(shè)arcsin，sin, 設(shè)arctg, tg, sinsin, , arctg arcsin arccos().例十解不等式：(1) arcsinx.解：(1) x1, 1, 當(dāng)x時, arcsinxarccosx, 又arcsinx是增函數(shù),arccosx是減函數(shù)，

8、 當(dāng)x1, )時, arcsinx, arcsinxarcsin, arcsinx是增函數(shù), 0 （B）arcctgx0 （C）arcsinx0 （D）arctgx02定義在(, )上的減函數(shù)是（D）。（A）yarcsinx （B）yarccosx （C）yarctgx （D）yarcctgx3不等式arcsinx的解集是. 4不等式arccosx的解集是.四試題精選：(一) 選擇題：1cos(arccos)的值是（D）。（A） （B） （C）cos （D）不存在2已知arcsinx1，那么x的范圍是（C）。（A）sin1x （B）sinxx （C）sin1x1 （D）3已知yarcsinxa

9、rctg|x| (1x1)， 那么這個函數(shù)（A）。（A）是奇函數(shù) （B）是偶函數(shù) （C）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) （D）非奇非偶函數(shù)4若aarcsin(), barcctg(), carccos()，則a, b, c的大小關(guān)系是（B）。（A）abc （B）acb （C）cab （D）cba5已知tgx, x(, )，則x（C）。（A）arctg()（B）arctg()（C）arctg()（D）6函數(shù)f (x)2arccos(x2)的反函數(shù)是（D）。（A）y(cosx2) (0x) （B）y cos(x2) (0x2) （C）y cos(2) (0x) （D）y cos2 (0x2)7若arccos

10、x1，則x的取值范圍是（D）。（A）1, 1 （B）1, 0 （C）0, 1 （D）1, arccos18函數(shù)yarccos(sinx) (x)的值域是（B）。（A）(, ) （B）0, （C）(, ) （D）,9已知x1, 0，則下列等式成立的是（B）。（A）arcsinarccosx （B）arcsinarccosx （C）arccosarcsinx （D）arccosarcsinx10直線2xy30的傾斜角等于（C）。（A）arctg2 （B）arctg(2) （C）arctg2 （D）arctg(2)(二) 填空題：11若cos ()，則. (用反余弦表示)12函數(shù)y(arcsinx)

11、22arcsinx1的最小值是 2 .13函數(shù)y2sin2x (x, )的反函數(shù)是.14函數(shù)yarcsin的定義域是 x1或x3 ，值域是15用反正切表示直線axya0 (a0)的傾斜角為(三) 解答題：16求下列函數(shù)的反函數(shù)：(1) y3cos2x, x, 0; (2) yarccosx2 (0x1).解：(1) x, 0, 2x, 0, 函數(shù)y3cos2x在定義域內(nèi)是單值函數(shù).且3y3. 2x0, , y3cos2x3cos(2x), cos(2x), 2xarccos, xarccos,y3cos2x, x, 0的反函數(shù)是yarccos, 3x3.(2) 0x1, y, arccosx2

12、y, x2cos(y), x, 原函數(shù)的反函數(shù)是y, x.17求函數(shù)y(arccosx)23arccosx的最值及相應(yīng)的x的值。解：函數(shù)y(arccosx)23arccosx, x1, 1, arccosx0, 設(shè)arccosxt, 0t, yt23t(t)2, 當(dāng)t時,即xcos時, 函數(shù)取得最小值，當(dāng)t時,即x1時，函數(shù)取得最大值23.18若f (arccosx)x24x, 求f (x)的最值及相應(yīng)的x的值。解：設(shè)arccosxt, t0, , xcost, 代入得f (t)cos2t4cost, f (x)cos2x4cosx, x0, , cosx1, 1, f (x)(cosx2)2

13、4, 當(dāng)cosx1時,即x時，函數(shù)取得最小值3.當(dāng)cosx1時,即x0時，函數(shù)取得最大值5.19(1)求函數(shù)yarccos(x22x)的單調(diào)遞減區(qū)間; (2)求函數(shù)arctg(x22x)的單調(diào)遞增區(qū)間。解：(1) 函數(shù)yarccosu, u1, 1是減函數(shù)， 1x22x1,1x1, 又x22x(x1)21, 1x1時, ux22x為增函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的概念知此時原函數(shù)為減函數(shù)。(2) 函數(shù)yarctgu增函數(shù), uR, 又x22x(x1)21, 當(dāng)x1時，原函數(shù)是增函數(shù)。20在曲線y5sin(arccos)上求一個點，使它到直線xy100的距離最遠(yuǎn)，并求出這個最遠(yuǎn)距離解：設(shè)arccos, 3

14、x3, cos, y5sin5, 25x29y2225, 3x3, 0y5, 即在上半個橢圓上求一個點，使它到直線的距離最遠(yuǎn)。從圖形上可以看出，當(dāng)點在橢圓左端時，即P(3, 0)時滿足條件，此時最遠(yuǎn)距離是.三角函數(shù)和反三角函數(shù)一、三角函數(shù)1圖像和性質(zhì)：（1）畫出正弦函數(shù)的圖像并寫出它的定義域、值域、單調(diào)區(qū)間、周期、奇偶性、對稱性和對稱中心；（2）畫出余弦函數(shù)的圖像并寫出它的定義域、值域、單調(diào)區(qū)間、周期、奇偶性、對稱性和對稱中心；（3）畫出正切函數(shù)的圖像并寫出它的定義域、值域、單調(diào)區(qū)間、周期、奇偶性、對稱性和對稱中心；2函數(shù)（1）寫出它的振幅、周期、頻率和初相；（2）描述五點作圖法的步驟；（3）

15、寫出對于的圖像，如何通過平移、伸縮等變化得到；（4）寫出對于的圖像，如何通過平移、伸縮等變化得到3例題解析：1設(shè)分別是函數(shù)，的最小正周期，則有（ ）A BC D2函數(shù)的圖象可由的圖象經(jīng)下面變換得到（ ）A 先縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模傧蛴移揭苽€單位；B 先縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，再向左平移個單位；C 先縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，再向右平移個單位；D 先縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，再向左平移個單位3是正實數(shù)，函數(shù)在上是增函數(shù)，那么（ ）AB C D4函數(shù)的值域是（ ）A B C D5函數(shù)的值域是（ ）A BC D6求函數(shù)的定義域和值域7已知函數(shù)的圖像有一條對稱軸的方程為

16、，求的值8已知是方程的兩根，若，則（ ）AB或C或D9求斜邊長為1的直角三角形內(nèi)切圓半徑的最大值10定義：若對任意，函數(shù)恒有成立，則稱函數(shù)在內(nèi)為“上凸函數(shù)”已知“上凸函數(shù)”有如下性質(zhì)成立：對任意的必有成立（1）求證：在內(nèi)是“上凸函數(shù)”；（2）在外接圓半徑為的中，求周長的最大值二、反三角函數(shù)1圖像和性質(zhì)：（1）指出原函數(shù)和反函數(shù)的轉(zhuǎn)化和相互關(guān)系，研究反函數(shù)存在的條件，寫出原函數(shù)與反函數(shù)有哪些共通的性質(zhì)（2）畫出反正弦函數(shù)的圖像，并寫出它的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、對稱性；（3）畫出反余弦函數(shù)的圖像，并寫出它的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、對稱性；（4）畫出反正切函數(shù)的圖像，并寫出它的定義域、值域