斐波那契數(shù)列

1、斐波那契數(shù)列斐波那契數(shù)列實驗二實驗二斐波那契，意大利數(shù)學(xué)家列昂納多斐波那契，意大利數(shù)學(xué)家列昂納多斐波那契斐波那契（Leonardo FibonacciLeonardo Fibonacci，1170-12401170-1240，籍貫大概是，籍貫大概是比薩）。他被人稱作比薩）。他被人稱作“比薩的列昂納多比薩的列昂納多”。12021202年，他撰寫了年，他撰寫了珠算原理珠算原理（Liber AbacciLiber Abacci）一書。他是第一個研究了印度和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)理一書。他是第一個研究了印度和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)理論的歐洲人。他的父親被比薩的一家商業(yè)團體論的歐洲人。他的父親被比薩的一家商業(yè)團體聘任為外交領(lǐng)事

2、，派駐地點相當(dāng)于今日的阿爾聘任為外交領(lǐng)事，派駐地點相當(dāng)于今日的阿爾及利亞地區(qū)，列昂納多因此得以在一個阿拉伯及利亞地區(qū)，列昂納多因此得以在一個阿拉伯老師的指導(dǎo)下研究數(shù)學(xué)。他還曾在埃及、敘利老師的指導(dǎo)下研究數(shù)學(xué)。他還曾在埃及、敘利亞、希臘、西西里和普羅旺斯研究數(shù)學(xué)。亞、希臘、西西里和普羅旺斯研究數(shù)學(xué)。一、實驗?zāi)康囊?、實驗?zāi)康恼J(rèn)識認(rèn)識Fibonacci數(shù)列，數(shù)列，體驗發(fā)現(xiàn)其通項公式的過程。體驗發(fā)現(xiàn)其通項公式的過程。 了解了解matlab軟件中，軟件中，進行數(shù)據(jù)顯示與數(shù)據(jù)擬合的方式。進行數(shù)據(jù)顯示與數(shù)據(jù)擬合的方式。 提高對數(shù)據(jù)進行分析與處理的能力。提高對數(shù)據(jù)進行分析與處理的能力。 二、問題描述二、問題描

3、述 一般而言，兔子在出生兩個月后，就一般而言，兔子在出生兩個月后，就有繁殖能力，一對兔子每個月能生出有繁殖能力，一對兔子每個月能生出一對小兔子來。如果所有兔都不死，一對小兔子來。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少對兔子？那么一年以后可以繁殖多少對兔子？三、問題分析三、問題分析21nnnFFF稱為稱為Fibonacci數(shù)列數(shù)列。遞推公式：遞推公式：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，兔子對的兔子對的數(shù)目數(shù)目依次如下：依次如下： 所求答案所求答案：Fibonacci數(shù)列的第數(shù)列的第12項。項。Fibonacci數(shù)列的數(shù)列的一般規(guī)律一般規(guī)律是什么？是什么？四、背景知識四、背景知識

4、1 1、最小二乘和數(shù)據(jù)擬合、最小二乘和數(shù)據(jù)擬合2022-2-21多項式擬合多項式擬合當(dāng)數(shù)據(jù)點互異時plot(x,y,s) ：將所給的點列連接成一條折線將所給的點列連接成一條折線 x-點列的橫坐標(biāo)，點列的橫坐標(biāo)，y-點列的豎坐標(biāo)點列的豎坐標(biāo)s-圖形的格式字符串圖形的格式字符串 例例:給定數(shù)據(jù)，給定數(shù)據(jù)，x1=1,3,4,5,6,7,8,9,10; y1=10,5,4,2,1,1,2,3,4;描繪其圖形描繪其圖形代碼：代碼：x1=1,3,4,5,6,7,8,9,10; y1=10,5,4,2,1,1,2,3,4; plot(x1,y1)2 2、畫圖和多項式擬合命令、畫圖和多項式擬合命令2022-2

5、-211234567891012345678910p=polyfit (x,y,n) ：用用n次次多項式擬合多項式擬合數(shù)據(jù)列數(shù)據(jù)列 返回多項式的系數(shù)，次序是由高階到低階返回多項式的系數(shù)，次序是由高階到低階例例:x=1,3,4,5,6,7,8,9,10;y=10,5,4,2,1,1,2,3,4;擬合：擬合：p=polyfit (x,y,2) 結(jié)果：結(jié)果：0.2676 -3.6053 13.4597數(shù)值數(shù)值：f = polyval(p,x)結(jié)果：結(jié)果： f =10.1219 5.0519 3.3196 2.1224 1.4604 1.3335 1.7417 2.6851 4.1636即即2次多項式

6、為次多項式為p1=0.2676x2 -3.6053x+13.4597擬合效果展示：擬合效果展示：代碼代碼:x=1,3,4,5,6,7,8,9,10;y=10,5,4,2,1,1,2,3,4;p=polyfit (x,y,2);plot(x,y, ro,x,polyval (p,x), b)legend(數(shù)據(jù)點數(shù)據(jù)點,擬合曲線擬合曲線) ;2022-2-21123456789101234567891011 數(shù) 據(jù) 點擬 合 曲 線五、實驗過程五、實驗過程 NnFnn, 2 , 1),( 查看代碼( ,log),1,2,nnFnN 查看代碼 log()0.8039+0.4812nnF n0.447

7、6 1.6180nF 即：查看代碼( ,),nn F 0.4476 1.6180 xy 查看代碼查看代碼0.7768+0.4799yx ( ,log(),1,2,nnFnNnnFCr猜測，通項公式：210rr 2/ )51(2, 1 r解得：(15)/2)nnFC121 FF將上式代入遞推公式中得：考慮到該數(shù)列趨向無窮，故通項公式取為：考慮到該數(shù)列趨向無窮，故通項公式取為：然而然而,上式并不滿足：上式并不滿足：nnnFCrCr215(,1)2nnnbFCrrrr構(gòu)造數(shù)列：進一步修正進一步修正nb可得數(shù)列仍然滿足那個遞推公式nnnbbCr因而猜測 的通項形式：21(15)/2rrrr其中，也滿足

8、方程，故這樣，得到這樣，得到Fibonacci數(shù)列通項的新猜測：數(shù)列通項的新猜測：11515225nnnF這樣，得到這樣，得到Fibonacci數(shù)列通項：數(shù)列通項：稱為稱為比內(nèi)公式比內(nèi)公式。(Binet，法國，法國，1843年發(fā)現(xiàn)年發(fā)現(xiàn))1211/51/5FFCC 由條件，確定，21nnnFFF 21rr 1,2(15)/2r 12151522nnnFCC 1211,55CC 1515225nnnF六、化學(xué)反應(yīng)中生成物的濃度問題六、化學(xué)反應(yīng)中生成物的濃度問題1、描繪、描繪生成物濃度的散點圖生成物濃度的散點圖代碼：代碼： t=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15

9、,16;y=4.00,6.40,8.00,8.80,9.22,9.50,9.70,9.86;y=y,10.00,10.20,10.32,10.42,10.50,10.55,10.58,10.60;plot(t,y, r+)xlabel(時間); ylabel(濃度);legend(生成物濃度散點圖生成物濃度散點圖)從圖形看，顯然是非線性關(guān)系，數(shù)據(jù)點列呈從圖形看，顯然是非線性關(guān)系，數(shù)據(jù)點列呈現(xiàn)單調(diào)上升趨勢，開始上升較快隨后逐漸變現(xiàn)單調(diào)上升趨勢，開始上升較快隨后逐漸變慢，故宜采用多項式、雙曲型函數(shù)、指數(shù)型慢，故宜采用多項式、雙曲型函數(shù)、指數(shù)型函數(shù)或?qū)?shù)型函數(shù)做擬合等函數(shù)或?qū)?shù)型函數(shù)做擬合等2、采用

10、、采用2，4和和6階多項式進行擬合階多項式進行擬合代碼：代碼： p2= polyfit(t,y,2);p4= polyfit(t,y,4);p6= polyfit(t,y,6);R1 = dot(y-polyval(p6,t),y-polyval(p6,t) %計算擬合殘差plot(t,y,r+,t,polyval(p2,t),t,polyval(p4,t),t,polyval(p6,t)legend(測量數(shù)據(jù)測量數(shù)據(jù), 2階擬合階擬合, 4階擬合階擬合, 6階擬合階擬合)6階多項式擬合效果較好階多項式擬合效果較好3、采用雙曲函數(shù)進行擬合：、采用雙曲函數(shù)進行擬合：代碼：代碼： p1= poly

11、fit(1./t,1./y,1);plot(t,y,r+,t,1./polyval(p1,1./t)R2 = dot(y-1./polyval(p1,1./t),y-1./polyval(p1,1./t)legend(測量數(shù)據(jù)測量數(shù)據(jù), 雙曲型擬合雙曲型擬合)(0)tybatb11Y,11,TtatbybabaatbytYTytt其中七、結(jié)論與應(yīng)用七、結(jié)論與應(yīng)用 1515225nnnF5/)2/ )51(nnFn 時，之間。與的階在故nnnF2)2/3( 215G黃金分割數(shù)1(15)5122) 1(511nnnnGGF 214322121225432FFFFFFGFFFFFFnnnn1512n

12、nnFLimGFhttp:/ -1 0 0 0 01 1 -1 0 0 00 1 1 -1 0 0 0 0 0 0 1 1 。顯示Fibonacci數(shù)列前n項function plotfibo(n) %顯示Fibonacci數(shù)列前n項fn=1,1; %將數(shù)列的前兩項放到數(shù)組fn中for i=3:n %fn的第3項到第n項 fn=fn,fn(i-2)+fn(i-1); %將第i項添加到數(shù)組fn中end %循環(huán)結(jié)束plot(fn) %將裝有數(shù)列前n項的數(shù)組顯示出來返回顯示取對數(shù)后的前n項function plotlnfibo(n) %顯示取對數(shù)后的前n項fn=1,1; %將數(shù)列的前兩項放到數(shù)組fn

13、中for i=3:n %fn的第3項到第n項 fn=fn,fn(i-2)+fn(i-1); %將第i項添加到數(shù)組fn中end %循環(huán)結(jié)束fn=log(fn) %將原來的數(shù)據(jù)取對數(shù)plot(fn) %將裝有數(shù)列前n項的數(shù)組顯示出來返回根據(jù)取對數(shù)后的數(shù)據(jù)，擬合出線性表達式 function fitlnfibo(n) %先取對數(shù)，再擬合fn=1,1; %將數(shù)列的前兩項放到數(shù)組fn中for i=3:n %fn的第3項到第n項 fn=fn,fn(i-2)+fn(i-1); %將第i項添加到數(shù)組fn中end %循環(huán)結(jié)束xn=1:n; %定義橫坐標(biāo)fn=log(fn) %將原來的數(shù)據(jù)取對數(shù)polyfit(x

14、n,fn,1) %擬合裝有數(shù)列前n項的數(shù)組返回顯示擬合數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)的前n項function plotfibo2(n) %顯示擬合數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)的前n項fn1=; %裝擬合數(shù)據(jù)的數(shù)組for i=1:n %fn1的第1項到第n項 fn1=fn1,0.4476*1.618i; %將第i項添加到數(shù)組fn1中end fn2=1,1; %裝原始數(shù)據(jù)的數(shù)組，前兩項放到數(shù)組fn2中for i=3:n %fn2的第3項到第n項 fn2=fn2,fn2(i-2)+fn2(i-1); %將第i項添加到數(shù)組fn2中end x=1:n;plot(x,fn1,x,fn2,r*) %顯示, fn1蘭線，fn2紅星返回顯示取對數(shù)后的擬合數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)function plotfibo3(n) %顯示擬合數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)的前n項fn1=; %裝擬合數(shù)據(jù)的數(shù)組for i=1:n %fn1的第1項到第n項 fn1=fn1,-0