常見(jiàn)遞推數(shù)列通項(xiàng)的求法

1、常見(jiàn)遞推數(shù)列通項(xiàng)的求法對(duì)于由遞推式所確定的數(shù)列通項(xiàng)公式問(wèn)題，往往將遞推關(guān)系式變形轉(zhuǎn)化為我們熟知的等差數(shù)列或等比數(shù)列，從而使問(wèn)題簡(jiǎn)單明了。這類(lèi)問(wèn)題是高考數(shù)列命題的熱點(diǎn)題型，下面介紹常見(jiàn)遞推數(shù)列求通項(xiàng)的基本求法。類(lèi)型1、 型解題思路：利用累差迭加法，將，=，=,各式相加，正負(fù)抵消，即得.例1、在數(shù)列中，,，求通項(xiàng)公式.解：原遞推式可化為：則 ，逐項(xiàng)相加得：.故.例2在數(shù)列中，且，求通項(xiàng).解：依題意得，把以上各式相加，得【評(píng)注】由遞推關(guān)系得，若是一常數(shù)，即第一種類(lèi)型，直接可得是一等差數(shù)列；若非常數(shù)，而是關(guān)于的一個(gè)解析式，可以肯定數(shù)列不是等差數(shù)列，將遞推式中的分別用代入得個(gè)等式相加，目的是為了能使左邊

2、相互抵消得，而右邊往往可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)或幾個(gè)特殊數(shù)列的和。例3、已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由得則所以評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式。練習(xí)：1、 已知滿足，求的通項(xiàng)公式。2、 已知的首項(xiàng)，（）求通項(xiàng)公式。3、 已知中，求。類(lèi)型2 型解題思路：利用累乘法, 將各式相乘得，即得.例4在數(shù)列中，求通項(xiàng).解：由條件等式得，得. 【評(píng)注】此題亦可構(gòu)造特殊的數(shù)列，由得，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，以1為公比的等比數(shù)列，得.例5、設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且（n=1,2,3），則它的通項(xiàng)公式是=（2000年高考15題）.解：原遞推式可化為： =0 0， 則 ， 逐項(xiàng)相乘

3、得：，即=.練習(xí)：1、已知：，（）求數(shù)列的通項(xiàng)。2、已知中，且求數(shù)列通項(xiàng)公式。類(lèi)型3、 型解題思路：利用待定系數(shù)法，將化為的形式，從而構(gòu)造新數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.例6數(shù)列滿足，求. 解：設(shè)，即對(duì)照原遞推式，便有故由得，即，得新數(shù)列是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列。，即通項(xiàng)【評(píng)注】本題求解的關(guān)鍵是把遞推式中的常數(shù)“”作適當(dāng)?shù)姆蛛x，配湊成等比數(shù)列的結(jié)構(gòu)，從而構(gòu)造出一個(gè)新的等比數(shù)列。練習(xí)：1、已知滿足，求通項(xiàng)公式。 2、已知中，（）求。分析：構(gòu)造輔助數(shù)列， ，則同類(lèi)變式1、已知數(shù)列滿足，且，求通項(xiàng)分析：（待定系數(shù)），構(gòu)造數(shù)列使其為等比數(shù)列，即，解得求得2、已知：，時(shí)，求的通項(xiàng)公式。解：

4、設(shè) 解得： 是以3為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列 3、已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：兩邊除以，得，則，故因此，則評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出+，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求數(shù)列的通項(xiàng)公式。類(lèi)型4型例7 已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足（1） 寫(xiě)出數(shù)列的前3項(xiàng)；（2） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解：（1）由，得.由,得,由,得(2)當(dāng)時(shí),有,即 令,則,與比較得,是以為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列.,故引申題目：1、已知中，（）求2、在數(shù)列中，求通項(xiàng)公式。解：原遞推式可化為： 比較系數(shù)得=-4，式即是：.則數(shù)列是一個(gè)等比數(shù)列，其首項(xiàng)，公比是2. 即.3、已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：兩邊除

5、以，得，則，故數(shù)列是以為首，以為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，說(shuō)明數(shù)列是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式4、若數(shù)列的遞推公式為，則求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式5、若數(shù)列的遞推公式為，則求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式6、已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè)將代入式，得，等式兩邊消去，得，兩邊除以，得，則x=1，代入式，得由0及式，得，則，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則，故。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。類(lèi)型

6、5、取倒數(shù)例8、已知數(shù)列中，其中，且當(dāng)n2時(shí)，求通項(xiàng)公式。解： 將兩邊取倒數(shù)得：，這說(shuō)明是一個(gè)等差數(shù)列，首項(xiàng)是，公差為2，所以，即.例9、數(shù)列中，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.提示 例10、，求解：即 則例11、數(shù)列中，求的通項(xiàng)。解： 設(shè)       練習(xí)：1、在數(shù)列中，求類(lèi)型6、取對(duì)數(shù)法例12 若數(shù)列中，=3且（n是正整數(shù)），則它的通項(xiàng)公式是=（2002年上海高考題）.解 由題意知0，將兩邊取對(duì)數(shù)得，即，所以數(shù)列是以=為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列， ，即.例13、已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)椋?。在式兩邊取常用?duì)數(shù)得設(shè)將式代入式，得，兩邊

7、消去并整理，得，則，故代入式，得由及式，得，則，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以5為公比的等比數(shù)列，則，因此，則。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是通過(guò)對(duì)數(shù)變換把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。練習(xí)：1、若數(shù)列的遞推公式為，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式類(lèi)型7、平方（開(kāi)方）法例13、 若數(shù)列中，=2且（n），求它的通項(xiàng)公式是.解 將兩邊平方整理得。數(shù)列是以=4為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列。因?yàn)?，所以。【評(píng)注】求遞推數(shù)列的通項(xiàng)的主要思路是通過(guò)轉(zhuǎn)化, 構(gòu)造新的熟知數(shù)列,使問(wèn)題化陌生為熟悉.我們要根據(jù)不同的遞推關(guān)系式,采取不同的變形手段,從而達(dá)到轉(zhuǎn)化的目的.其他類(lèi)型：1、

8、數(shù)列中，且滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式；設(shè)，求；設(shè)=，是否存在最大的整數(shù)，使得對(duì)任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：（1）由題意，為等差數(shù)列，設(shè)公差為，由題意得，.（2）若，時(shí)，故（3）若對(duì)任意成立，即對(duì)任意成立，的最小值是，的最大整數(shù)值是7。即存在最大整數(shù)使對(duì)任意，均有說(shuō)明：本例復(fù)習(xí)數(shù)列通項(xiàng)，數(shù)列求和以及有關(guān)數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題。提高相關(guān)閱讀利用遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式，在理論上和實(shí)踐中均有較高的價(jià)值，下面介紹一下利用構(gòu)造法求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法和策略.一、構(gòu)造等差數(shù)列法例1.在數(shù)列an中，求通項(xiàng)公式an。解：對(duì)原遞推式兩邊同除以可得：令則即為，則數(shù)列bn為首項(xiàng)是，公差是的等

9、差數(shù)列，因而，代入式中得。故所求的通項(xiàng)公式是二、構(gòu)造等比數(shù)列法1.定義構(gòu)造法利用等比數(shù)列的定義，通過(guò)變換，構(gòu)造等比數(shù)列的方法。例2.設(shè)在數(shù)列an中，求an的通項(xiàng)公式。解：將原遞推式變形為/得：，即設(shè)式可化為，則數(shù)列bn是以b1為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，于是，代入式得：，解得為所求。2.（A、B為常數(shù)）型遞推式可構(gòu)造為形如的等比數(shù)列。例3.已知數(shù)列，其中，求通項(xiàng)公式。解：原遞推式可化為：，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，于是，故。3.（A、B、C為常數(shù)，下同）型遞推式可構(gòu)造為形如的等比數(shù)列。例4.已知數(shù)列，其中，且，求通項(xiàng)公式an。解：將原遞推變形為，設(shè)bn。得設(shè)式可化為，比較得于是有數(shù)列是一個(gè)以為首項(xiàng)，公比是3的等比數(shù)列。所以，即，代入式中得：為所求。4.型遞推式可構(gòu)造為形如的等比數(shù)列。例5.在數(shù)列中，求通項(xiàng)公式。解：原遞推式可化為，比較系數(shù)可得：，上式即為是一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比為。所以。即，故為所求。三、函數(shù)構(gòu)造法對(duì)