角動(dòng)量角動(dòng)量守恒

1、一、角動(dòng)量一、角動(dòng)量 角動(dòng)量也稱動(dòng)量矩，是描述物體轉(zhuǎn)動(dòng)特征角動(dòng)量也稱動(dòng)量矩，是描述物體轉(zhuǎn)動(dòng)特征的物理量。例如天文上行星圍繞太陽的轉(zhuǎn)動(dòng)、的物理量。例如天文上行星圍繞太陽的轉(zhuǎn)動(dòng)、飛機(jī)螺旋槳的轉(zhuǎn)動(dòng)等。飛機(jī)螺旋槳的轉(zhuǎn)動(dòng)等。r 質(zhì)點(diǎn)對(duì)選取的參考點(diǎn)的角動(dòng)量等于其質(zhì)點(diǎn)對(duì)選取的參考點(diǎn)的角動(dòng)量等于其矢徑矢徑 與其動(dòng)量與其動(dòng)量 之矢量積。用之矢量積。用 表示。表示。vmoL定義：定義：vmrLo角動(dòng)量、角動(dòng)量守恒角動(dòng)量、角動(dòng)量守恒oLvmo rmvmoLrvmrLo2、角動(dòng)量是矢量，其大小、角動(dòng)量是矢量，其大小sinmvrLo方向由：方向由：vmr決定。決定。oLrvm注意：注意： 1、為表示是對(duì)哪個(gè)參考點(diǎn)的角動(dòng)

2、量，通常將、為表示是對(duì)哪個(gè)參考點(diǎn)的角動(dòng)量，通常將角動(dòng)量角動(dòng)量 畫在參考點(diǎn)上。畫在參考點(diǎn)上。oL 3、角動(dòng)量的定義并沒有限定質(zhì)點(diǎn)只能作、角動(dòng)量的定義并沒有限定質(zhì)點(diǎn)只能作曲線運(yùn)動(dòng)而不能作直線運(yùn)動(dòng)。曲線運(yùn)動(dòng)而不能作直線運(yùn)動(dòng)。sinmvrLo2mrmvroLrvmvmrsinmvrLomvddXYZOvmrLokmvdLo或：或：質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)oLFrMooMFo rmoM二、力矩二、力矩中學(xué)時(shí)學(xué)過的力矩概念中學(xué)時(shí)學(xué)過的力矩概念odrFFdMosinFrFr 定義：力對(duì)某點(diǎn)定義：力對(duì)某點(diǎn)O的力矩等于力的作用點(diǎn)的力矩等于力的作用點(diǎn)的矢徑的矢徑 與力與力 的矢量積

3、。的矢量積。 Fr注意：注意：sinrFMo2）方向：）方向：Fr的方向的方向3）單位：牛頓米）單位：牛頓米1）大小：）大?。築）力的方向沿矢徑的方向（力的方向沿矢徑的方向（ ）0sin 有兩種情況有兩種情況0oM0F4）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)，時(shí)，F(xiàn)A）0r三、角動(dòng)量定理三、角動(dòng)量定理1）角動(dòng)量定理的微分形式）角動(dòng)量定理的微分形式PrLoPrdtddtLdodtPdrPdtrdFrPv質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理rgmvmXYZOoLoMoMFrdtLdMoo對(duì)多個(gè)質(zhì)點(diǎn)而言：對(duì)多個(gè)質(zhì)點(diǎn)而言：如圖設(shè)有質(zhì)點(diǎn)如圖設(shè)有質(zhì)點(diǎn)m1，m2外力外力 、1F2F外力矩外力矩 、21MM內(nèi)力內(nèi)力 、21F12F內(nèi)力矩內(nèi)

4、力矩 、2010MM質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)1：dtLdMM1101質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)2：dtLdMM2202兩式相加：兩式相加：)(21202101LLdtdMMMM2F1Fm1m212F21F2r1r10M20M1M2M內(nèi)力矩內(nèi)力矩02010 MMXZYO21MMMo令：令：作用于質(zhì)點(diǎn)系的作用于質(zhì)點(diǎn)系的合外力矩合外力矩21LLLo質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)點(diǎn)系的總角動(dòng)量總角動(dòng)量dtLdMoo則：則：推廣到由推廣到由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系：質(zhì)點(diǎn)系： 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某定點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某定點(diǎn)O的總角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的的總角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率等于系統(tǒng)所受外力對(duì)同一點(diǎn)的力矩的變化率等于系統(tǒng)所受外力對(duì)同一點(diǎn)的力矩的矢量和。矢量和。質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理質(zhì)

5、點(diǎn)系角動(dòng)量定理)(2121LLdtdMMdtLdMoo2）角動(dòng)量定理的積分形式）角動(dòng)量定理的積分形式ooLddtM對(duì)上式積分：對(duì)上式積分：122121LLLddtMLLtt 作用在質(zhì)點(diǎn)系的外力矩的沖量矩等于系統(tǒng)角作用在質(zhì)點(diǎn)系的外力矩的沖量矩等于系統(tǒng)角動(dòng)量的增量。動(dòng)量的增量。積分形式的角動(dòng)量定理積分形式的角動(dòng)量定理 設(shè)：在合外力矩設(shè)：在合外力矩 的作用下，在的作用下，在 時(shí)時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)的角動(dòng)量從間內(nèi)系統(tǒng)的角動(dòng)量從21tt 21LLM四、角動(dòng)量守恒定律四、角動(dòng)量守恒定律對(duì)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系而言，若對(duì)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系而言，若0合外力矩M則：則：恒矢量LdtLd0 角動(dòng)量守恒定律：當(dāng)系統(tǒng)所受合外力矩角動(dòng)量守恒定律：當(dāng)

6、系統(tǒng)所受合外力矩恒為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量保持不變。恒為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量保持不變。注意注意：1、角動(dòng)量守恒定律是宇宙中普遍成立、角動(dòng)量守恒定律是宇宙中普遍成立的定律，無論在宏觀上還是微觀上都成立。的定律，無論在宏觀上還是微觀上都成立。 2、守恒定律表明盡管自然界千變?nèi)f化，、守恒定律表明盡管自然界千變?nèi)f化，變換無窮，但決非雜亂無章，而是嚴(yán)格地受變換無窮，但決非雜亂無章，而是嚴(yán)格地受著某種規(guī)律的制約，變中有不變。這反映著著某種規(guī)律的制約，變中有不變。這反映著自然界的和諧統(tǒng)一。自然界的和諧統(tǒng)一。例）用角動(dòng)量守恒定律導(dǎo)出例）用角動(dòng)量守恒定律導(dǎo)出開普勒第二定律開普勒第二定律行星單位時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等

7、。行星單位時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等。cs解解：設(shè)行星繞太陽運(yùn)：設(shè)行星繞太陽運(yùn)動(dòng)動(dòng),在在時(shí)間時(shí)間 內(nèi)，從內(nèi)，從a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)，其速率點(diǎn)，其速率為為 。v t作直線作直線bc垂直于垂直于oa，因因 t很小很小tvsabsinsintvshrhA21 t時(shí)間內(nèi)掃過的面積時(shí)間內(nèi)掃過的面積(行星質(zhì)量為行星質(zhì)量為m)sin21trvtmmrvsin21LOabrAhmLA21mLtA21 因?yàn)樾行鞘窃谟行牧Φ淖饔孟逻\(yùn)動(dòng)的，對(duì)因?yàn)樾行鞘窃谟行牧Φ淖饔孟逻\(yùn)動(dòng)的，對(duì)O點(diǎn)的外力矩為零，故角動(dòng)量守恒，點(diǎn)的外力矩為零，故角動(dòng)量守恒，L為常量，為常量，又行星的質(zhì)量是不變的，所以：又行星的質(zhì)量是不變的，所以：恒量tA

8、 /LOabhrcsA例例 ：兩個(gè)共軸飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為：兩個(gè)共軸飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為J1、J2，角速度分別為角速度分別為 1 、2，求兩飛輪嚙合后共同，求兩飛輪嚙合后共同的角速度的角速度 。嚙合過程機(jī)械能損失。嚙合過程機(jī)械能損失。解：兩飛輪通過摩解：兩飛輪通過摩擦達(dá)到共同速度擦達(dá)到共同速度, ,合合外力矩為外力矩為0，系統(tǒng)角，系統(tǒng)角動(dòng)量守恒。動(dòng)量守恒。1J2J120 LLC112212()JJJJ112212JJJJ共同角速度共同角速度嚙合過程機(jī)械能損失嚙合過程機(jī)械能損失0EEE222121122111()()222EJJJJ2121212()2()J JEJJ 其中其中112212JJJJ例

9、例 ：彗星繞太陽作橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，太陽：彗星繞太陽作橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，太陽位于橢圓軌道的一個(gè)焦點(diǎn)上，問系統(tǒng)的角位于橢圓軌道的一個(gè)焦點(diǎn)上，問系統(tǒng)的角動(dòng)量是否守恒？近日點(diǎn)與遠(yuǎn)日點(diǎn)的速度誰動(dòng)量是否守恒？近日點(diǎn)與遠(yuǎn)日點(diǎn)的速度誰大？大？太陽彗星ArBrAv vBv v近日點(diǎn)近日點(diǎn)遠(yuǎn)日點(diǎn)遠(yuǎn)日點(diǎn)AB解：在彗星繞解：在彗星繞太陽軌道運(yùn)轉(zhuǎn)太陽軌道運(yùn)轉(zhuǎn)過程中，只受過程中，只受萬有引力作用，萬有引力作用，萬有引力不產(chǎn)萬有引力不產(chǎn)生力矩，系統(tǒng)生力矩，系統(tǒng)角動(dòng)量守恒。角動(dòng)量守恒。引F F0M ABLL由質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定義：由質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定義：sinLrmvsinsinAAABBBr mvr mv即即90ABAABBr vr v

10、即即rvC1vrArBrAv vBv v太陽彗星近日點(diǎn)近日點(diǎn)遠(yuǎn)日點(diǎn)遠(yuǎn)日點(diǎn)AB引F F近日點(diǎn)近日點(diǎn) r 小小 v 大，遠(yuǎn)日點(diǎn)大，遠(yuǎn)日點(diǎn) r 大大 v ，ABvv這就是為什么彗星運(yùn)轉(zhuǎn)周期為幾十年，而這就是為什么彗星運(yùn)轉(zhuǎn)周期為幾十年，而經(jīng)過太陽時(shí)只有很短的幾周時(shí)間。彗星接經(jīng)過太陽時(shí)只有很短的幾周時(shí)間。彗星接近太陽時(shí)勢能轉(zhuǎn)換成動(dòng)能，而遠(yuǎn)離太陽時(shí)，近太陽時(shí)勢能轉(zhuǎn)換成動(dòng)能，而遠(yuǎn)離太陽時(shí)，動(dòng)能轉(zhuǎn)換成勢能。動(dòng)能轉(zhuǎn)換成勢能。1m2mrR例例1：如圖所示，兩個(gè)同心圓盤結(jié)合在一起可如圖所示，兩個(gè)同心圓盤結(jié)合在一起可繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，大圓盤質(zhì)量為繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，大圓盤質(zhì)量為 m1、半徑為、半徑為 R，小圓盤質(zhì)量為小圓盤質(zhì)量

11、為 m2、半徑為、半徑為 r，兩圓盤都用力，兩圓盤都用力 F 作用，求角加速度。作用，求角加速度。F FF F解：以解：以 m1、 m2 為研究為研究對(duì)象，它們有共同的角對(duì)象，它們有共同的角加速度，只有加速度，只有 F、F 產(chǎn)產(chǎn)生力矩。生力矩。12()FRFrJJ由圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：由圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：21112Jm R22212Jm r12FRFrJJ22122 ()F Rrm Rm rMmrRF FF F例例2：光滑斜面傾角為光滑斜面傾角為 ，頂端固定一半徑為，頂端固定一半徑為 R ，質(zhì)量為，質(zhì)量為 M 的定滑輪，質(zhì)量為的定滑輪，質(zhì)量為 m 的物體用的物體用一輕繩纏在定滑輪上沿斜面下滑，求一輕

12、繩纏在定滑輪上沿斜面下滑，求:下滑的下滑的加速度加速度 a 。RM,m解：物體系中先以物體解：物體系中先以物體 m 研究對(duì)象，受力分析研究對(duì)象，受力分析,sinmgTmag gmT Tx在斜面在斜面 x 方向上方向上補(bǔ)充方程補(bǔ)充方程aR聯(lián)立三個(gè)方程求解：聯(lián)立三個(gè)方程求解：2sin2mgamM212JMR定滑輪可視為圓盤，轉(zhuǎn)定滑輪可視為圓盤，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量動(dòng)慣量ITRJ以滑輪為研究對(duì)象以滑輪為研究對(duì)象RM,mg gmT Tx例例3：質(zhì)量為質(zhì)量為 m、長為、長為 l 的細(xì)桿一端固定在地面的細(xì)桿一端固定在地面的軸上可自由轉(zhuǎn)動(dòng)，問當(dāng)細(xì)桿擺至與水平面的軸上可自由轉(zhuǎn)動(dòng)，問當(dāng)細(xì)桿擺至與水平面 60 角和水平位置時(shí)

13、的角加速度為多大。角和水平位置時(shí)的角加速度為多大。lm,解：由轉(zhuǎn)動(dòng)定律解：由轉(zhuǎn)動(dòng)定律MJg gm21cos23lmgml3 cos2gl360 4gl時(shí)30 2gl 時(shí)3 cos2gllm,g gm例例4：質(zhì)量為質(zhì)量為 m 、長為、長為 l 的細(xì)桿兩端用細(xì)線懸的細(xì)桿兩端用細(xì)線懸掛在天花板上，當(dāng)其中一細(xì)線燒斷的瞬間另一掛在天花板上，當(dāng)其中一細(xì)線燒斷的瞬間另一根細(xì)線中的張力為多大？根細(xì)線中的張力為多大？lm,解：在線燒斷瞬間，解：在線燒斷瞬間，以桿為研究對(duì)象，細(xì)以桿為研究對(duì)象，細(xì)桿受重力和線的張力，桿受重力和線的張力，g gmT T注意：在細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，各點(diǎn)的注意：在細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，各點(diǎn)的加速度不同，公式中加速度不同，公式中a為細(xì)桿為細(xì)桿質(zhì)心質(zhì)心的加速度。的加速度。mgTma（1）以懸掛一端為軸，重力產(chǎn)生力矩。以懸掛一端為軸，重力產(chǎn)生力矩。213Jml2lmgJ（2）2lar（3）聯(lián)立聯(lián)立(1)、(2)、(3)式求解式求解14Tmglm,g gmT T例例5：在光滑水平桌面上放置一個(gè)靜止的質(zhì)量在光滑水平桌面上放置一個(gè)靜止的質(zhì)量為為 M、長為、長為 2l 、可繞中心轉(zhuǎn)動(dòng)的細(xì)桿，有一質(zhì)、可繞中心轉(zhuǎn)動(dòng)的細(xì)桿，有一質(zhì)量為量為 m 的小球以速度的小球以速度 v0 與桿的一端發(fā)生完全彈與桿的一端發(fā)生完全彈