角動量角動量守恒

1、一、角動量一、角動量 角動量也稱動量矩，是描述物體轉(zhuǎn)動特征角動量也稱動量矩，是描述物體轉(zhuǎn)動特征的物理量。例如天文上行星圍繞太陽的轉(zhuǎn)動、的物理量。例如天文上行星圍繞太陽的轉(zhuǎn)動、飛機螺旋槳的轉(zhuǎn)動等。飛機螺旋槳的轉(zhuǎn)動等。r 質(zhì)點對選取的參考點的角動量等于其質(zhì)點對選取的參考點的角動量等于其矢徑矢徑 與其動量與其動量 之矢量積。用之矢量積。用 表示。表示。vmoL定義：定義：vmrLo角動量、角動量守恒角動量、角動量守恒oLvmo rmvmoLrvmrLo2、角動量是矢量，其大小、角動量是矢量，其大小sinmvrLo方向由：方向由：vmr決定。決定。oLrvm注意：注意： 1、為表示是對哪個參考點的角動

2、量，通常將、為表示是對哪個參考點的角動量，通常將角動量角動量 畫在參考點上。畫在參考點上。oL 3、角動量的定義并沒有限定質(zhì)點只能作、角動量的定義并沒有限定質(zhì)點只能作曲線運動而不能作直線運動。曲線運動而不能作直線運動。sinmvrLo2mrmvroLrvmvmrsinmvrLomvddXYZOvmrLokmvdLo或：或：質(zhì)點作圓周運動質(zhì)點作圓周運動質(zhì)點作直線運動質(zhì)點作直線運動oLFrMooMFo rmoM二、力矩二、力矩中學時學過的力矩概念中學時學過的力矩概念odrFFdMosinFrFr 定義：力對某點定義：力對某點O的力矩等于力的作用點的力矩等于力的作用點的矢徑的矢徑 與力與力 的矢量積

3、。的矢量積。 Fr注意：注意：sinrFMo2）方向：）方向：Fr的方向的方向3）單位：牛頓米）單位：牛頓米1）大小：）大?。築）力的方向沿矢徑的方向（力的方向沿矢徑的方向（ ）0sin 有兩種情況有兩種情況0oM0F4）當）當 時，時，F(xiàn)A）0r三、角動量定理三、角動量定理1）角動量定理的微分形式）角動量定理的微分形式PrLoPrdtddtLdodtPdrPdtrdFrPv質(zhì)點的角動量定理質(zhì)點的角動量定理rgmvmXYZOoLoMoMFrdtLdMoo對多個質(zhì)點而言：對多個質(zhì)點而言：如圖設(shè)有質(zhì)點如圖設(shè)有質(zhì)點m1，m2外力外力 、1F2F外力矩外力矩 、21MM內(nèi)力內(nèi)力 、21F12F內(nèi)力矩內(nèi)

4、力矩 、2010MM質(zhì)點質(zhì)點1：dtLdMM1101質(zhì)點質(zhì)點2：dtLdMM2202兩式相加：兩式相加：)(21202101LLdtdMMMM2F1Fm1m212F21F2r1r10M20M1M2M內(nèi)力矩內(nèi)力矩02010 MMXZYO21MMMo令：令：作用于質(zhì)點系的作用于質(zhì)點系的合外力矩合外力矩21LLLo質(zhì)點系的質(zhì)點系的總角動量總角動量dtLdMoo則：則：推廣到由推廣到由n個質(zhì)點組成的個質(zhì)點組成的質(zhì)點系：質(zhì)點系： 質(zhì)點系對某定點質(zhì)點系對某定點O的總角動量對時間的的總角動量對時間的變化率等于系統(tǒng)所受外力對同一點的力矩的變化率等于系統(tǒng)所受外力對同一點的力矩的矢量和。矢量和。質(zhì)點系角動量定理質(zhì)

5、點系角動量定理)(2121LLdtdMMdtLdMoo2）角動量定理的積分形式）角動量定理的積分形式ooLddtM對上式積分：對上式積分：122121LLLddtMLLtt 作用在質(zhì)點系的外力矩的沖量矩等于系統(tǒng)角作用在質(zhì)點系的外力矩的沖量矩等于系統(tǒng)角動量的增量。動量的增量。積分形式的角動量定理積分形式的角動量定理 設(shè)：在合外力矩設(shè)：在合外力矩 的作用下，在的作用下，在 時時間內(nèi)系統(tǒng)的角動量從間內(nèi)系統(tǒng)的角動量從21tt 21LLM四、角動量守恒定律四、角動量守恒定律對一個質(zhì)點系而言，若對一個質(zhì)點系而言，若0合外力矩M則：則：恒矢量LdtLd0 角動量守恒定律：當系統(tǒng)所受合外力矩角動量守恒定律：當

6、系統(tǒng)所受合外力矩恒為零時，質(zhì)點系的角動量保持不變。恒為零時，質(zhì)點系的角動量保持不變。注意注意：1、角動量守恒定律是宇宙中普遍成立、角動量守恒定律是宇宙中普遍成立的定律，無論在宏觀上還是微觀上都成立。的定律，無論在宏觀上還是微觀上都成立。 2、守恒定律表明盡管自然界千變?nèi)f化，、守恒定律表明盡管自然界千變?nèi)f化，變換無窮，但決非雜亂無章，而是嚴格地受變換無窮，但決非雜亂無章，而是嚴格地受著某種規(guī)律的制約，變中有不變。這反映著著某種規(guī)律的制約，變中有不變。這反映著自然界的和諧統(tǒng)一。自然界的和諧統(tǒng)一。例）用角動量守恒定律導(dǎo)出例）用角動量守恒定律導(dǎo)出開普勒第二定律開普勒第二定律行星單位時間內(nèi)掃過的面積相等

7、。行星單位時間內(nèi)掃過的面積相等。cs解解：設(shè)行星繞太陽運：設(shè)行星繞太陽運動動,在在時間時間 內(nèi)，從內(nèi)，從a點運動到點運動到b點，其速率點，其速率為為 。v t作直線作直線bc垂直于垂直于oa，因因 t很小很小tvsabsinsintvshrhA21 t時間內(nèi)掃過的面積時間內(nèi)掃過的面積(行星質(zhì)量為行星質(zhì)量為m)sin21trvtmmrvsin21LOabrAhmLA21mLtA21 因為行星是在有心力的作用下運動的，對因為行星是在有心力的作用下運動的，對O點的外力矩為零，故角動量守恒，點的外力矩為零，故角動量守恒，L為常量，為常量，又行星的質(zhì)量是不變的，所以：又行星的質(zhì)量是不變的，所以：恒量tA

8、 /LOabhrcsA例例 ：兩個共軸飛輪轉(zhuǎn)動慣量分別為：兩個共軸飛輪轉(zhuǎn)動慣量分別為J1、J2，角速度分別為角速度分別為 1 、2，求兩飛輪嚙合后共同，求兩飛輪嚙合后共同的角速度的角速度 。嚙合過程機械能損失。嚙合過程機械能損失。解：兩飛輪通過摩解：兩飛輪通過摩擦達到共同速度擦達到共同速度, ,合合外力矩為外力矩為0，系統(tǒng)角，系統(tǒng)角動量守恒。動量守恒。1J2J120 LLC112212()JJJJ112212JJJJ共同角速度共同角速度嚙合過程機械能損失嚙合過程機械能損失0EEE222121122111()()222EJJJJ2121212()2()J JEJJ 其中其中112212JJJJ例

9、例 ：彗星繞太陽作橢圓軌道運動，太陽：彗星繞太陽作橢圓軌道運動，太陽位于橢圓軌道的一個焦點上，問系統(tǒng)的角位于橢圓軌道的一個焦點上，問系統(tǒng)的角動量是否守恒？近日點與遠日點的速度誰動量是否守恒？近日點與遠日點的速度誰大？大？太陽彗星ArBrAv vBv v近日點近日點遠日點遠日點AB解：在彗星繞解：在彗星繞太陽軌道運轉(zhuǎn)太陽軌道運轉(zhuǎn)過程中，只受過程中，只受萬有引力作用，萬有引力作用，萬有引力不產(chǎn)萬有引力不產(chǎn)生力矩，系統(tǒng)生力矩，系統(tǒng)角動量守恒。角動量守恒。引F F0M ABLL由質(zhì)點的角動量定義：由質(zhì)點的角動量定義：sinLrmvsinsinAAABBBr mvr mv即即90ABAABBr vr v

10、即即rvC1vrArBrAv vBv v太陽彗星近日點近日點遠日點遠日點AB引F F近日點近日點 r 小小 v 大，遠日點大，遠日點 r 大大 v ，ABvv這就是為什么彗星運轉(zhuǎn)周期為幾十年，而這就是為什么彗星運轉(zhuǎn)周期為幾十年，而經(jīng)過太陽時只有很短的幾周時間。彗星接經(jīng)過太陽時只有很短的幾周時間。彗星接近太陽時勢能轉(zhuǎn)換成動能，而遠離太陽時，近太陽時勢能轉(zhuǎn)換成動能，而遠離太陽時，動能轉(zhuǎn)換成勢能。動能轉(zhuǎn)換成勢能。1m2mrR例例1：如圖所示，兩個同心圓盤結(jié)合在一起可如圖所示，兩個同心圓盤結(jié)合在一起可繞中心軸轉(zhuǎn)動，大圓盤質(zhì)量為繞中心軸轉(zhuǎn)動，大圓盤質(zhì)量為 m1、半徑為、半徑為 R，小圓盤質(zhì)量為小圓盤質(zhì)量

11、為 m2、半徑為、半徑為 r，兩圓盤都用力，兩圓盤都用力 F 作用，求角加速度。作用，求角加速度。F FF F解：以解：以 m1、 m2 為研究為研究對象，它們有共同的角對象，它們有共同的角加速度，只有加速度，只有 F、F 產(chǎn)產(chǎn)生力矩。生力矩。12()FRFrJJ由圓盤的轉(zhuǎn)動慣量：由圓盤的轉(zhuǎn)動慣量：21112Jm R22212Jm r12FRFrJJ22122 ()F Rrm Rm rMmrRF FF F例例2：光滑斜面傾角為光滑斜面傾角為 ，頂端固定一半徑為，頂端固定一半徑為 R ，質(zhì)量為，質(zhì)量為 M 的定滑輪，質(zhì)量為的定滑輪，質(zhì)量為 m 的物體用的物體用一輕繩纏在定滑輪上沿斜面下滑，求一輕

12、繩纏在定滑輪上沿斜面下滑，求:下滑的下滑的加速度加速度 a 。RM,m解：物體系中先以物體解：物體系中先以物體 m 研究對象，受力分析研究對象，受力分析,sinmgTmag gmT Tx在斜面在斜面 x 方向上方向上補充方程補充方程aR聯(lián)立三個方程求解：聯(lián)立三個方程求解：2sin2mgamM212JMR定滑輪可視為圓盤，轉(zhuǎn)定滑輪可視為圓盤，轉(zhuǎn)動慣量動慣量ITRJ以滑輪為研究對象以滑輪為研究對象RM,mg gmT Tx例例3：質(zhì)量為質(zhì)量為 m、長為、長為 l 的細桿一端固定在地面的細桿一端固定在地面的軸上可自由轉(zhuǎn)動，問當細桿擺至與水平面的軸上可自由轉(zhuǎn)動，問當細桿擺至與水平面 60 角和水平位置時

13、的角加速度為多大。角和水平位置時的角加速度為多大。lm,解：由轉(zhuǎn)動定律解：由轉(zhuǎn)動定律MJg gm21cos23lmgml3 cos2gl360 4gl時30 2gl 時3 cos2gllm,g gm例例4：質(zhì)量為質(zhì)量為 m 、長為、長為 l 的細桿兩端用細線懸的細桿兩端用細線懸掛在天花板上，當其中一細線燒斷的瞬間另一掛在天花板上，當其中一細線燒斷的瞬間另一根細線中的張力為多大？根細線中的張力為多大？lm,解：在線燒斷瞬間，解：在線燒斷瞬間，以桿為研究對象，細以桿為研究對象，細桿受重力和線的張力，桿受重力和線的張力，g gmT T注意：在細桿轉(zhuǎn)動時，各點的注意：在細桿轉(zhuǎn)動時，各點的加速度不同，公式中加速度不同，公式中a為細桿為細桿質(zhì)心質(zhì)心的加速度。的加速度。mgTma（1）以懸掛一端為軸，重力產(chǎn)生力矩。以懸掛一端為軸，重力產(chǎn)生力矩。213Jml2lmgJ（2）2lar（3）聯(lián)立聯(lián)立(1)、(2)、(3)式求解式求解14Tmglm,g gmT T例例5：在光滑水平桌面上放置一個靜止的質(zhì)量在光滑水平桌面上放置一個靜止的質(zhì)量為為 M、長為、長為 2l 、可繞中心轉(zhuǎn)動的細桿，有一質(zhì)、可繞中心轉(zhuǎn)動的細桿，有一質(zhì)量為量為 m 的小球以速度的小球以速度 v0 與桿的一端發(fā)生完全彈與桿的一端發(fā)生完全彈