動量及動量守恒定律

1、 動量守恒和能量守恒定律動量守恒和能量守恒定律牛頓運(yùn)動定律牛頓運(yùn)動定律:amdtPdF合意義意義: :已知質(zhì)點(diǎn)在任意時刻的力，可解出質(zhì)點(diǎn)在各個已知質(zhì)點(diǎn)在任意時刻的力，可解出質(zhì)點(diǎn)在各個時刻的加速度。若知道初始條件，確定質(zhì)點(diǎn)在任一時時刻的加速度。若知道初始條件，確定質(zhì)點(diǎn)在任一時刻的速度、位置和質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡?？痰乃俣?、位置和質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡。上式的困難：上式的困難：(1)牛頓定律需要知道力隨時間變化的細(xì)節(jié)牛頓定律需要知道力隨時間變化的細(xì)節(jié)在碰撞打擊在碰撞打擊( (宏觀宏觀) )、基本粒子的產(chǎn)生和湮滅、基本粒子的產(chǎn)生和湮滅( (微觀微觀) )一類問題一類問題中，力的作用時間很短，力隨時間變化很快，無法

2、知道其中中，力的作用時間很短，力隨時間變化很快，無法知道其中的細(xì)節(jié)；的細(xì)節(jié)；研究氣體中分子的運(yùn)動，星云中許多恒星的運(yùn)動研究氣體中分子的運(yùn)動，星云中許多恒星的運(yùn)動, ,這種情況這種情況下下, ,即使知道力的表達(dá)式即使知道力的表達(dá)式, ,要解決要解決1 1氣體中分子也需要?dú)怏w中分子也需要進(jìn)行進(jìn)行個變量進(jìn)行計(jì)算，實(shí)際上是無法進(jìn)行的。個變量進(jìn)行計(jì)算，實(shí)際上是無法進(jìn)行的。解決的方法：解決的方法：(1)(1)設(shè)法了解過程引起變化的總效果，討論設(shè)法了解過程引起變化的總效果，討論 的積分形式及物理意義的積分形式及物理意義dtpdF(2)(2)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)的方法運(yùn)用統(tǒng)計(jì)的方法(2)(2)如果研究對象是多粒子系統(tǒng)：如

3、果研究對象是多粒子系統(tǒng)：一、質(zhì)點(diǎn)的動量定理一、質(zhì)點(diǎn)的動量定理: :dtpdF dtFpd、微分形式：、微分形式：dtF稱為合力的元沖量，用稱為合力的元沖量，用 表示；表示；質(zhì)點(diǎn)動量的微分等于作用在質(zhì)點(diǎn)上合力的元沖量。說質(zhì)點(diǎn)動量的微分等于作用在質(zhì)點(diǎn)上合力的元沖量。說明質(zhì)點(diǎn)動量的變化，只有在沖量的作用下才有可能。明質(zhì)點(diǎn)動量的變化，只有在沖量的作用下才有可能。由由可得：可得：Id、積分形式：、積分形式： pptpppddtF000pdtFItt21 在某段時間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)動量的增量，等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的在某段時間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)動量的增量，等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的合力在同一時間內(nèi)的沖量合力在同一時間內(nèi)的沖量質(zhì)點(diǎn)的動量定理質(zhì)

4、點(diǎn)的動量定理力力 在時間在時間 內(nèi)的積累，稱為力的沖量，用內(nèi)的積累，稱為力的沖量，用F12tt I表示。表示。若用力表示若用力表示 時間內(nèi)合力的平均值時間內(nèi)合力的平均值, ,F21tt 21ttptFdtFI12121221dttmmtttFFttvv動量定理在打擊或碰撞問題中用來求平均力動量定理在打擊或碰撞問題中用來求平均力打擊或碰撞，力打擊或碰撞，力 的方向保持不的方向保持不變，曲線與變，曲線與t t軸所包圍的面積就軸所包圍的面積就是是t t1 1到到t t2 2這段時間內(nèi)力這段時間內(nèi)力 的沖量的沖量的大小，根據(jù)改變動量的等效性，的大小，根據(jù)改變動量的等效性，得到平均力。得到平均力。FFt

5、2t1t FF21ttdtF21tt 21ttdtFF21ttdtFI21ttdtFIIIII說明說明（）（）是矢量是矢量（）（）是過程量是過程量I（3） 是力對時間的積累效應(yīng)是力對時間的積累效應(yīng) I（4 4）分量形式）分量形式kIjIiIIzyxzzttzzyyttyyxxttxxmmtFImmtFImmtFI121212212121dddvvvvvv動量定理動量定理(5)(5)動量定理是牛頓第二定律的積分形式，因此其動量定理是牛頓第二定律的積分形式，因此其適用范圍是適用范圍是慣性系慣性系。(6)(6)動量定理在處理動量定理在處理變質(zhì)量變質(zhì)量問題時很方便。問題時很方便。例例1、質(zhì)量、質(zhì)量M=

6、3t的重錘，從高度的重錘，從高度h=1.5m處自由落到受鍛壓的工件上，工件發(fā)生處自由落到受鍛壓的工件上，工件發(fā)生形變。如果作用的時間形變。如果作用的時間(1) =0.1s， (2) =0.01s 。試求錘對工件的平均沖力。試求錘對工件的平均沖力。hNgM解：解：以重錘為研究對象，分析受力，以重錘為研究對象，分析受力，作受力圖：作受力圖：動量定理動量定理hNgM解法一：錘對工件的沖力變化范圍很解法一：錘對工件的沖力變化范圍很大，采用平均沖力計(jì)算，其反作用力大，采用平均沖力計(jì)算，其反作用力用平均支持力代替。用平均支持力代替。在豎直方向利用動量定理，取豎直向上在豎直方向利用動量定理，取豎直向上為正。

7、為正。0)(MvMvMgN 初狀態(tài)動量為：初狀態(tài)動量為：ghM2末狀態(tài)動量為末狀態(tài)動量為0 0得到：得到：ghMMgN2)( 解得：解得：/2ghMMgN 動量定理動量定理代入代入M M、h h、 的值，求得：的值，求得：) 1 . 0/5 . 18 . 928 . 9(1033 N牛頓51092. 1 ( () )(2)(2)01. 0/5 . 18 . 928 . 9(1033 N牛頓6109 . 1 動量定理動量定理解法二解法二：考慮從錘自由下落到靜止的整個過程，考慮從錘自由下落到靜止的整個過程，動量變化為零。動量變化為零。重力作用時間為重力作用時間為gh/2 支持力的作用時間為支持力的

8、作用時間為 根據(jù)動量定理，整個過程合外力的沖量根據(jù)動量定理，整個過程合外力的沖量為零，即為零，即0)/2( ghMgN得到相同的結(jié)果得到相同的結(jié)果/2ghMMgN h0.10.010.0010.00016.5565505500st /mgN /在許多打擊或碰撞類問題中在許多打擊或碰撞類問題中, ,只要持續(xù)的時間較只要持續(xù)的時間較短短, ,可可略去略去重力。重力。例例：一物體受合力為一物體受合力為 （SI），做直線運(yùn)動，做直線運(yùn)動，試問在第二個試問在第二個5秒內(nèi)和第一個秒內(nèi)和第一個5秒內(nèi)物體受沖量秒內(nèi)物體受沖量之比及動量增量之比各為多少之比及動量增量之比各為多少？tF2解：設(shè)物體沿解：設(shè)物體沿+

9、x方向運(yùn)動，做直線運(yùn)動，方向運(yùn)動，做直線運(yùn)動，i（沿沿方向方向） 3/12II25250501tdtFdtINS7521051052tdtFdtINS i（沿（沿 方向方向） 3)()(12pp 例例 一質(zhì)量為一質(zhì)量為0.05kg、速率為、速率為10ms-1的剛球的剛球,以與鋼以與鋼板法線呈板法線呈45角的方向撞擊在鋼板上角的方向撞擊在鋼板上,并以相同的速率和并以相同的速率和角度彈回來角度彈回來 .設(shè)碰撞時間為設(shè)碰撞時間為0.05s.求在此時間內(nèi)鋼板所受求在此時間內(nèi)鋼板所受到的平均沖力到的平均沖力 .1vm2vmxy解解 建立如圖坐標(biāo)系建立如圖坐標(biāo)系, 由動量定理得由動量定理得cos2 vm0

10、sinsinvvmmFN1 .14cos2tmFFxv方向沿方向沿 軸反向軸反向xxxxmmtF12vv)cos(cosvvmmyyymmtF12vv二、質(zhì)點(diǎn)系的動量定理二、質(zhì)點(diǎn)系的動量定理1 1、基本概念：、基本概念：（1 1）質(zhì)點(diǎn)系）質(zhì)點(diǎn)系N N個質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)個質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)- - 研究對象研究對象質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系（2 2）內(nèi)力）內(nèi)力系統(tǒng)系統(tǒng)內(nèi)部內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)間的相互作用力各質(zhì)點(diǎn)間的相互作用力 特點(diǎn)：特點(diǎn)： 成對出現(xiàn)；成對出現(xiàn)； 大小相等方向相反大小相等方向相反結(jié)論：結(jié)論：質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力之和質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力之和為零為零0iifF質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系2 2、由兩個質(zhì)點(diǎn)所組成的質(zhì)點(diǎn)系的、由兩個質(zhì)點(diǎn)所組成的質(zhì)點(diǎn)系的

11、動量定理動量定理（3 3）外力）外力 系統(tǒng)系統(tǒng)外部外部對質(zhì)點(diǎn)系對質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)部內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)的作用力質(zhì)點(diǎn)的作用力質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系1m2m12F21F1F2F10111121d)(21vvmmtFFtt20222212d)(21vvmmtFFtt因?yàn)閮?nèi)力因?yàn)閮?nèi)力 ，故，故02112 FF)()(d)(20210122112121vvvvmmmmtFFtt質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系1m2m12F21F1F2F)()(d)(20210122112121vvvvmmmmtFFtt合外力的沖量等于兩質(zhì)點(diǎn)動量合外力的沖量等于兩質(zhì)點(diǎn)動量和的增量和的增量3 3、多個質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系的、多個質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系的動量定理動量定理 niiiin

12、iittniinittinimmdtFtF1011ex12121)()d(vv0ppI物理意義：作用于系統(tǒng)的合外力的沖量等于系統(tǒng)物理意義：作用于系統(tǒng)的合外力的沖量等于系統(tǒng)動量的增量。動量的增量。質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的沖量不能影響質(zhì)點(diǎn)系的總動量，而只質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的沖量不能影響質(zhì)點(diǎn)系的總動量，而只能改變質(zhì)點(diǎn)系總動量在質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間的分配能改變質(zhì)點(diǎn)系總動量在質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間的分配質(zhì)點(diǎn)系的總動量的變化只與質(zhì)點(diǎn)系所受的外力的矢質(zhì)點(diǎn)系的總動量的變化只與質(zhì)點(diǎn)系所受的外力的矢量和有關(guān)，與內(nèi)力的沖量無關(guān)。量和有關(guān)，與內(nèi)力的沖量無關(guān)。gbm2m000bgvv初始速度初始速度則則00pbgvv20p推開后速度推開后速度 且方

13、向相反且方向相反 則則推開前后系統(tǒng)動量不變推開前后系統(tǒng)動量不變0pp質(zhì)點(diǎn)系的動量定理處理變質(zhì)量的問題非常方便質(zhì)點(diǎn)系的動量定理處理變質(zhì)量的問題非常方便變質(zhì)量問題（低速，變質(zhì)量問題（低速，v v c c）有）有兩兩類類：粘附粘附 主體的質(zhì)量增加（如滾雪球主體的質(zhì)量增加（如滾雪球）拋射拋射 主體的質(zhì)量減少（如火箭發(fā)射）主體的質(zhì)量減少（如火箭發(fā)射）還有另一類變質(zhì)量問題是在還有另一類變質(zhì)量問題是在高速（高速（v v c c）情況下，）情況下，這時即使沒有粘附和拋射，質(zhì)量也可以改變這時即使沒有粘附和拋射，質(zhì)量也可以改變 隨隨速度變化速度變化 m m = = m m( (v v) )，這是，這是相對論相對論

14、情形，情形，不在本節(jié)不在本節(jié)討論之列。討論之列。變質(zhì)量問題變質(zhì)量問題(1)(1)確定研究系統(tǒng)確定研究系統(tǒng)(2)(2)寫出系統(tǒng)動量表達(dá)式寫出系統(tǒng)動量表達(dá)式(3)(3)求出系統(tǒng)動量變化率求出系統(tǒng)動量變化率(4)(4)分析系統(tǒng)受力分析系統(tǒng)受力(5)(5)應(yīng)用動量定理求解應(yīng)用動量定理求解變質(zhì)量問題的處理方法變質(zhì)量問題的處理方法變質(zhì)量問題變質(zhì)量問題例例1：列車在平直鐵軌上裝煤：列車在平直鐵軌上裝煤,列車空載時質(zhì)量為列車空載時質(zhì)量為m0,煤炭煤炭以速率以速率v1豎直流入車廂豎直流入車廂,每秒流入質(zhì)量為每秒流入質(zhì)量為 。假設(shè)列車與軌。假設(shè)列車與軌道間的摩擦系數(shù)為道間的摩擦系數(shù)為 ,列車相對于地面的運(yùn)動速度列

15、車相對于地面的運(yùn)動速度v2保持不保持不變變,求機(jī)車的牽引力。求機(jī)車的牽引力。1v2v解：解： 車和煤為系統(tǒng)車和煤為系統(tǒng), ,向下為向下為Y Y正向，向正向，向左為左為X X正向，建立坐標(biāo)系。正向，建立坐標(biāo)系。tt+dt時刻，時刻，dm = dt120d)()(vvP ttmt20)d()d(vPttmtt )()d(dtttPPP t d)(1vv2 XY1v2vXY變質(zhì)量問題變質(zhì)量問題g)(0tmFfNgNfF)(0tm tddP2vfF10)(vNgtmfvF 2Nv2)()(120vvgtm12vv gtmvN)(01 豎直豎直水平水平 例例 一柔軟鏈條長為一柔軟鏈條長為l,單位長度的質(zhì)

16、量為單位長度的質(zhì)量為 .鏈條放在鏈條放在桌上桌上,桌上有一小孔桌上有一小孔,鏈條一端由小孔稍伸下鏈條一端由小孔稍伸下,其余部分堆其余部分堆在小孔周圍在小孔周圍.由于某種擾動由于某種擾動,鏈條因自身重量開始落下鏈條因自身重量開始落下 .求求鏈條下落速度與落下距離之間的關(guān)系鏈條下落速度與落下距離之間的關(guān)系 . 設(shè)鏈與各處的摩設(shè)鏈與各處的摩擦均略去不計(jì)擦均略去不計(jì),且認(rèn)為鏈條軟得可以自由伸開且認(rèn)為鏈條軟得可以自由伸開 . 解解 以豎直懸掛的鏈條以豎直懸掛的鏈條和桌面上的鏈條為一系統(tǒng)和桌面上的鏈條為一系統(tǒng),建立如圖坐標(biāo)建立如圖坐標(biāo)由質(zhì)點(diǎn)系動量定理得由質(zhì)點(diǎn)系動量定理得ptFddexm1m2Oyyyggm

17、F1ex則則則則tddvyyg 兩邊同乘以兩邊同乘以 則則 yydvvvyyyyyygyddddd2t vvvyyyyyyg002dd21 gy32v232131vygy m1m2Oyy)d(d vytyg)d(dvyp又又ptFddex iiiitiipptFIt0ex21d質(zhì)點(diǎn)系動量定理質(zhì)點(diǎn)系動量定理 若質(zhì)點(diǎn)系所受的若質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力為零合外力為零 則系統(tǒng)的總動量則系統(tǒng)的總動量守恒守恒，即，即 保持保持不變不變 .0exexiiFFiipp動量守恒定律動量守恒定律CPFtpF,0,ddexex力的瞬時作用規(guī)律力的瞬時作用規(guī)律 1）系統(tǒng)的）系統(tǒng)的動量守恒動量守恒是指系統(tǒng)的是指系統(tǒng)的總動量不

18、變，系統(tǒng)總動量不變，系統(tǒng)內(nèi)任一物體的動量是可變的內(nèi)任一物體的動量是可變的, 各物體的動量必各物體的動量必相相 對對于于同一慣性參考同一慣性參考系系 .三、動量守恒定律三、動量守恒定律3）若若某一某一方向方向合外力為零合外力為零, 則則此此方向動量方向動量守恒守恒 . 4） 動量守恒定律只在動量守恒定律只在慣性參考系慣性參考系中成立中成立, 是自是自然界最普遍，最基本的定律之一然界最普遍，最基本的定律之一 .zizizzyiyiyyxixixxCmpFCmpFCmpFvvv,0,0,0exexex 2）守恒條件守恒條件 合外力為零合外力為零 當(dāng)當(dāng) 時，可時，可 略去外力的作用略去外力的作用, 近

19、似地近似地認(rèn)為系統(tǒng)動量守恒認(rèn)為系統(tǒng)動量守恒 . 例如在碰撞例如在碰撞, 打擊打擊, 爆炸等問題中爆炸等問題中. 0exexiiFFinexFF 5）動量守恒定律在高速領(lǐng)域、微觀領(lǐng)域依然適用。動量守恒定律在高速領(lǐng)域、微觀領(lǐng)域依然適用。 例例 1 設(shè)有一靜止的原子核設(shè)有一靜止的原子核,衰變輻射出一個電子和衰變輻射出一個電子和一個中微子后成為一個新的原子核一個中微子后成為一個新的原子核. 已知電子和中微子已知電子和中微子的運(yùn)動方向互相垂直的運(yùn)動方向互相垂直,且電子動量為且電子動量為1.210-22 kgms-1,中中微子的動量為微子的動量為6.410-23 kgms-1 . 問新的原子核的動量問新的

20、原子核的動量的值和方向如何的值和方向如何?解解inexiiFF 0Neppp即即 epNppniimp1iv恒矢量恒矢量又因?yàn)橛忠驗(yàn)閑pp )(2122eNppp9 .61arctanepp122Nsmkg1036. 1p代入數(shù)據(jù)計(jì)算得代入數(shù)據(jù)計(jì)算得系統(tǒng)動量守恒系統(tǒng)動量守恒 , 即即 0Neppp epNpp122esmkg102 . 1p123smkg104 . 6p例例2 2、如圖，車在光滑水平面上運(yùn)動。已知、如圖，車在光滑水平面上運(yùn)動。已知m m、M M、l0v人逆車運(yùn)動方向從車頭經(jīng)人逆車運(yùn)動方向從車頭經(jīng)t t 到達(dá)車尾。到達(dá)車尾。xvo l0vumM求求：1 1、若人勻速運(yùn)動，他到達(dá)車

21、尾時車的速度；、若人勻速運(yùn)動，他到達(dá)車尾時車的速度；2 2、車的運(yùn)動路程；、車的運(yùn)動路程； 3 3、若人以變速率運(yùn)動，、若人以變速率運(yùn)動， 上述結(jié)論如何？上述結(jié)論如何？解：以人和車為研究系統(tǒng)，解：以人和車為研究系統(tǒng)，取地面為參照系。水平方取地面為參照系。水平方向系統(tǒng)動量守恒。向系統(tǒng)動量守恒。)()(0vumvMvmM )()(0vumMvvmM xvo l0vumMvo l0vumMxtlmMmvumMmvv 001 1、2 2、lmMmtvttlmMmvvts 00)(3 3、umMmvv 0lmMmtvdtmMmuvvdtstt 0000)(力對空間的積累力對空間的積累-功功-能量的變化能

22、量的變化力對時間的累積力對時間的累積-沖量沖量 -動量的變化動量的變化 SFAcosSFrFAFSr作用物體的位移作用物體的位移1 1、恒力的功、恒力的功一、功一、功力對空間的積累力對空間的積累2 2、變力的功、變力的功FrdiF1drirdB*i1A1FrFddABABArFrFAdcosdFrdiF1drirdB*i1A1F在直角坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中:kFjFiFFzyxkdzjdyidxrd)(dzFdyFdxFAzyBAxcosFArBrrdro在工程上常用示功圖計(jì)算功。在工程上常用示功圖計(jì)算功。由由A A到到B B的路徑上力的路徑上力F F所做的功所做的功就對應(yīng)于曲線下面陰影部分就

23、對應(yīng)于曲線下面陰影部分的面積。的面積。3、功的性質(zhì)：、功的性質(zhì)：（1 1）功是標(biāo)量，但有正負(fù)）功是標(biāo)量，但有正負(fù)0,900A0,18090A090ArF 合力的功合力的功 = = 分力的功的代數(shù)和分力的功的代數(shù)和rdFFFFrdFANBABA)(321如果如果一個質(zhì)點(diǎn)一個質(zhì)點(diǎn)同時受到幾個力的作用：同時受到幾個力的作用：NBANBABAAAArdFrdFrdF2121rdFBAnii1niiA1質(zhì)點(diǎn)系問題：質(zhì)點(diǎn)系問題：niBAiirdFA1rdFBAnii )(1?1m2m1L2L則，各質(zhì)點(diǎn)的元位移則，各質(zhì)點(diǎn)的元位移nrrrdrddd321對問號的解釋：對問號的解釋：如圖，兩個質(zhì)點(diǎn)走的路徑不同如

24、圖，兩個質(zhì)點(diǎn)走的路徑不同：rd故不能用一個共同的元位移故不能用一個共同的元位移 來代替。來代替。對質(zhì)點(diǎn)系對質(zhì)點(diǎn)系各力各力作功之作功之和和不一定不一定等于等于合力合力的功。的功。（2 2）功是過程量功是過程量 （4 4）一對力的功）一對力的功（3 3）功是相對量）功是相對量系統(tǒng)中任意兩質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)中任意兩質(zhì)點(diǎn) m m1 1 m m2 2的相互作用力的相互作用力2112ff2dddAAA1221112rfrfdd1m2mo1r2r12f21f1L2L2112ff212112rfrfdd)(2112rrfdd 1212rfd 12rd質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)1 1相對質(zhì)點(diǎn)相對質(zhì)點(diǎn)2 2的元位移的元位移12f質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)1

25、1受質(zhì)點(diǎn)受質(zhì)點(diǎn)2 2的力的力21211212rfrfAddd1m2mo1r2r12f21f1L2L一對內(nèi)力作功之和與參考系無關(guān)一對內(nèi)力作功之和與參考系無關(guān)一對正壓力的功一對正壓力的功21AAAdddmMmrNd0一對滑動摩擦力作功一對滑動摩擦力作功mMrrfAdmMrrfd 0 0總功一定減少體系的動能。總功一定減少體系的動能。MmmNrfmMrd中學(xué)熟知的例子中學(xué)熟知的例子例例1 1 作用在質(zhì)點(diǎn)上的力為作用在質(zhì)點(diǎn)上的力為)(42Nji yF 在下列情況下求質(zhì)點(diǎn)從在下列情況下求質(zhì)點(diǎn)從)(21mx 處運(yùn)動到處運(yùn)動到)(32mx 處該力作的功：處該力作的功：1.1.質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌道為拋物線質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動

26、軌道為拋物線yx42 2.2.質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌道為直線質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌道為直線64 xyXYO23125. 2yx42 64 xy做做功功與與路路徑徑有有關(guān)關(guān))(42Nji yF JdydxxdyydxdyFdxFAyyxxyxyxyx8104242491322121212211.)(, XYO23125. 2yx42 64 xyJdydxxdyydxdyFdxFAyyxxyxyxyx252146214249132221212211.)()(, bazyxBAdzFdyFdxFrdFA例例2 2、質(zhì)量為質(zhì)量為2kg2kg的質(zhì)點(diǎn)在力的質(zhì)點(diǎn)在力i tF12(SI)的作用下，從靜止出發(fā)，沿的作用下，從靜止出

27、發(fā)，沿x x軸正向作直線運(yùn)軸正向作直線運(yùn)動。求前三秒內(nèi)該力所作的功。動。求前三秒內(nèi)該力所作的功。解：（一維運(yùn)動可以用標(biāo)量）解：（一維運(yùn)動可以用標(biāo)量） vdttrdFA122000032120tdttdtmFadtvvttt JtdttdtttA7299363124303302 4 4、功率、功率 力在單位時間內(nèi)所作的功力在單位時間內(nèi)所作的功瞬時功率等與力與物體速度的標(biāo)積瞬時功率等與力與物體速度的標(biāo)積單位：瓦特單位：瓦特 W WrdFdAvFdtrdFP 平均功率平均功率:tWpdtdWtWpt0lim1 1、重力的功、重力的功m m在重力作用下由在重力作用下由a a運(yùn)動到運(yùn)動到b b，取地面為

28、坐標(biāo)原點(diǎn)，取地面為坐標(biāo)原點(diǎn). . baGrdgmAXZOab gmrd bazzmgdz ba)kdzjdyidx(k)mg(bamgzmgz 初態(tài)量初態(tài)量末態(tài)量末態(tài)量二、保守力的功二、保守力的功重力所做的功只與始末位置有關(guān)，與所經(jīng)過的重力所做的功只與始末位置有關(guān)，與所經(jīng)過的路徑無關(guān)路徑無關(guān)、彈力的功、彈力的功kxFXOab 彈簧振子彈簧振子222121bakxkx 初態(tài)量初態(tài)量末態(tài)量末態(tài)量)(222121abxxkxkxkxdxAba 彈力所做的功只與始末位置有關(guān)，與所經(jīng)過的彈力所做的功只與始末位置有關(guān)，與所經(jīng)過的路徑無關(guān)路徑無關(guān)、萬有引力的功、萬有引力的功 兩個質(zhì)點(diǎn)之間在引力作用下相對運(yùn)動

29、時兩個質(zhì)點(diǎn)之間在引力作用下相對運(yùn)動時 ，以，以M M所在所在處為原點(diǎn)處為原點(diǎn), ,M M指向指向m m的方向?yàn)槭笍降恼较?。的方向?yàn)槭笍降恼较?。m m受的引力方向受的引力方向與矢徑方向相反。與矢徑方向相反。rabrdrFMmrdrab rdrrdrrdr cos)1(1 1 2barrbarGMmrGMmdrrGMmrdfAba萬有引力所做的功只與始末位置有關(guān)，與所經(jīng)萬有引力所做的功只與始末位置有關(guān)，與所經(jīng)過的路徑無關(guān)過的路徑無關(guān)保守力：保守力：力對質(zhì)點(diǎn)做功的大小只力對質(zhì)點(diǎn)做功的大小只與質(zhì)點(diǎn)的始末位置有與質(zhì)點(diǎn)的始末位置有關(guān)關(guān)，而，而與路徑無關(guān)與路徑無關(guān)。這種力稱為保守力。這種力稱為保守力。A

30、BCDADBACBrFrFd d BDAACBlrFrFrFd d d0d lrF物體沿物體沿閉合閉合路徑運(yùn)動路徑運(yùn)動 一周時一周時, , 保守力對它所保守力對它所作的功等于零作的功等于零 . .典型的耗散力：摩擦力典型的耗散力：摩擦力與保守力相對應(yīng)的是與保守力相對應(yīng)的是耗散力耗散力典型的保守力：重力、萬有引力、彈性力典型的保守力：重力、萬有引力、彈性力三、勢能三、勢能AB在受保守力的作用下，質(zhì)點(diǎn)從在受保守力的作用下，質(zhì)點(diǎn)從A AB B，所做的，所做的功與路徑無關(guān)，而只與這兩點(diǎn)的位置有關(guān)。功與路徑無關(guān)，而只與這兩點(diǎn)的位置有關(guān)?？梢胍粋€只可引入一個只與位置有關(guān)的函數(shù)與位置有關(guān)的函數(shù)，A A點(diǎn)的

31、函數(shù)點(diǎn)的函數(shù)值減去值減去B B點(diǎn)的函數(shù)值，定義為從點(diǎn)的函數(shù)值，定義為從A A B B保守力保守力所做的功，該函數(shù)就是勢能函數(shù)。所做的功，該函數(shù)就是勢能函數(shù)。勢能勢能 : 與物體間相互作用及相對位置有關(guān)的能量與物體間相互作用及相對位置有關(guān)的能量 . P1p2p)(EEEA 保守力的功保守力的功)2121(22ABkxkxA彈性彈性勢能勢能2p21kxE引力引力勢能勢能rmmGEp重力重力勢能勢能mgzE p彈力彈力功功)()(ABrmmGrmmGA引力引力功功)(ABmgzmgzA重力重力功功1 1、保守力的功與相應(yīng)勢能的關(guān)系、保守力的功與相應(yīng)勢能的關(guān)系 勢能具有勢能具有相對相對性，勢能性，勢能

32、大小大小與勢能與勢能零點(diǎn)零點(diǎn)的選取的選取有關(guān)有關(guān) .),(ppzyxEE 勢能是勢能是狀態(tài)狀態(tài)函數(shù)函數(shù)0),(pp0d),(EzyxrFzyxE00pE令令 勢能是屬于勢能是屬于系統(tǒng)系統(tǒng)的的 .討論討論 勢能計(jì)算勢能計(jì)算pp0p)(EEEA、由勢能求保守力、由勢能求保守力 l Fl F dl m質(zhì)點(diǎn)在保守力作用下沿質(zhì)點(diǎn)在保守力作用下沿 方向的微小位移，方向的微小位移， Fll d作功為作功為 FPdEl dFPdEFdlcosPldEdlFdldEFPl dldEPE Ep p沿沿 方向的空間變化率。方向的空間變化率。l一般，一般， EpEp是是x x、y y、z z的函數(shù)的函數(shù)Ep(xEp(

33、x、y y、z)z)故故：ZEFyEFxEFPzPyPx,保守力可寫為保守力可寫為:kFjFiFFzyxkZEjyEixEFPPP引入梯度引入梯度(gradient)(gradient)算符算符kZjyixPPgradEEFpEzOmgzE p 3 3、勢能曲線、勢能曲線彈性彈性勢能曲線勢能曲線0, 0pEx重力重力勢能曲線勢能曲線0, 0pEz引力引力勢能曲線勢能曲線0,pErxOpE2p21kxExOpErmmGEp勢能曲線提供的信息：勢能曲線提供的信息：2 2、勢能曲線上任意一點(diǎn)的斜率、勢能曲線上任意一點(diǎn)的斜率 的負(fù)值，表示質(zhì)點(diǎn)在該處所受的保守力的負(fù)值，表示質(zhì)點(diǎn)在該處所受的保守力 dld

34、EP1 1、質(zhì)點(diǎn)在軌道上任意位置時，質(zhì)點(diǎn)系所具、質(zhì)點(diǎn)在軌道上任意位置時，質(zhì)點(diǎn)系所具有的勢能值。有的勢能值。 三、三、 動能定理動能定理rFAdd思路：思路：與推導(dǎo)動量定理相同，仍然由牛頓第與推導(dǎo)動量定理相同，仍然由牛頓第二定律出發(fā)。二定律出發(fā)。rtmdddd m元功元功1 1、質(zhì)點(diǎn)的動能定理：、質(zhì)點(diǎn)的動能定理：ddmAd ddcosdddddd dmbadmAAba)()(d222121abmmKEA推導(dǎo)推導(dǎo)dd 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的動能定理質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的動能定理ddcos在一空間過程中，合力對質(zhì)點(diǎn)做的功等于質(zhì)點(diǎn)在一空間過程中，合力對質(zhì)點(diǎn)做的功等于質(zhì)點(diǎn)動能的增量。動能的增量。i tF6kgm30t00vFm

35、例、力例、力 (SI)(SI)作用在作用在 的質(zhì)點(diǎn)上。的質(zhì)點(diǎn)上。物體沿物體沿x軸運(yùn)動，軸運(yùn)動， 時時， 求前二秒內(nèi)求前二秒內(nèi)對對 作的功。作的功。用動能定理：用動能定理： )vv(m21mv21mv21W21222122J24)02(3214kg100 xsmv/1mx16?v例：質(zhì)量為例：質(zhì)量為 的物體作直線運(yùn)動，受力與坐標(biāo)的物體作直線運(yùn)動，受力與坐標(biāo)關(guān)系如圖所示。若關(guān)系如圖所示。若 時，時， ，試求，試求，時，時，481216)(mx10-100)(NF圖 3-140 xmx16解：在解：在到到過程中，外力功為過程中，外力功為J40 xW軸所圍面積代數(shù)和力曲線與由動能定理為：由動能定理為：

36、 2122mv21mv21W即即 1102110214022vsmv/322 2、質(zhì)點(diǎn)系的動能定理、質(zhì)點(diǎn)系的動能定理質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由質(zhì)量分別為 的N個質(zhì)點(diǎn)組成，每個質(zhì)點(diǎn)所受的合外力分別為Nmmmm,3, 2, 1NNfffFFF,2121所受的合內(nèi)力分別為則，由質(zhì)點(diǎn)的動能定理：KNNNNNKKEdrfFAErdfFAErdfFA)()()(2222211111注意：注意：對所有質(zhì)點(diǎn)求和可得：對所有質(zhì)點(diǎn)求和可得：()()()(2122112211KNKKNNNNEEErdfrdfrdfrdFrdFrdF 內(nèi)力之和一定為零，內(nèi)力之和一定為零，而內(nèi)力作功之和不一定為零！而內(nèi)力作功之和不一定為零

37、！質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)所受的外力和內(nèi)力做功的代數(shù)和等于質(zhì)點(diǎn)系總動能的增加。KEAA外內(nèi)即：即：即：即：內(nèi)力會改變系統(tǒng)的總動能內(nèi)力會改變系統(tǒng)的總動能四、功能原理、機(jī)械能守恒定律四、功能原理、機(jī)械能守恒定律1 1、功能原理、功能原理 對質(zhì)點(diǎn)系，由質(zhì)點(diǎn)系動能定理：對質(zhì)點(diǎn)系，由質(zhì)點(diǎn)系動能定理： KEAA外內(nèi)內(nèi)力分為保守內(nèi)力與非保守內(nèi)力內(nèi)力分為保守內(nèi)力與非保守內(nèi)力12KKEEAAA內(nèi)保內(nèi)非外PPPEEEA )(12內(nèi)內(nèi)保保12KKEEAAA內(nèi)保內(nèi)非外)()(1212PPKKEEEEAA內(nèi)非外)()(1122PKPKEEEE引入機(jī)械能引入機(jī)械能: PKEEE12EEAA 內(nèi)內(nèi)非非外外外力對系統(tǒng)和系統(tǒng)非保守內(nèi)力

38、做功之和等于外力對系統(tǒng)和系統(tǒng)非保守內(nèi)力做功之和等于系統(tǒng)機(jī)械能的增量。系統(tǒng)機(jī)械能的增量。2 2、機(jī)械能守恒定律、機(jī)械能守恒定律0 內(nèi)內(nèi)非非外外若若AA系統(tǒng)的機(jī)械能增加系統(tǒng)的機(jī)械能增加0 內(nèi)內(nèi)非非外外若若AA系統(tǒng)的機(jī)械能減少系統(tǒng)的機(jī)械能減少0 內(nèi)內(nèi)非非外外若若AA系統(tǒng)的機(jī)械能保持不變系統(tǒng)的機(jī)械能保持不變當(dāng)外力對系統(tǒng)做功為零和系統(tǒng)非保守內(nèi)力做當(dāng)外力對系統(tǒng)做功為零和系統(tǒng)非保守內(nèi)力做功為零時，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。功為零時，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。守恒定律的意義守恒定律的意義 .不追究過程細(xì)節(jié)而能對系統(tǒng)的狀態(tài)下結(jié)論，不追究過程細(xì)節(jié)而能對系統(tǒng)的狀態(tài)下結(jié)論，這是各個守恒定律的特點(diǎn)和優(yōu)點(diǎn)這是各個守恒定律的特點(diǎn)和優(yōu)點(diǎn) x

39、y0vH0pEo圖 3-18H例：如圖，在計(jì)算上拋物體最大高度例：如圖，在計(jì)算上拋物體最大高度 時時，（不計(jì)（不計(jì)空氣阻力）要求用質(zhì)點(diǎn)的動能定理、功能原理和機(jī)空氣阻力）要求用質(zhì)點(diǎn)的動能定理、功能原理和機(jī)械能守恒定律列方程。械能守恒定律列方程。解：解：動能定理為動能定理為合力功合力功=質(zhì)點(diǎn)動能增量質(zhì)點(diǎn)動能增量202021cos21mvvmmgH功能原理為功能原理為外力功外力功+非保守內(nèi)力功非保守內(nèi)力功=系統(tǒng)機(jī)械能增量系統(tǒng)機(jī)械能增量（?。ㄈ、地為系統(tǒng)）、地為系統(tǒng)）021cos21002020mvmgHvm機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律0非保內(nèi)外WW1122pkpkEEEE021cos212020mvmgHvmmvRm例：質(zhì)量為例：質(zhì)量為 的物體，從四分之一圓槽的物體，從四分之一圓槽A點(diǎn)靜止開點(diǎn)靜止開始下滑到始下滑到B。在。在B處速率為處速率為 。槽半徑為。槽半徑為 。求。求 從從AB過程中摩擦力做的功過程中摩擦力做的功BAsdFWmdtdvmmaFmgtrcoscosmgdtdvmFrcossdFs