圓錐曲線和射影幾何

1、圓錐曲線與射影幾何射影幾何是幾何學(xué)的重要內(nèi)容，射影幾何中的一些重要定理與結(jié)論往往能運(yùn)用在歐式 幾何中，有利于我們的解題。在這里，我們將對(duì)解析幾何中一些常見(jiàn)的圓錐曲線問(wèn)題進(jìn)行總 結(jié)，并給中一些較為方便的解法。例1:設(shè)點(diǎn)A(-1,0), B(1,0), C(2,0) , D在雙曲線X2 - y2 = 1的左支上，D - A,直線CD交雙曲線x2 - y2 = 1的右支于點(diǎn)E。求證：直線AD與直線BE的交點(diǎn)P在直1線x =-上。2如果是用解析幾何的做法，這將是非常麻煩的。但是如果用射影幾何的知識(shí)求解，將 會(huì)有意想不到的效果。我們知道，圓與圓錐曲線在攝影變換下是可以互相轉(zhuǎn)換的。我們先不考慮題目中的數(shù)

2、據(jù)與特殊的關(guān)系，僅僅考慮點(diǎn)線之間的位置關(guān)系，那么題設(shè)變成：有一點(diǎn)A在一條雙曲線內(nèi)部，過(guò) A引兩條直線與雙曲線分別交于B,C,D,E。連BD， CE交于點(diǎn)P,且P點(diǎn)在四邊形BCDE外部。又因?yàn)殡p曲線與圓在射影幾何中屬同一個(gè)變換群，所以可以將雙曲線變?yōu)閳A。如圖1連BE，CD交于點(diǎn)Q，連PQ，先證明：直線PQ是A點(diǎn)的極線。Q證明：對(duì)C于c'重合，B于b'重合的六邊形DCC'EBB'用帕斯卡定理得：DC于EB的交點(diǎn)Q,CC于BB的交點(diǎn)M ,C E于DB的交點(diǎn)P三點(diǎn)共線 同理P，Q，N三點(diǎn)共線所以P，Q，M，N四點(diǎn)共線。又因?yàn)锽C是M的極線，DE是N的極線，所以MN是BC

3、與DE的交點(diǎn)A的極線，即 PQ 是A的極線?；氐皆瓐D，由極線的定義與性質(zhì)得 OA- PQ,且FAGH為調(diào)與點(diǎn)列。有了前面的鋪墊再證例1就簡(jiǎn)單了。證明：過(guò)P點(diǎn)作PH X軸，則PH是C點(diǎn)的極線，AHBC為調(diào)與點(diǎn)列因?yàn)?A（-i,o）, B（i,o）, C（2,0）1所以H （ ,o）2即P在直線x = 1上2關(guān)于極線的知識(shí)，下文仍有用到，這里不再敘述。例2： M是拋物線y2 = 2 px（p - 0）的準(zhǔn)線上的任意點(diǎn)，過(guò) M點(diǎn)作拋物線的切線l1，l2，切點(diǎn)分別為A, B（A在X軸的上方）。（1）求證：直線AB過(guò)定點(diǎn)。（2）過(guò)M作X軸的平行線I與拋物線交于P,與AB交于Q.證明MP二PQ。證明:(1

4、) 同例一，我們很容易得到 AB是M的極線。在準(zhǔn)線上再取一點(diǎn) N，過(guò)N點(diǎn)作拋物線的切線| |4,切點(diǎn)為C ,D ,CD為N的極線34所以AB，CD的交點(diǎn)E的極線為MN即直線AB過(guò)定點(diǎn)E(2) 易得M , P，Q,以及I與拋物線另一端的交點(diǎn)M為調(diào)與點(diǎn)列。0因?yàn)镸是無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)Q0所以MP二PQ,證畢。仿射幾何是射影幾何的“子幾何”，相對(duì)與射影幾何，仿射幾何有著更為豐富的性質(zhì)。例3:已知橢圓 空仏 =1，求這個(gè)橢圓內(nèi)接三角形的面積的最大值。a2 b2對(duì)于例3，因?yàn)槊娣e不是射影不變量，所以我們不能單單用射影變換來(lái)解題。我們可以對(duì)變 換的條件加以限制，使之變成仿射變換，歐式平面上兩個(gè)幾何圖形的面積比是仿射

5、不變量。證明：我們把平面直角坐標(biāo)系中的每一個(gè)點(diǎn)(x,y) 變成 (x',y') ，其中10顯然，當(dāng)'P Q M為正三角形時(shí)，面積最大。3、3 2此時(shí)S p q ma24根據(jù)仿射變換的性質(zhì),S PQM所以S PQM二ab例4:作斜率為1的直線I與橢圓C3:x2= i交于a，b兩點(diǎn)，且36 4P（32,2）在直線的左上方。求證：PAB 的內(nèi)切圓圓心在一條定直線上。證明：由于關(guān)于橢圓的計(jì)算比較煩雜，我們?nèi)詫?duì)橢圓作仿射變換。10我們把平面直角坐標(biāo)系中的每一個(gè)點(diǎn)(x,y) 變成 (x',y') ，其中1520猜想這條定直線平行于 Y軸作PH垂直于X軸，與AB交點(diǎn)為C，過(guò)P點(diǎn)作X軸的平行線與AB交于D。若猜想成立，由于CPD = 90，則 ACBD 為調(diào)與點(diǎn)列現(xiàn)在證明 ACBD 為調(diào)與點(diǎn)列：設(shè) C(3、2,a)，易得 D(6i 2 - a,3 2)，yOC = a- x3/2過(guò)過(guò)D點(diǎn)作DE - OC ,垂足為E，DE將兩條直線方程聯(lián)立，解出32x36E的橫坐標(biāo)為108 218+a2所以 OC OE 二 (32)2 a2所以D的極線過(guò)C點(diǎn)，即ACBD為調(diào)與點(diǎn)列由于 CPD =90 ，則 APC 二