圓錐曲線知識點整理

1、高二數(shù)學圓錐曲線知識整理P|孚 e,e 01、三種圓錐曲線的研究（1 ）統(tǒng)一定義，三種圓錐曲線均可看成是這樣的點集:F為定點，d為P到定直線的 距離，F(xiàn) ，如圖。因為三者有統(tǒng)一定義，所以，它們的一些性質，研究它們的一些方法都具有規(guī)律 性。當0<e<1時，點P軌跡是橢圓；當 e>1時，點P軌跡是雙曲線；當 e=1時，點P軌跡是拋物線。（2）橢圓及雙曲線幾何定義：橢圓： P|PF i|+|PF 2|=2a，2a>|FiF2|>0, Fi、F2為定點， 雙曲線P|PF i|-|PF 2|=2a，|FiFa|>2a>0，F(xiàn)i，F(xiàn)2為定點。（3 ）圓錐曲線的幾何

2、性質：幾何性質是圓錐曲線內在的，固有的性質，不因為位置的改 變而改變。定性：焦點在與準線垂直的對稱軸上橢圓及雙曲線中：中心為兩焦點中點，兩準線關于中心對稱；橢圓及雙曲線關于長軸、 短軸或實軸、虛軸成軸對稱，關于中心成中心對稱。橢圓雙曲線拋物線焦距2c長軸長2a實軸長2a短軸長2b焦點到對應準線距離P=2b?cP通徑長2丄a2p離心率c e -ai基本量關系2,2 2a =b +cC2=a2+b2（4 ）圓錐曲線的標準方程及解析量（隨坐標改變而變） 舉焦點在x軸上的方程如下：橢圓雙曲線拋物線標準方程2 、#2X y 1 a2b2(a>b>0)2 、#2x y 1 a2 b2(a>

3、;0, b>0)2y =2px (p>0)頂點(± a, 0)(0，土 b)(± a, 0)(0, 0)焦占八'、八、(± c, 0)(p , 0)2準線2X=± cx=衛(wèi)2中心(0, 0)有界性|x| w a|y| w b|x| > ax > 0焦半徑P（xo, yo）為圓錐曲線上一點，F(xiàn)1、F2分別為左、右焦點|PF 1|=a+ex 0|PF 2|=a_ex 0P在右支時：|PF 1|=a+ex 0|PF 2|=-a+ex 0P在左支時：|PF 1|=-a-ex 0|PF 2|=a-ex 0|PF|=x 0+E22、直

4、線和圓錐曲線位置關系（1 ）位置關系判斷：法（適用對象是二次方程，二次項系數(shù)不為0）。其中直線和曲線只有一個公共點，包括直線和雙曲線相切及直線與雙曲線漸近線平行兩種情形；后一種情形下，消元后關于x或y方程的二次項系數(shù)為 0。直線和拋物線只有一個公共點包括直線和拋物線相切及直線與拋物線對稱軸平行等兩 種情況；后一種情形下，消元后關于x或y方程的二次項系數(shù)為 0。（2 ）直線和圓錐曲線相交時，交點坐標就是方程組的解。當涉及到弦的中點時，通常有兩種處理方法：一是韋達定理；二是點差法。例題研究例1、根據(jù)下列條件，求雙曲線方程。2 2（1 ）與雙曲線 厶 1有共同漸近線，且過點（-3，2 3）；9162

5、(2 )與雙曲線乞16分析:(1)設雙曲線方程為2 y16(入工0)(3)29(23)2"76-雙曲線方程為2 X2y1944(3 )設雙曲線方程為2 X2 y161k 016 k4 k4k 0(3.2)222116 k 4k解之得：k=422雙曲線方程為Xy112822評注：與雙曲線X2y21共漸近線的雙曲線方程為ab2焦點在x軸上；當蘭入<0時,焦點在y軸上。與雙曲線時,2 X2 a222y_b7(入工0),當入>0Xa2 kb12Xa22令1共焦點的雙曲線為(a2+k>0, b2-k>0 )。比較上述兩種解法可知,引入適當?shù)膮?shù)可以提高2y1有公共焦點，

6、且過點(3 2 , 2)。4解題質量，特別是充分利用含參數(shù)方程的幾何意義，可以更準確地理解解析幾何的基本思想。2 2例2、設F1、F2為橢圓 匚 厶 1的兩個焦點，P為橢圓上一點，已知 P、F1、F2是94個直角三角形的三個頂點，且|PF1|>|PF 2|，求廳印的值。| PF2 |解題思路分析:當題設涉及到焦半徑這個信息時，通常聯(lián)想到橢圓的兩個定義。法一：當/ PF2Fi=900 時，由144円1 14, |PF21 4|PFi| 壓| 6222|PFi| IPF2 |(2c) 得:c25 |PF1 |7|PF2 |2當/ F1PF>=900 時,同理求得 |PF1|=4 , |

7、PF2|=2 |PF1 |2|PF2 |法二：當/PF2F1=90°, xP5yp4 P ( .5,4 )又 F2 ( 533 |PF 1|=2a-|PF|= 142卜-3，0) |PF 2|=32當/ FiPF2=900,x由 2xT2y2 y4(5)得:1p （3飛，5評注：由|PF1|>|PF 2|的條件，直角頂點應有兩種情況，需分類討論。4J5）。下略。5例4、已知x2+y2=1，雙曲線（x-1） 2-y 2=1，直線同時滿足下列兩個條件：與雙曲線交于不同兩點；與圓相切，且切點是直線與雙曲線相交所得弦的中點。求直線方程。分析:選擇適當?shù)闹本€方程形式，把條件“是圓的切線”

8、 “切點M是弦AB中點”翻譯為關于參數(shù)的方程組。法一：當 斜率不存在時，x=-1滿足;當 斜率存在時，設：y=kx+b與OO相切，設切點為M,則 |OM|=1 |b| 1Q1 b 2=k2+1由（：）21得:2 2(1-k )x -2(1+kb)x-b2=o1 kb1 k2設 A (X1, y1), B (X2, y2),則中點 M(xo, yo),X1 X22(1 kb) x2 , x01 k y o=kx°+b= -_-21 k/ M在O O上22 丄x 0 +y° =1.(i+kb)2+(k+b)2=(i-k2)2k_3k.3由得：或3b=3b2T -i333:y、3

9、X2、3或y蘭=33333)轉化為關于rHzj>o評注：不管是設定何種參數(shù)，都必須將形的兩個條件(“相切”和“中點”參數(shù)的方程組，所以提高閱讀能力，準確領會題意，抓住關鍵信息是基礎而又重要的例5、A B是拋物線y2=2px( p>0)上的兩點， 且OM OB(1 )求A、B兩點的橫坐標之積和縱坐標之積；(2) 求證：直線AB過定點；(3) 求弦AB中點P的軌跡方程；(4) 求厶AOB面積的最小值；(5) O在AB上的射影 M軌跡方程。分析：設 A (xi,y 1) , B ( X2,y 2),中點 P (xo,y 0)SbXiY2X2/ OA丄 OB k o/koB=-l/ x i

10、X2+yiy2=0y i2=2pxi, y22=2px222yiy22p 2pT y 詳 0, 丫2工 042.y iy2=-4p“ 2.x iX2=4p22(2 )T y i =2pxi, y2 =2px2(yi-y 2) (y i+y2)=2p(x i_x 2)yi y2 2pxi X2yi y2k AB2pyi y2直線 AB： y yi2p (X Xi)yi y22pxyiy2yi2pxiyi y22px yi2pxi y°2yyi y2yi y?yi2 2pxi， y2 4p22px4p2yyi y2yi y2絲(x 2p)設 m (2p, o)yi y2 AB 過定點(2

11、p, o),（3）設 OA： y=kx，代入y2=2px 得：x=0,k2同理，以2、(2pk , -2pk )Xop(k2k2)yoP(ik)JQk2曠（k k）2 Xgp2即 yo =pxo-2p(空)2 2p2中點M軌跡方程y2=px-2p21(4) S aob s aom s bom IOM I (I yi2p(|yiI)2p . |yiy2 I 4p2當且僅當|y i|=|y 2|=2p時，等號成立評注：充分利用（i）的結論。（5）法一:設 H (X3,y 3)，則 koHYsX3k ABX3y3 AB:y3X3(X X3)yy3(yX3y3) X3 代入 y2=2p 得 y2叱yX

12、32p32X32pX3由（i）知， yiy2=-4p22py32x322px3 4p22整理得：X3 +y3 -2px 3=0點H軌跡方程為x2+y2-4x=0 （去掉（0, 0） 法二：/ OHM=90又由（2）知0M為定線段 H在以0M為直徑的圓上點H軌跡方程為（x-p） 2+y2=p2,去掉（0, 0）2例6、設雙曲線x2-1上兩點A、B, AB中點M（ 1 , 2）2（1）求直線AB方程；（2） 如果線段AB的垂直平分線與雙曲線交于 C、D兩點，那么A、B C D是否共圓,為什么?分析：(1)法一：顯然 AB斜率存在設 AB： y-2=k(x-1)y kx 2 k222由y2 得：(2

13、-k )x -2k(2-k)x-k+4k-6=0x212當厶 >0 時，設 A (x1,y 1) , B (X2,y 2)則 X1 X2k(2 k)22 k2 k=1，滿足 >0直線 AB: y=x+12y1法二：設 A (X1,y 1), B (X2,y 2)2X12y2則2 X2卄，1兩式相減得：(x 1-X2)(x 計X2)= (y 1-y 2)(y 計y2)2X 1工 X2y1y22(X1X2)X1X2y1y22 1k AB12 AB：y=x+12代入x2y_1 得: >02評注：法一為韋達定理法， 法二稱為點差法，當涉及到弦的中點時，常用這兩種途徑處理。在利用點差法時，必須檢驗條件厶>0是否成立。(2)此類探索性命題通?？隙M足條件的結論存在，然后求出該結論，并檢驗是否滿足所有條件。本題應著重分析圓的幾何性質，以定圓心和定半徑這兩定為中心設A、B、C、D共圓于O OM因AB為弦，故 M在AB垂直平分線即 CD上；又CD為弦, 故圓心 M為CD中點。因此只需證 CD中點M滿足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|y x 1由 2 y2 得：A (-1 , 0), B (3, 4)x212又CD方程：y=-x+3y x 3由 2 y2 得：x2+6x-11