三角形的高、中線與角平分線

1、第十一章三角形第十一章三角形11.1.2三角形的高、中線三角形的高、中線與角平分線與角平分線八年級(jí)八年級(jí) 上冊(cè)上冊(cè)湖北省咸寧市咸安區(qū)何功偉中學(xué)劉志剛復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧與三角形有關(guān)的線段，除了三條邊，還有我們已經(jīng)學(xué)與三角形有關(guān)的線段，除了三條邊，還有我們已經(jīng)學(xué)過的三角形的過的三角形的高高如圖，從如圖，從ABCABC的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)向它所對(duì)的邊向它所對(duì)的邊BCBC所在直所在直線畫垂線，垂足為線畫垂線，垂足為D D，所得，所得線段線段ADAD叫做叫做ABCABC的邊的邊BCBC上上的的高高ABCD 任意畫一個(gè)任意畫一個(gè)ABC, ,請(qǐng)你畫出請(qǐng)你畫出BC邊上的高邊上的高. .ABC注意：要養(yǎng)成習(xí)注意：要養(yǎng)成習(xí)

2、慣，畫好高線后慣，畫好高線后，隨手標(biāo)明垂直，隨手標(biāo)明垂直的記號(hào)和垂足的的記號(hào)和垂足的字母字母. .D合作探究 獲取新知 用同樣的方法，你用同樣的方法，你能畫出能畫出ABC的另兩的另兩條邊上高嗎？動(dòng)手條邊上高嗎？動(dòng)手試一試試一試合作探究合作探究 獲取新知獲取新知 讓學(xué)生分別畫出銳角、直角、鈍角三角形的三條高，讓學(xué)生分別畫出銳角、直角、鈍角三角形的三條高，（提示同一小組的學(xué)生可分工完成）（提示同一小組的學(xué)生可分工完成）并在小組內(nèi)討論，并在小組內(nèi)討論，通過各人所畫的高線，你發(fā)現(xiàn)了什么？通過各人所畫的高線，你發(fā)現(xiàn)了什么？高所在的直線是否相交高所在的直線是否相交高之間是否相交高之間是否相交高在三角形內(nèi)部

3、的數(shù)量高在三角形內(nèi)部的數(shù)量鈍角三角形鈍角三角形直角三角形直角三角形銳角三角形銳角三角形小組內(nèi)形成共識(shí)后，請(qǐng)合作填完下小組內(nèi)形成共識(shí)后，請(qǐng)合作填完下表表3 31 1相交相交不相交不相交相交相交相交相交相交相交相交相交 再次思考：不同類型的三角形三條高線的交點(diǎn)位置有什再次思考：不同類型的三角形三條高線的交點(diǎn)位置有什么不同？么不同？合作探究合作探究 獲取新知獲取新知?dú)w納小結(jié)：三角形的三條高所在直線交于一點(diǎn)歸納小結(jié)：三角形的三條高所在直線交于一點(diǎn) 分類討論思想分類討論思想銳角三角形的三條高所在直線交于一點(diǎn)，交點(diǎn)在三角形銳角三角形的三條高所在直線交于一點(diǎn)，交點(diǎn)在三角形內(nèi)部?jī)?nèi)部直角三角形的三條高所在直線交

4、于一點(diǎn)，交點(diǎn)在直角頂點(diǎn)直角三角形的三條高所在直線交于一點(diǎn)，交點(diǎn)在直角頂點(diǎn)上上鈍角三角形的三條高所在直線交于一點(diǎn)，交點(diǎn)在三角形鈍角三角形的三條高所在直線交于一點(diǎn)，交點(diǎn)在三角形外部外部復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧與三角形有關(guān)的線段，高很重要外，還有三角形的中與三角形有關(guān)的線段，高很重要外，還有三角形的中線也是重要線也是重要線段線段如圖，連接如圖，連接ABC的頂?shù)捻旤c(diǎn)點(diǎn)向它所對(duì)的邊向它所對(duì)的邊BC的中點(diǎn)的中點(diǎn)D，所得線段，所得線段AD叫做叫做ABC的的邊邊BC上的上的中線中線ABCD 任意畫一個(gè)任意畫一個(gè)ABCABC, ,請(qǐng)你畫出請(qǐng)你畫出BCBC邊上的中線邊上的中線. .注意：要養(yǎng)成習(xí)注意：要養(yǎng)成習(xí)慣，畫好中線

5、后慣，畫好中線后，隨手標(biāo)明中點(diǎn)，隨手標(biāo)明中點(diǎn)字母字母. .合作探究 獲取新知 用同樣的方法，你能畫出ABC的另兩條邊上中線嗎？動(dòng)手試一試ABDC合作探究合作探究 獲取新知獲取新知 請(qǐng)把自己畫的三角形及其三條中線在小組內(nèi)交流觀賞請(qǐng)把自己畫的三角形及其三條中線在小組內(nèi)交流觀賞一下，并在小組內(nèi)討論，通過各人所畫的中線，你又發(fā)現(xiàn)一下，并在小組內(nèi)討論，通過各人所畫的中線，你又發(fā)現(xiàn)了什么？了什么？小組內(nèi)形成共識(shí)后，請(qǐng)各個(gè)小組之間進(jìn)行小組內(nèi)形成共識(shí)后，請(qǐng)各個(gè)小組之間進(jìn)行交流交流 結(jié)論：三角形的三條中線交于一點(diǎn)結(jié)論：三角形的三條中線交于一點(diǎn)ABCDEFO拓展延申拓展延申 激發(fā)數(shù)學(xué)興趣激發(fā)數(shù)學(xué)興趣三角形的三條中

6、線的交點(diǎn)叫做三角形的重心三角形的三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心 課后探索課后探索1、學(xué)有余力的同學(xué)可通過查閱資料了解：三角形、學(xué)有余力的同學(xué)可通過查閱資料了解：三角形的重心的意義？怎樣確定基本圖形的幾何重心？的重心的意義？怎樣確定基本圖形的幾何重心？2、（選做）查閱資料了解：重心的物理意義？嘗、（選做）查閱資料了解：重心的物理意義？嘗試了解質(zhì)地均勻的三角形木板的重心及其平衡點(diǎn)？試了解質(zhì)地均勻的三角形木板的重心及其平衡點(diǎn)？復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧與三角形有關(guān)的線段，高和中線已經(jīng)有所了解，還有與三角形有關(guān)的線段，高和中線已經(jīng)有所了解，還有三角形的角平分線也很三角形的角平分線也很重要重要如圖，畫如圖，畫的平

7、分線的平分線ADAD，交，交的對(duì)邊的對(duì)邊BCBC于點(diǎn)于點(diǎn)D D，所得的線段，所得的線段ADAD叫做叫做ABCABC的的角平分線角平分線ABCD 任意畫一個(gè)任意畫一個(gè)ABCABC, ,請(qǐng)你畫出過請(qǐng)你畫出過A A點(diǎn)的三角形角點(diǎn)的三角形角平分線平分線. .注意：要養(yǎng)成習(xí)注意：要養(yǎng)成習(xí)慣，畫角平分線慣，畫角平分線后，隨手標(biāo)明角后，隨手標(biāo)明角平分線與對(duì)邊交平分線與對(duì)邊交點(diǎn)的字母點(diǎn)的字母. .合作探究 獲取新知 用同樣的方法，用同樣的方法，你能畫出你能畫出ABCABC的的另兩條角平分線嗎？另兩條角平分線嗎？動(dòng)手動(dòng)手試一試試一試ABD DC合作探究合作探究 獲取新知獲取新知 請(qǐng)把自己畫的三角形及其三條角平分

8、線在小組內(nèi)交流請(qǐng)把自己畫的三角形及其三條角平分線在小組內(nèi)交流觀賞一下，并在小組內(nèi)討論，通過各人所畫的角平分線，觀賞一下，并在小組內(nèi)討論，通過各人所畫的角平分線，你又發(fā)現(xiàn)了什么？你又發(fā)現(xiàn)了什么？小組內(nèi)形成共識(shí)后，請(qǐng)各個(gè)小組之間進(jìn)行小組內(nèi)形成共識(shí)后，請(qǐng)各個(gè)小組之間進(jìn)行交流交流 結(jié)論：三角形的三條角平分線交于結(jié)論：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)一點(diǎn)ABCDEFO三角形的三條角平線的交點(diǎn)又會(huì)叫做什么呢？三角形的三條角平線的交點(diǎn)又會(huì)叫做什么呢？ 課后探索課后探索查閱資料：三角形的角平分線的交點(diǎn)的會(huì)不會(huì)有特查閱資料：三角形的角平分線的交點(diǎn)的會(huì)不會(huì)有特定名稱？其意義是什么？（其實(shí)后面將要學(xué)習(xí)，可提定名稱？其意

9、義是什么？（其實(shí)后面將要學(xué)習(xí)，可提前預(yù)習(xí)一下）前預(yù)習(xí)一下）拓展延申拓展延申 激發(fā)數(shù)學(xué)興趣激發(fā)數(shù)學(xué)興趣辨析誤區(qū)辨析誤區(qū) 精益求精精益求精討論：三角形的角平分線與角的平分線有什么區(qū)別討論：三角形的角平分線與角的平分線有什么區(qū)別？小組交流小組交流討論討論抓住本質(zhì)：三角形的角平分線是一條線段；抓住本質(zhì)：三角形的角平分線是一條線段；角的平分線是一條角的平分線是一條射線射線 D C B A D C B A 2 1 D C B A三角形的三角形的重要線段重要線段概念概念圖形圖形幾何語言表示幾何語言表示三角形三角形的高線的高線從三角形的一個(gè)從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作垂所在的直線作垂

10、線線, ,頂點(diǎn)和垂足之頂點(diǎn)和垂足之間的線段間的線段AD是是ABC的的BC上高線上高線.ADBCADB=ADC=90=90.三角形三角形的中線的中線三角形中三角形中, ,連結(jié)一連結(jié)一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段中點(diǎn)的線段 AD是是ABC的的BC上的上的 中線中線. BD=CD= BC. 三角形的三角形的角平分線角平分線三角形一個(gè)內(nèi)角三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的的平分線與它的對(duì)邊相交對(duì)邊相交, ,這個(gè)角這個(gè)角頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段的線段.AD是是ABC的的BAC的的 平分線平分線 1=2= BAC 歸納小結(jié)歸納小結(jié) 形成網(wǎng)絡(luò)形成網(wǎng)絡(luò)初步應(yīng)用初步應(yīng)用 鞏固知識(shí)鞏固知識(shí)練習(xí)練習(xí)1

11、、如圖，（、如圖，（1）（）（2）和（）和（3）中的三個(gè)）中的三個(gè)B有什么不同？這三條有什么不同？這三條 ABC的邊的邊BC上的高上的高AD在各自三角形的什么位置？你能說出其在各自三角形的什么位置？你能說出其中的規(guī)律嗎？中的規(guī)律嗎？ABC（D）（2 2）ABC CD D（1 1）ABCD（3 3）圖（圖（1）中）中B是銳角，是銳角，高高AD在在 ABC的內(nèi)的內(nèi)部部答案：答案：圖（圖（2）中）中B是直角，是直角，高高AD與邊與邊 AB的重合的重合圖（圖（3）中）中B是鈍角，是鈍角，高高AD在在 ABC的外的外部部2.填空：填空： （1 1）如圖）如圖1 1，AD，BE，CF是是ABC的三條中線，

12、則的三條中線，則AB=2=2 ， BD= = , ,AE= = 2121圖2FEDCBA4321圖1FEDCBAAF或BFCDAC 2 ABC4初步應(yīng)用初步應(yīng)用 鞏固知識(shí)鞏固知識(shí)練習(xí)練習(xí)（2 2）如圖）如圖2 2， AD，BE，CF是是ABC的三條角平分線，則的三條角平分線，則1=1= , ,3= 3= , , ACB=2=2FEDCBA3.3.如圖，在如圖，在ABC中，中，AE是中線，是中線，AD是角平分線，是角平分線，AF是高是高CEBCCADBACBACAFCAFC鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)填空：填空：（1 1）BE= = = = ；（2 2）BAD= = = = ；（3 3）AFB= = =90

13、=902121鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)4.4.如圖，如圖，AE是是ABC的中線，的中線，EC6 6，DE2 2，則則BD的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為( () )A A2 2B B3 3 C C4 4D D6 6C C5.5.下列說法正確的是下列說法正確的是( () )平分三角形內(nèi)角的射線叫做三角形的角平分線；平分三角形內(nèi)角的射線叫做三角形的角平分線；三角形的中線、角平分線都是線段，而高是直線；三角形的中線、角平分線都是線段，而高是直線；每個(gè)三角形都有三條中線、高和角平分線；每個(gè)三角形都有三條中線、高和角平分線；三角形的中線是經(jīng)過頂點(diǎn)和對(duì)邊中點(diǎn)的直線三角形的中線是經(jīng)過頂點(diǎn)和對(duì)邊中點(diǎn)的直線A A B B C C D DB 如圖所示如圖所示, ,在在ABC, ACB=90 ABC, ACB=90 , ,把把ABCABC沿直線沿直線ACAC翻折翻折180180, ,使點(diǎn)使點(diǎn)B B 落在點(diǎn)落在點(diǎn)BB的位置的位置, ,則線段則線段ACAC具有性具有性質(zhì)質(zhì)( )( ) B C B AD D拓展延申拓展延申A.A.是邊是邊BBBB上的中線上的中線 B.B.是邊是邊BBBB上的高上的高C.C.是是BA