初中幾何最值問題

1、初中幾何最值問題例題精講一、 三點共線1、構造三角形【例1】 在銳角中，AB=4，BC=5，ACB=45°，將ABC繞點B按逆時針方向旋轉，得到A1BC1點E為線段AB中點，點P是線段AC上的動點，在ABC繞點B按逆時針方向旋轉過程中，點P的對應點是點P1，求線段EP1長度的最大值與最小值【鞏固】以平面上一點O為直角頂點，分別畫出兩個直角三角形，記作AOB和COD，其中ABO=DCO=30°如圖，若BO=，點N在線段OD上，且NO=2點P是線段AB上的一個動點，在將AOB繞點O旋轉的過程中，線段PN長度的最小值為_，最大值為_備用圖【例2】 如圖，°，矩形ABCD

2、的頂點AB分別在邊OM，ON上，當B在邊ON上運動時，A隨之在邊OM上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2，BC=1，運動過程中，點D到點O的最大距離為_【鞏固】已知：中，中，,.連接、，點、分別為、的中點.若、三點在同一直線上，且，固定，將繞點旋轉，則的最大值為_ 【鞏固】在平面直角坐標系xOy中，點、分別在軸、軸的正半軸上，點為線段的中點點、分別在軸、軸的負半軸上，且以為邊在第三象限內作正方形，請求出線段長度的最大值，并直接寫出此時直線所對應的函數的解析式圖2【例3】 如圖，已知，為反比例函數圖像上的兩點，動點在正半軸上運動，當線段與線段之差達到最大時，點的坐標是_yxOABP2

3、、軸對稱【例1】 求的最小值【例2】 是半徑為5的的兩條弦，為直徑，于點,于點，為上任意一點，則的最小值為_【鞏固】設半徑為1的半圓的圓心為，直徑為,是半圓上兩點，若弧的度數為96°，弧的度數為36°，動點在直徑上，則的最小值是_【鞏固】設正三角形的邊長是2，是邊上的中點，是邊上任意一點，則的最大值為_,最小值為_【例3】 如圖，已知等邊ABC的邊長為1，D、E、F分別是AB、BC、AC邊上的點（均不與點A、B、C重合），記DEF的周長為.若D、E、F分別是AB、BC、AC邊上任意點，則的取值范圍是 .【例4】 如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線yx22x3與x軸交于AB兩

4、點，與y軸交于點C，點D是拋物線的頂點（1）求直線AC的解析式及BD兩點的坐標；（2）請在直線AC上找一點M，使BDM的周長最小，求出點M的坐標圖1【例5】 如圖，直線分別交x軸、y軸于C、A兩點，將射線AM繞點A順時針旋轉45°得到射線AN，D為AM上的動點，B為AN上的動點，點C在MAN的內部（1）當AMx軸，且四邊形ABCD為梯形時，求的面積；（2）求BCD周長的最小值；（3）當BCD的周長取得最小值，且時，求的面積Axy1OD212MNB34CAxy1O21234C備用圖Axy1O21234C備用圖【例6】 在直角坐標系中，為四邊形的4個頂點，當四邊形的周長最短時，_【鞏固】

5、如圖1，拋物線yax2bxc（a0）的頂點為C（1，4），交x軸于A、B兩點，交y軸于點D，其中點B的坐標為（3，0）。（1）求拋物線的解析式；（2）如圖2，過點A的直線與拋物線交于點E，交y軸于點F，其中點E的橫坐標為2，若直線PQ為拋物線的對稱軸，點G為直線PQ上的一動點，則x軸上師范存在一點H，使D、G、H、F四點所圍成的四邊形周長最小。若存在，求出這個最小值及點G、H的坐標；若不存在，請說明理由。圖13ABxyODC圖2ABxyODCPQEFABxyODC【例7】 已知，如圖1，二次函數的圖像的頂點為，與軸交于兩點（在的右側），點關于直線：對稱（1）求兩點的坐標，并證明點在直線上；（2

6、）求二次函數的解析式；（3）過點作交直線于點，分別為直線和直線上的兩個動點，連結求的最小值【鞏固】如圖，在平面直角坐標系xOy中,二次函數的圖象與軸交于（-1,0）、（3,0）兩點, 頂點為.(1) 求此二次函數解析式；(2) 點為點關于x軸的對稱點，過點作直線：交BD于點E，過點作直線交直線于點.問：在四邊形ABKD的內部是否存在點P，使得它到四邊形ABKD四邊的距離都相等，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；(3) 在（2）的條件下，若、分別為直線和直線上的兩個動點，連結、，求和的最小值.【例8】 在平面直角坐標系中，矩形的頂點O在坐標原點，頂點A、B分別在軸、軸的正半軸上，D

7、為邊OB的中點.溫馨提示：如圖，可以作點D關于 軸的對稱點 ，連接 與 軸交于點E，此時 的周長是最小的.這樣，你只需求出 的長，就可以確定點 的坐標了.（）若為邊上的一個動點，當的周長最小時，求點的坐標；yBODCAxEyBODCAx（）若、為邊上的兩個動點，且，當四邊形的周長最小時，求點、的坐標.【鞏固】已知點A（3，4），點B的坐標為（1，1）時，在x軸上另取兩點E，F(xiàn)，且EF=1線段EF在x軸上平移，線段EF平移至何處時，四邊形ABEF的周長最??？求出此時點E的坐標【例9】 已知直線與軸交于點A，與軸交于點D，拋物線與直線交于A、E兩點，與軸交于B、C兩點，且B點坐標為(1，0).（1

8、）求該拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上找一點M，使的值最大，求出點M的坐標。【鞏固】已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線與x軸、y軸的交點分別為A、B，將OBA對折，使點O的對應點H落在直線AB上，折痕交x軸于點C.（1）直接寫出點C的坐標，并求過A、B、C三點的拋物線的解析式；（2）設拋物線的對稱軸與直線BC的交點為T，Q為線段BT上一點，直接寫出的取值范圍.3、旋轉【例1】 如圖，已知在ABC中，BC=a，AC=b，以AB為邊作等邊三角形ABD.當ACB變化,且點D與點C位于直線AB的兩側時，求 CD的最大值及相應的ACB的度數.【例2】 如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為

9、，點在軸的正半軸上，為的中線，過、兩點的拋物線與軸相交于、兩點（在的左側）（1）求拋物線的解析式；（2）點為三角形內的一個動點，設，請直接寫出的最小值,以及取得最小值時，線段的長.【鞏固】已知矩形，在矩形內有一點，在邊上有一點,分別確定點和的位置，使得最小【鞏固】直角梯形中，在梯形內求作一點使于且的值最小二、 垂線段最短【例1】 已知,是線段上任意一點，在的同側分別以和為邊作兩個等邊三角形和，則線段長度的最小值是_ABCDNM【例2】 如圖，在銳角中，的平分線交于點分別是和上的動點，則的最小值是_ 【鞏固】矩形中，.在、上各取一點、，使的值最小，求這個最小值【例3】 如圖，在中，AB=15，A

10、C=12，BC=9，經過點且與邊相切的動圓與CB、CA分別相交于點E、F，則線段長度的最小值是_【例4】 已知在的邊上取一點，設和的外接圓的圓心分別是和，求：使兩圓半徑為最小值時點的位置【鞏固】點在的邊上，分別作和的外接圓。問當點在什么位置時，兩外接圓公共部分的面積最??？【例5】 在已知內，作內接矩形，使一邊在最大邊上，另外兩個頂點、分別在邊，上。試確定矩形的位置，使對角線長最短.【鞏固】點在銳角的邊上運動，試確定點的位置，使最小，并證明你的結論.【例6】 如圖，在平面直角坐標系中，開口向上的拋物線與軸交于兩點，為拋物線的頂點，為坐標原點若的長分別是方程的兩根，且（1）求拋物線對應的二次函數解

11、析式；（2）過點作交拋物線于點，求點的坐標；ycCclxcBcPcDcAO（3）在（2）的條件下，過點任作直線交線段于點求到直線的距離分別為，試求的最大值【例7】 在直角坐標系中，點A坐標為（-3，-2），圓A的半徑為1，P為x軸上一動點，PQ切圓A于點Q，則當PQ最小時，P點的坐標為_【鞏固】如圖，在平面直角坐標系中，已知是等腰三角形（為底邊），頂點的坐標是，點在軸上，點的坐標是，軸于點，點是的中點，點是直線上的一動點（1）求點的坐標（2）以點為圓心、為半徑作圓，得到動圓，過點作的兩條切線，切點分布為，問：是否存在以為頂點的四邊形的最小面積為？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由三、 與

12、圓相關的最值1、過圓內任一點的弦中，最長的弦是直徑，最短的弦是垂直于過該點的直徑的弦【例1】 如圖，的半徑為5，點到圓心的距離為，如果過點作弦，那么長度為整數值的弦的條數為_2、設是O內一點，在連接與圓上各點的線段中，圓心所在線段最短，圓心在其反向延長線上的線段最長；設是O外一點，在連接與圓上各點的線段中，圓心所在線段最長，圓心在其延長線上的線段最短【例1】 在直線MN的同側有定點A及定圓圓，試在MN上求一點P，在圓上求一點Q，使最短【例2】 點在圖形上，點在圖形上，記為線段長度的最大值，為線段長度的最小值，圖形的平均距離（1）在平面直角坐標系中，是以為圓心，2為半徑的圓，且，求及；（直接寫出

13、答案即可）（2）半徑為1的的圓心與坐標原點重合，直線與軸交于點，與軸交于點，記線段為圖形，求（3）在（2）的條件下，如果的圓心從原點沿軸向右移動，的半徑不變，且，求圓心的橫坐標3、過圓上點作割線的垂線段，當圓心在這垂線段上時，該點是圓上所有點中到這割線的距離最長的點【例1】 已知：是中一條長為4的弦，是上一動點，問是否存在以為頂點的面積最大的三角形,試說明理由；若存在，求出這個三角形的面積4、過圓上的一點作與圓相離的直線的垂線段，當圓心在這條垂線段上時，這點是圓上所有點與該直線距離最長的點；當圓心在這條線段的反向延長線時，這點事圓上所有點與該直線距離最短的點【例1】 如圖，AB是半圓的直徑，線

14、段CAAB于點A，線段DB上AB點B，AB=2，AC=1，BD=3，P是半圓上的一個動點，則封閉圖形ACPDB的最大面積是_5、一條弧所對的圓內角大于它所對的圓周角，而這圓周角則大于該弧所對的圓外角【例1】 B為的邊上的兩點，試在上求作一點，使最大P·OACDB【例2】 如圖所示，直線與線段為直徑的圓相切于點，并交的延長線于點，且，點在切線上移動.當的度數最大時，則的度數為_四 、轉化類【例1】 如圖，正方形ABCD的邊長為1，點P為邊BC上任意一點（可與B點或C點重合），分別過B、C、D作射線AP的垂線，垂足分別是B、C、D，則BB+CC+DD的最大值為_，最小值為_【鞏固】在中，

15、若的內切圓半徑為，則的最大值為_【例2】 已知拋物線經過、兩點，當和時，這條拋物線上對應的縱坐標相等經過點的直線與軸平行，為坐標原點（1）求直線和這條拋物線的解析式；（2）以為圓心，為半徑的圓記為圓,判斷直線與圓的位置關系，并說明理由；（3）設直線上的點的橫坐標為,是拋物線上的動點，當的周長最小時，求四邊形的面積【例3】 在平面直角坐標系xOy中，O的半徑為2，且A（4，0），B（4，4），點P在O上運動。（1）求2BP+AP的最小值。 （2）若點M是函數（x>0,x2）的圖象上一點，MEx軸于點E，MFy軸于點F，記M的橫坐標為t（t>0,t2）,請用含t的表達式表示的最小值。【鞏固】在平面直角坐標系中，拋物線的頂點為.（1）求點的坐標（用含的代數式表示）；（2）直線與拋物線交于、兩點，點在拋物線的對稱軸左側.拋物線的對稱軸與直線交于點，作點關于直線的對稱點. 以為圓心，為半徑的圓上存在一點，使得的值最小，則這個最小值為_ .【例4】 已知拋物線經過點和點（1）求此拋物線解析式；（2）過點作軸的垂線，垂足為點點從拋物線的頂點出發(fā)，先沿拋物線的對稱軸到達點，再沿到達點，若點在