第七章導(dǎo)行電磁波

1、2022-2-211第七章第七章 波導(dǎo)與諧振腔波導(dǎo)與諧振腔2022-2-212 7-1 7-1 導(dǎo)波系統(tǒng)及其電磁場方程導(dǎo)波系統(tǒng)及其電磁場方程 一、導(dǎo)波系統(tǒng)及其種類一、導(dǎo)波系統(tǒng)及其種類 導(dǎo)波系統(tǒng)（或稱為傳輸線）：傳導(dǎo)電磁波的系統(tǒng)。導(dǎo)波系統(tǒng)（或稱為傳輸線）：傳導(dǎo)電磁波的系統(tǒng)。 （a）平行雙線 （b）同軸線 （c）微帶線 （d）矩形波導(dǎo) （e）圓波導(dǎo) （f）光纖 2022-2-213 均勻?qū)Рㄏ到y(tǒng)：沿傳播方向?qū)Рㄑb置橫截面不發(fā)生變化。均勻?qū)Рㄏ到y(tǒng)：沿傳播方向?qū)Рㄑb置橫截面不發(fā)生變化。 傳輸線類型：傳輸線類型：TEMTEM波傳輸線，如雙導(dǎo)線、同軸線、微帶等；波傳輸線，如雙導(dǎo)線、同軸線、微帶等；波導(dǎo)傳輸

2、線，如矩形波導(dǎo)、圓形波導(dǎo)等；波導(dǎo)傳輸線，如矩形波導(dǎo)、圓形波導(dǎo)等；表面波傳輸線，如介質(zhì)波導(dǎo)等。表面波傳輸線，如介質(zhì)波導(dǎo)等。 二、導(dǎo)波系統(tǒng)的電磁場方程二、導(dǎo)波系統(tǒng)的電磁場方程 無限大空間向+z方向傳播均勻平面波 kztjAejtzyxE),(理想介質(zhì)中： 導(dǎo)電媒質(zhì)中： zjztjztjeeAejeAejtzyxE),(可以統(tǒng)一寫為： ztjezyxEtzyxE),(),(1導(dǎo)波系統(tǒng)中電磁波的形式導(dǎo)波系統(tǒng)中電磁波的形式 2022-2-214導(dǎo)波系統(tǒng)沿z方向是均勻且無限延伸，則場與z無關(guān)，即ztjztjeyxEeyxEtzyxE),(),(),(0ztjztjeyxHeyxHtzyxH),(),(),

3、(0 = j為導(dǎo)波系統(tǒng)傳播常數(shù)，為衰減常數(shù)， 為相位常數(shù)。 和 表示t=0時(shí)、z=0處導(dǎo)波系統(tǒng)的場量。 ),(0yxE),(0yxH2導(dǎo)波系統(tǒng)中的波動方程導(dǎo)波系統(tǒng)中的波動方程 導(dǎo)波系統(tǒng)為無源區(qū)域，并假設(shè)其內(nèi)部填充理想介質(zhì)，則 , 022EkE022HkH(7-1-6) 0 ),( ),( ),( ),(2222222ztjztjztjztjeyxEkeyxEzeyxEyeyxEx將導(dǎo)波系統(tǒng)的電磁波表達(dá)式代入，有 2022-2-2150),(),(),(022202202 yxEkyyxExyxE忽略導(dǎo)波系統(tǒng)的衰減， = 0， = j，則有： 0),(),(),(02202202yxEhyyxE

4、xyxE(7-1-8) 2222kkh (7-1-9) h稱為特征值，是待定的常數(shù)。用 、 代表 、 ),(0yxE),(0yxH0E0H0, 00220220202202202HhyHxH EhyExE(7-1-10) 分解成標(biāo)量方程，即 2022-2-216(7-1-11) , ),(00yxEEyy, ),(00yxEExx, ),(00yxHHyy),(00yxEEzz, ),(00yxHHxx),(00yxHHzz其中BjEztjztj(x,y)eHj(x,y)eE 0 , 00 , 00 , 002202202022022020220220202202202022022020220

5、2202zzzzzzyyyyyyxxxxxxHhyHxHEhyExEHhyHxHEhyExEHhyHxHEhyExEHj Ej t zj t zH(x,y)ejE(x,y)e yExEkxEzEjzEyEiExyzxyz2022-2-217可得 ,),()(0ztjxxeyxEE,),()(0ztjxxeyxHH,),()(0ztjyyeyxEE)(0),(ztjzzeyxEE,),()(0ztjyyeyxHH)(0),(ztjzzeyxHH約去ej(tz)zxyzxyyzxyzxxyzxyzEyHxHHyExEExHHHxEEEHyHHEyEj j jj jjjj jj ，000000000

6、000000000 , , ,zxyzxyyzxyzxxyzxyzEjyHxHHjyExEEjxHHjHjxEEjEjHjyHHjEjyE(7-1-13) 2022-2-218 聯(lián)立式(7-1-13)中的各式，可求得 xHyEhjEyHxEhjExEyHhj HyExHhjHzzyzzxzzyzzx0020002000200020 ,求出電場、磁場的縱向分量求出電場、磁場的縱向分量Ez和和Hz，即可求得其它橫向分量。，即可求得其它橫向分量。 (7-1-14) 結(jié)論結(jié)論(7-1-11) , 002202202zzzEhyEzE002202202zzzHhyHzH如何求出縱向分量如何求出縱向分量E

7、z和和Hz？根據(jù)（根據(jù)（7-1-117-1-11）式求解。）式求解。 2022-2-219 7-2 7-2 矩形波導(dǎo)中的電磁場矩形波導(dǎo)中的電磁場 LHsdtDsdJl dH結(jié)論：結(jié)論：傳播方向存在電場Ez分量。因此空心波導(dǎo)不能傳TEM波。 空心波導(dǎo)中能否傳輸TEM波呢？ 假設(shè)它能夠傳TEM波。在波導(dǎo)任意橫截面上作閉合環(huán)路L，沿L對磁場進(jìn)行環(huán)路積分。TEM波只有橫向場分量Ex，Ey和Hx，Hy。橫截面上磁場線是閉合曲線，因此沿任意閉合回路L磁場強(qiáng)度的環(huán)路積分(即環(huán)量值)H不為零，為傳導(dǎo)電流與位移電流之和，即 等式右邊第1項(xiàng)代表傳導(dǎo)電流，波導(dǎo)管為空心金屬管，無內(nèi)導(dǎo)體不可能有傳導(dǎo)電流；右邊第2項(xiàng)位移

8、電流不為零說明沿傳播方向存在縱向分量電場。2022-2-2110 一、矩形波導(dǎo)中電磁場的求解 1分離變量法求解波動方程分離變量法求解波動方程 思路：先求電場、磁場縱向分量Ez和Hz，然后求其它橫向分量。 0 00220220202202202zzzzzzHhyHxHEhyExE，由式(7-1-11)：(7-2-1) 僅是(x,y)的二元函數(shù)，假設(shè)它們可以寫成 00 ,zzHEXYyYxXyxHXYyYxXyxEzz)()(),( )()(),(00或(7-2-2) 波動方程改寫為 022222XYhdyYdXdxXdY2222211 hdyYdYdxXdX2022-2-2111222222yx

9、yxkkhhkk或二元二階微分方程化成兩個(gè)相互獨(dú)立的一元二階微分方程 0 , 0222222YkdyYd XkdxXdyx(7-2-6) 特征方程： 22xkrxjkr 22ykryjkr 求得通解： )sin()cos(21xkCxkCXxx)sin()cos(21ykDykDYyy(7-2-7) ， 2222211hdyYdYdxXdX(7-2-4) 等式左邊第1項(xiàng)與第2項(xiàng)之間彼此獨(dú)立，等式右邊為常數(shù)h2，說明式中等號左邊的兩項(xiàng)分別等于兩個(gè)互相獨(dú)立的常數(shù)，即： )sin()cos( )sin()cos(),(21210ykDykDxkCxkCyxEyyxxz)sin()cos( )sin(

10、)cos(),(21210ykDykDxkCxkCyxHyyxxz 把上式代入式(7-2-2)，可得 (7-2-8a) (7-2-8b) (7-2-5)2022-2-2112 2 2矩形波導(dǎo)中的矩形波導(dǎo)中的TMTM波波(E(E波波) ) TM (E)波磁場 的縱向分量Hz = 0，電場 的縱向分量Ez 0，可通過Ez 分量求場的其他分量。根據(jù)邊界條件，可得HE0),( 0),( 0),( 0),(000000byzyzaxzxzyxEyxEyxEyxE，0 0)sin()cos( ), 0(12110CykDykDCyEyyz)sin()cos( )sin(),(2120ykDykDxkCyx

11、Eyyxz0 0)sin()0 ,(1120DDxkCxExz)sin()sin(),(220ykDxkCyxEyxz0)sin()sin(),(220ykDakCyaEyxz2 , 1 ,0)sin(mamkakxx2022-2-2113 ybnxamBybnxamDCyxEmnzsinsinsinsin),(220注意：注意：m和和n不能為零，否則電場不能為零，否則電場Ez分量恒為零，分量恒為零， TM波就不存波就不存在了。在了。Bmn 是與激勵(lì)源有關(guān)的常數(shù)。是與激勵(lì)源有關(guān)的常數(shù)。 (7-2-11) 0)sin()sin(),(220bkDxkCbxEyxz2 , 1 ,0)sin(nbn

12、kbkyy 有了Ez和Hz就可以求其他分量，利用式(7-1-14) ： xHyEhjEyHxEhjExEyHhj HyExHhjHzzyzzxzzyzzx0020002000200020 ,(7-1-14) 2022-2-2114 ybnxamBamhHybnxamBbnhHybnxamBbnhEybnxamBamhEmnmnymnmnxmnmnmnymnmnmnxsincosjcossinjcossinjsincosj20202020(7-2-12) 注意：注意：選擇一組m和n值，式(7-2-11)和(7-2-12)就是TM波(E波)的一組解，特征值就確定了，因此把“m”和“n”作為特征值的

13、下標(biāo)。 2022-2-2115由式(7-2-5)（p5）可得： 2222 bnamkkhyxmn(7-2-13) 由(7-1-9)式： 2222kkh222222kbnamkhmnmn 可得：若矩形波導(dǎo)中TM波(E波)能無衰減地沿z傳播，傳播常數(shù)mn必須是純虛數(shù)mn = jmn，mn必須是實(shí)數(shù)。 mnmnmnjbnamjhkj 22222(7-2-15) 2022-2-2116 討論討論m和n的選取必須使 ；存在著許多組m和n使相位常數(shù) mn是實(shí)數(shù)，因此也就存在著許多種TM波(E波)，記為TMmn?；駿mn模?？梢郧蟮肨Mmn模瞬時(shí)值形式的場表達(dá)式，再給定時(shí)刻，即可確定電磁場的分布，如圖7-2

14、-2。TMmn模下標(biāo)“m”是波導(dǎo)內(nèi)壁寬邊上場量最大值出現(xiàn)的次數(shù)(或半駐波數(shù))；第2個(gè)下標(biāo)“n”是波導(dǎo)內(nèi)壁窄邊上場量最大值出現(xiàn)的次數(shù)(或半駐波數(shù))。 0222 bnam2022-2-2117矩形波導(dǎo)TMmn模的電磁場分布 2022-2-2118 3矩形波導(dǎo)中的矩形波導(dǎo)中的TE波波(H波波) TE波(H波)的電場Ez = 0，磁場Hz 0，利用電場切向邊界條件：通過式(7-1-14)：0),( 0),(, 00, 0 , 00, 0axzaxybyzbyxxHzyxEyHzyxE，0),(),(, 0, 0axybyxzyxEzyxExHyEhjEyHxEhjEzzyzzx00200020可得：

15、由此可求得： ybnxamAyxHmnzcoscos),(02022-2-2119 m和和n只能一個(gè)為零，否則只能一個(gè)為零，否則Hz 為常數(shù)，使其他場分量都為零。為常數(shù)，使其他場分量都為零。 xHyEhjEyHxEhjExEyHhj HyExHhjHzzyzzxzzyzzx0020002000200020 ,由(7-1-14)(7-2-19) ybnxamAbnhHybnxamAamhHybnxamAamhEybnxamAbnhEmnmnmnymnmnmnxmnmnymnmnxsincosjcossinjcossinjsincosj202020202022-2-2120hmn和mn的計(jì)算與TM

16、波完全相同，Amn = C2D2 與激勵(lì)源有關(guān)。 TEmn模下標(biāo)“m”、“n”與TMmn模下標(biāo)“m”、“n”含義相同。 存在著許多種TE波(H波)，記為TEmn?；騂mn模。 由TEmn模場強(qiáng)瞬時(shí)值形式可確定電磁場的分布，如圖所示。 討論：討論：2022-2-2121TEmn模的電磁場分布 2022-2-2122 二、矩形波導(dǎo)中兩種波型的電氣參數(shù) 1截止頻率截止頻率( (截止波長截止波長) )和相位常數(shù)和相位常數(shù) ztjmneyxEtzyxE),(),(22mnmnhk mn為實(shí)數(shù)TMmn和TEmn模在波導(dǎo)中以行波方式無衰減傳輸；截止頻率：使截止頻率：使k = hmn的TMmn或TEmn模電磁

17、波頻率，記作 fc(mn)。 2222mnC mnhmanb由式(7-2-15)，可得： 2222c()1222pmnmnvhmnmnfabab(7-2-20) 若矩形波導(dǎo)填充空氣，則若矩形波導(dǎo)填充空氣，則 22)(c2bnamcfmn(7-2-21) mn = j TMmn?；騎Emn模處于衰減狀態(tài)，沿波導(dǎo)衰減；mn= 0TMmn和TEmn模處于臨界狀態(tài)，不能沿波導(dǎo)傳輸。 2022-2-21232222)(c)()(222mbnaabbnamhmnmn(7-2-22) 截止波長：使k = hmn無限大介質(zhì)中TEM波的波長，記作 c(mn) mnmnCh2矩形波導(dǎo)的TMmn?；騎Emn模的截止

18、頻率 fc(mn)與波導(dǎo)填充的介質(zhì)、波導(dǎo)的幾何尺寸以及m和n的選取有關(guān)；而截止波長c(mn)僅與波導(dǎo)的幾何尺寸以及m和n的選取有關(guān)。 只有f fc(mn)或者 f c(m-1,n) ( 或 f c(m,n-1) f c(m-1, n-1) c(m, n) c(m-1,n) ( 或 c(m,n-1)c(m-1, n-1) c(m-1, n-1)波導(dǎo)中存在TEm-1, n-1、TM m-1, n-1、 b。 最低次模：最低次模：TE10波，截止頻率最低，截止波長最大，稱作主模。波，截止頻率最低，截止波長最大，稱作主模。 22)31(c22)21(c22)11(c)3(2 , )2(2 , 2baa

19、bbaabbaab時(shí)當(dāng)，時(shí)當(dāng)，baabbaaa2 222 2 單模傳輸條件：單模傳輸條件： (7-3-3) 2022-2-2132 通常矩形波導(dǎo)橫截面寬邊尺寸a是窄邊尺寸b的2倍略多一點(diǎn)。 模式分布圖模式分布圖 2022-2-2133a b = 2.3 cm 1.0 cm標(biāo)準(zhǔn)矩形波導(dǎo)的截止波長分布圖標(biāo)準(zhǔn)矩形波導(dǎo)的截止波長分布圖 2022-2-2134 如果波導(dǎo)中填充介質(zhì)，則：如果波導(dǎo)中填充介質(zhì)，則： rr0rr0 單模傳輸條件改為單模傳輸條件改為 時(shí)當(dāng)，時(shí)當(dāng)，baabbaaa2 222 2 rr0rrrr0rr填充介質(zhì)相當(dāng)于波導(dǎo)矩形橫截面長度和寬度都擴(kuò)大了填充介質(zhì)相當(dāng)于波導(dǎo)矩形橫截面長度和寬度

20、都擴(kuò)大了 倍倍 rr對于非鐵磁媒質(zhì)對于非鐵磁媒質(zhì) rr baba例例7-3-1 矩形波導(dǎo)橫截面尺寸矩形波導(dǎo)橫截面尺寸a b = 7 cm 3 cm，填充，填充 r = 1， r = 4介質(zhì)。問：介質(zhì)。問：f = 3.75 109 Hz的信號在波導(dǎo)中有幾種模式？的信號在波導(dǎo)中有幾種模式？ 解：頻率為解：頻率為f = 3.75 109 Hz的信號在真空中的波長為的信號在真空中的波長為 (cm) 81075. 31039100fc(7-3-5) 2022-2-2135下面依次求出若干個(gè)模式的截止波長，再逐個(gè)判斷。 介質(zhì)中的介質(zhì)中的TEM波波長為波波長為 (cm) 4418rr0 (cm) 62 (c

21、m) 7 (cm) 142)01(c)20(c)10(c，baa (cm) 4.6732 (cm) 5.512)30(c22)11(c，abaab (cm) 68. 3)3(2 (cm) 56. 4)2(222)31(c22)21(c，baabbaab (cm) 3 (cm) 5 . 32)02(c)40(c，ba (cm) 76. 2)2()2(2 (cm) 93. 2)2(222)22(c22)12(cbaabbaab，2022-2-2136存在：TE10，TE20，TE01，TE11，TM11，TE30，TE21和TM21波。例例7-3-2 矩形波導(dǎo)中填充 r = 1，r = 4介質(zhì)。f

22、 = 3.75 109 Hz的信號以H10模單模傳輸，求該矩形波導(dǎo)橫截面尺寸a b 。解：解：(cm) 8)1075. 3()103(9100fc(cm) 40r由式(6-1-34) 時(shí)當(dāng)，baaa2 2 由單模傳輸條件式(7-3-3)： 2 a可得： )cm(42(cm) a因此可以選擇： a b = 2.850 cm 1.262 cm 如果這個(gè)矩形波導(dǎo)不填充介質(zhì)，就只能傳輸TE10模。 填充r = 4的非鐵磁理想介質(zhì)，相當(dāng)于把波導(dǎo)橫截面的長度和寬度都擴(kuò)大2倍，由單模傳輸狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)槎嗄鬏敔顟B(tài)。 2022-2-2137例例7-3-3 矩形波導(dǎo)橫截面尺寸a b = 7 cm 3 cm。問：(1

23、) 當(dāng)波導(dǎo)內(nèi)填充空氣時(shí)，工作波長為 0 = 28 cm的信號能否以TE10模(H10模)傳輸？(2)實(shí)現(xiàn)TE10模(H10模)單模傳輸，所填充介質(zhì)的相對磁導(dǎo)率 r和相對介電常數(shù) r應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系式？ 解：解： (1)(1)由式(7-2-22)： )cm(28(cm) 1420)10(ca不能以TE10模傳輸(2) 由式(7-3-5)可知，填充介質(zhì)的 r和 r 應(yīng)滿足： rrrrrr0rr14287 2 aa解之，可得 4 rr 16 若所選擇的介質(zhì)為非鐵磁介質(zhì)，則有4 r 16 矩形波導(dǎo)中填充介質(zhì)后，可由截止?fàn)顟B(tài)變?yōu)閱文鬏敔顟B(tài)。矩形波導(dǎo)中填充介質(zhì)后，可由截止?fàn)顟B(tài)變?yōu)閱文鬏敔顟B(tài)。若若 r

24、和和 r 較大，還可變?yōu)槎嗄鬏敔顟B(tài)。較大，還可變?yōu)槎嗄鬏敔顟B(tài)。 2022-2-2138 ybnxamAbnhHybnxamAamhHybnxamAamhEybnxamAbnhEmnmnmnymnmnmnxmnmnymnmnxsincosjcossinjcossinjsincosj20202020 二、矩形波導(dǎo)TE10模(H10模)的場結(jié)構(gòu) 1電磁場結(jié)構(gòu)電磁場結(jié)構(gòu) TEmn（或Hmn）模的場表達(dá)式： ybnxamAyxHmnzcoscos),(0(7-2-18) (7-2-19) 2022-2-2139 加入指數(shù)因子 后TE10模場表達(dá)式： )( j10zte)( j1010ecosztzx

25、aAH 討論： 電磁場沿y方向沒有變化； )( j101010esinjztxxaAaH)( j1010esinjztyxaAaEEy、Hx在x = 0和x = a兩個(gè)波導(dǎo)壁為零，在寬壁中心線上最大；Hz在兩個(gè)波導(dǎo)壁最大，在寬壁中心線上為零。場圖場圖: :某固定時(shí)刻用電力線和磁力線表示電磁場分布的圖形。某固定時(shí)刻用電力線和磁力線表示電磁場分布的圖形。 磁場線都是平行于寬面的閉合曲線；磁場曲線族沿z方向長度為半波導(dǎo)波長；相鄰曲線族環(huán)繞方向相反。 2022-2-21402022-2-2141 2 2電流與電荷的分布電流與電荷的分布 zxyHkHiH， EjE理想導(dǎo)體表面上面電流密度矢量為： HnJ

26、S TE10模的場:矩形波導(dǎo)y = 0平面： jn ； y = b平面： jnTE10 (H10)模在上下兩寬壁的磁場： zxHkHix,y,zH,zx,Hx,b,zH)()0()(寬邊內(nèi)壁上下兩側(cè)對應(yīng)點(diǎn)處電流密度矢量： ), 0 ,(),(zxJzbxJSS矩形波導(dǎo)x = 0平面： in ； x = a平面： inTE10模在左右兩窄壁的磁場：Hz(a, y, z) = Hz(0, y, z) 窄邊內(nèi)壁左右兩側(cè)對應(yīng)點(diǎn)處電流密度矢量: ),(), 0(zyaJzyJSS2022-2-2142 由(1-5-3)式知，理想導(dǎo)體表面上面電荷與電場強(qiáng)度矢量關(guān)系為： nSEEnDn矩形波導(dǎo)x = 0平面

27、和 x = a平面上：表面電荷密度 S = 0； 矩形波導(dǎo)y = 0平面： jn ； y = b平面： jn矩形波導(dǎo)寬壁內(nèi)表面上、下兩側(cè)的對應(yīng)點(diǎn)處表面電荷密度: S(x, b, z) = S(x, 0, z) 作業(yè)：作業(yè)：7-17-1，7-37-3，7-47-4，7-6 7-6 2022-2-2143四、TE10（H10）模的傳輸功率（行波狀態(tài)下單模傳輸?shù)墓β剩?z)tj(yz)tj(xz)tj(zexaAajEexaAajHexaAH101010sinsin ,cos1010101022)10(10211akck2， 根據(jù)(7-3-8)式，令 100AaEzjyexajEjEjE10sin0

28、(7-3-29a) 2022-2-2144zjzjzxexaaEkexaaEj iHkHiH1010cos2sin21020111222CyxzyxyzSEHjEiHkHkE HiE HxaaEk)H(EkHEiHEkSSxyzyxyCav2220sin212Re21Re21Re(7-3-31) 在波導(dǎo)任意橫截面上通過的平均功率為：在波導(dǎo)任意橫截面上通過的平均功率為： 2022-2-21452200222002220002220002142cos121212sin212sin212 aEab dxxaaEb dxxaaEbdxdykxaaEksdSPaababaavav(7-3-32,33,3

29、4) 2022-2-2146 7-4 7-4 圓形波導(dǎo)中的電磁波圓形波導(dǎo)中的電磁波 一、圓形波導(dǎo)內(nèi)的電磁場方程一、圓形波導(dǎo)內(nèi)的電磁場方程 忽略衰減， = j。圓形波導(dǎo)的電磁場矢量可寫成 ：)( j0)( j0e ),(),(e ),(),(ztztHtzHHEtzEE(7-4-2) 圓形波導(dǎo)存在衰減: = j ),(),(),(),(),(),(),(),(00000000zzHkHeHeHEkEeEeE(7-4-3) 2022-2-2147 波導(dǎo)管內(nèi)部無傳導(dǎo)電流，故由麥克斯偉方程(5-1-14)可得： HEjEHj， 根據(jù)附錄五圓柱坐標(biāo)系的旋度公式可得： zzzE)E(kEzEe zEEeE

30、EEzkeeE1111 同理可以寫出磁場的旋度運(yùn)算的行列式，由此可得六個(gè)標(biāo)量方程。 (7-4-5) 2022-2-2148 j1)(1 j1)(1 jj jj jj1 jj1 zzzzzzEHHHEEEHHHEEEHHHEE，(7-4-6) 用縱向分量Ez和Hz來表示其他坐標(biāo)分量，即 00200020002000201j 1j1j 1jzzzzzzzzHEhEHEhEEHhHEHhH，(7-4-7) 2022-2-2149 可推導(dǎo)出Ez和Hz兩個(gè)坐標(biāo)分量在圓柱坐標(biāo)系中的波動方程為： 011011222222222222zzzzzzzzHhHHHEhEEE(7-4-12) 22khh稱為特征值，

31、根據(jù)電磁場邊界條件及波型模式來確定。 (7-4-13) 其中2022-2-2150二、圓波導(dǎo)的分離變量法二、圓波導(dǎo)的分離變量法 消除式(7-4-12)中的指數(shù)因子，可得：01101102202202020220220202zzzzzzzzHhHHHEhEEE(7-4-14) ),()(),(0 REz(7-4-15) 設(shè)：)()(),(0 RHz帶入(7-4-14),整理得：22222221hRRRR(7-4-16) 和是各自獨(dú)立的變量,因此等式等于一個(gè)常數(shù)，令其為m2。由此可得到兩個(gè)二階微分方程：2022-2-2151二、貝賽爾函數(shù)簡介二、貝賽爾函數(shù)簡介 貝賽爾函數(shù)分為第1類貝賽爾函數(shù)和第2

32、類貝賽爾函數(shù)。第1類貝賽爾函數(shù)是一個(gè)收斂的無窮冪級數(shù)。0222md(7-4-17) 0122222RmhddRRd(7-4-21) 兩個(gè)方程的解分別為： mDmmcos hJCRmmm(7-4-18) (7-4-22) 其中為第1類m階貝塞爾函數(shù)。 xJm2022-2-215202)(2) 1()(llmlm!lml!xxJ m 階第1類貝賽爾函數(shù)(以下簡稱 m 階貝賽爾函數(shù))為式中自變量 x 0。貝賽爾函數(shù)的階數(shù)可以取 m = 0,1,2,3,。m = 0 時(shí)，稱為 0 階貝賽爾函數(shù)，即0220) !(2) 1()(llllxxJ 使Jm(x) = 0的x值稱為m階貝賽爾函數(shù)Jm(x) 的根

33、。記作pmn，n=1，2，3，是根pmn由小到大排列的的序號。圖7-4-2給出了03階貝賽爾函數(shù)隨x的變化曲線，表7-4-1給出了03階貝賽爾函數(shù)的前4個(gè)根。2022-2-2153圖7-4-2 J0(x)，J1(x)，J2(x) 和 J3(x) 的變化規(guī)律2022-2-2154m階貝賽爾函數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫作m階貝賽爾導(dǎo)函數(shù) )()(xJdxdxJmm(7-4-30) 使J m(x) = 0的自變量x值稱作m階貝賽爾導(dǎo)函數(shù)J m(x)的根，記作pmn，n = 1,2,3,，是根pmn由小到大排列的序號。圖7-4-3給出貝賽爾導(dǎo)函數(shù)變化曲線。表7-4-2給出貝賽爾導(dǎo)函數(shù)的前4個(gè)根。 n m123402.

34、4055.5208.65411.79213.8327.01610.17313.32425.1367.21711.62014.79636.3809.76113.01516.223表7-4-1 Jm(x)的前4個(gè)根pmn 2022-2-2155圖7-4-3 7-4-3 貝塞爾導(dǎo)函數(shù)曲線 2022-2-2156 n m123403.8327.01610.173 13.32411.8415.3317.33611.70623.0546.7069.97013.17034.2018.01511.344 14.586表7-4-2 貝賽爾導(dǎo)函數(shù)J m(x)的前4個(gè)根pmn 2022-2-2157 n m1234

35、03.8327.01610.17313.32411.8415.3317.33611.70623.0546.7069.97013.17034.2018.01511.34414.586表7-4-2 J m(x)的前4個(gè)根pmn 比較表7-4-1與表7-4-2 nnpp01 nm123402.4055.5208.65411.79213.8327.01610.17313.32425.1367.21711.62014.79636.3809.76113.01516.223表7-4-1 Jm(x)的前4個(gè)根pmn 比較的結(jié)果：結(jié)論：一階貝塞爾函數(shù)的根與零階貝塞爾導(dǎo)函數(shù)的根相同。結(jié)論：一階貝塞爾函數(shù)的根與零階

36、貝塞爾導(dǎo)函數(shù)的根相同。2022-2-2158三、圓形波導(dǎo)中電磁場求解及有關(guān)參數(shù)三、圓形波導(dǎo)中電磁場求解及有關(guān)參數(shù) 1圓形波導(dǎo)中的圓形波導(dǎo)中的TM波波(E波波) )cos()()()(),(0mhJBREmmnz由邊界條件可以求得TMmn模(Emn模)相應(yīng)的特征值為 (7-4-34) aphmnmnE(7-4-36) a為圓波導(dǎo)半徑，將式(7-4-36)帶入式(7-4-34)，Ez為 由分離變量法可得圓波導(dǎo)TMmn(Emn)模電場縱向分量Ez為 )cos(),(0mapJBEmnmmnz(7-4-37) 將上式代入式(7-4-7)并考慮Hz= 0，可得圓波導(dǎo)四個(gè)橫向分量 。2022-2-2159

37、(7-4-38) 討論： 如果m = 0，則 90。在波導(dǎo)壁內(nèi)表面 = a上， E = 0；H = 0，符合邊界條件 )(mapJBhj)(H)(mapJBmhj)(H)(mapJBmhj)(E)(mapJBhj)(EmnmmnEmnmmnEmnmmnEEmnmmnEEmnmnmnmnmnmncos,sin,sin,cos,0202002022-2-2160TMmn模(Emn模)的截止波長 當(dāng)波在波導(dǎo)中截止時(shí)=0，則： cfkkh222avpaphfpmnmnEEcmnmn222)(7-4-40) vp是介質(zhì)中TEM波的相速，相應(yīng)的截止波長為 mncpcpafvmnmn2)E()E( TMmn

38、模(Emn模)的截止波長與內(nèi)部填充的介質(zhì)無關(guān)，僅取決于貝塞爾函數(shù)的根pmn和圓波導(dǎo)半徑a，而截止頻率還與填充的介質(zhì)有關(guān)。 討論：討論：2022-2-2161圓波導(dǎo)TMmn模(Emn模)的其它參數(shù)2)E(E1mnmncHEHEZ 12)(EEmnmnck2)E(p)E(g1mnmncvv2)E(E)E(12 mnmnmncg2)E()E(1mnmncppvv圓波導(dǎo)TMmn (Emn)模場分布中，m代表橫截面上沿圓周方向磁場切向分量變化的周期數(shù)（或半圓周上最大值出現(xiàn)次數(shù)）；n代表橫截面上沿半徑方向磁場線最密集數(shù)（最大值數(shù))。 例如，TM01模沿圓周方向場量沒有任何變化，對應(yīng)m = 0；沿半徑方向磁

39、場線最密集出現(xiàn)1次，對應(yīng)n = 1。 ，2022-2-2162圓波導(dǎo)TM01模(E01模)場結(jié)構(gòu)分布圖 2022-2-2163 2圓形波導(dǎo)中圓形波導(dǎo)中TE波波(H波波) 由分離變量法可得： )cos(),(0mhJAHmmnz圓形波導(dǎo)TE(H) 模的特征值為 aphmnmnH(7-4-46) (7-4-48) 由式(7-4-7)可得：020020020020j 1jj jzzzzHhEHhEHhHHhH，(7-4-45) 由電場切向分量連續(xù)的邊界條件可得：00( , )0zmmmnaaHEJhaJp (7-4-47) 2022-2-2164)cos(j),()sin(j),()sin(j),(

40、)cos(j),(H02H0HH0HH0mapJAhEmapJAmhEmapJAmhHmapJAhHmnmmnmnmmnmnmmnmmmnmnmnmnmnmnmn(7-4-50) 將式(7-4-49) 代入式(7-4-45)并考慮Ez= 0，可得：)cos(),(0mapJAHmnmmnz(7-4-49) 將特征值帶入式（7-4-46）可得：2022-2-2165圓形波導(dǎo)TEmn(Hmn) 模的截止頻率為： avpaphfpmnmncmnmn222H)H(圓形波導(dǎo)TEmn(Hmn) 模的截止波長為： mncpcpafvmnmn2)H()H(圓形波導(dǎo)TEmn(Hmn) 模的波阻抗為： 2)H(H)(1mnmncHEHEZ(7-4-55) (7-4-52) (7-4-54) 2022-2-2166圓形波導(dǎo)TEmn(Hmn) 模的其他