“費馬點”與中考試題

1、“費馬點”與中考試題費馬，法國業(yè)余數(shù)學(xué)家，擁有業(yè)余數(shù)學(xué)之王的稱號，他是解析幾何的發(fā)明者之一.費馬點一一就是到三角形的三個頂點的距離之和最小的點.費爾馬的結(jié)論：對于一個各角不超過120°的三角形，費馬點是對各邊的張角都是120°的點，對于有一個角超過120°的三角形，費馬點就是這個內(nèi)角的頂點.下面簡單說明如何找點P使它到ABC三個頂點的距離之和PA+PB+PC最小這就是所謂的費馬問題.圖1解析：如圖1,把APC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)60°得至1APC',連接PP'.則4APP'為等邊三角形，AP=PP',P'C=PC,所以

2、PA+PBPC=PP'+PB+P'C'.點C可看成是線段AC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)60。而得的定點，BC'為定長，所以當(dāng)BP、P'、C'四點在同一直線上時，PA+PBPC最小.這時/BPA=180°-/APP=180-60=120°,/APC=ZAPC=180°-ZAPP=180°-60=120°,/BPC=360°-/BPA-/APC=360°-120-120=120°因此，當(dāng)ABC的每一個內(nèi)角都小于120°時，所求的點P對三角形每邊的張角都是120°

3、,可在AB、BC邊上分別作120°的弓形弧，兩弧在三角形內(nèi)的交點就是P點；當(dāng)有一內(nèi)角大于或等于120。時，所求的P點就是鈍角的頂點.費爾馬問題告訴我們，存在這么一個點到三個定點的距離的和最小，解決問題的方法是運用旋轉(zhuǎn)變換.本文列舉近年“費馬點”走進中考試卷的實例，供同學(xué)們學(xué)習(xí)參考.例1（2008年廣東中考題）已知正方形ABCD內(nèi)一動點E至ijA、B、C三點的距離之和的最小值為,2,6,求此正方形的邊長.圖2圖3分析：連接AC,發(fā)現(xiàn)點E到A、B、C三點的距離之和就是到ABC三個頂點的距離之和，這實際是費爾馬問題的變形，只是背景不同.解如圖2,連接AC,把4AEC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60&#

4、176;,得到GFC,連接EFBG、AG,可知EFC4AGC都是等邊三角形，則EF=CE又FG=AE,AE+BE+CE=BE+EF+FG（圖4）.,點B、點G為定點（G為點A繞C點順時針旋轉(zhuǎn)60°所得）.線段BG即為點E到A、B、C三點的距離之和的最小值，此時E、F兩點都在BG上（圖3）.設(shè)正方形的邊長為a,那么BO=CO=,2a2GC=V2a, GO= a .'.-：2'6BG=BGGO=a+a點E到A、B、C三點的距離之和的最小值為a+'.2注本題旋轉(zhuǎn)AERBEC也都可以，但都必須繞著定點旋轉(zhuǎn)，讀者不妨一試.例2（2009年北京中考題）如圖4,在平面直角坐

5、標(biāo)系xOy中，ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A6,0,B6,0,C0,45/3,延長AC到點D,使CD=1AC,過點D作DE2/AB交BC的延長線于點E.（1）求D點的坐標(biāo);（2）作C點關(guān)于直線DE的對稱點F,分別連結(jié)DF、EF,若過B點的直線ykxb將四邊形CDFE分成周長相等的兩個四邊形，確定此直線的解析式；（3）設(shè)G為y軸上一點，點P從直線ykxb與y軸的交點出發(fā)，先沿y軸到達G點，再沿GA到達A點，若P點在y軸上運動的速度是它在直線GA上運動速度的2倍，試確定G點的位置，使P點按照上述要求到達A點所用的時間最短.分析和解：（1）D點的坐標(biāo)（3,6J3）（過程略）.（2）直線BM的解析式為y

6、J3x6J3（過程略）.圖4（3）如何確定點G的位置是本題的難點也是關(guān)健所在.設(shè)Q點為y軸上一點，P在y軸上運動的速度為v,則P沿M-Q-A運動的時間為MQ-AQ,使P點到達A點所用的2vv1時間最短，就是aMQ+AQ最小，或MQ+2AQ最小.解法1BQ=AQ,MQ+2AQ最小就是MQ+AQ+BQ最小，就是在直線MO上找點G使他到A、BM三點的距離和最小.至此，再次發(fā)現(xiàn)這又是一個費爾馬問題的變形，注意到題目中等邊三角形的信息，考慮作旋轉(zhuǎn)變換.把4MQB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°,得到M'Q'B,連接QQ'、MM'（圖5）,可知QQ'B、AMMB都是

7、等邊三角形，則QQ=BQ.又M'Q'=MQ,MQ+AQ+BQ=MQ+QQ'+AQ.點A、M為定點，所以當(dāng)Q、Q兩點在線段AM上時，MQ+AQ+BQ最小.由條件1可證明Q點總在AM上，所以AM與OM的交點就是所要的G點（圖6）.可證OG=MG.2圖5圖6圖7解法2考慮1MQ+AQ最小，過Q作BM的垂線交BM于K,由OB=6,OM=673,21可得/BMO=30,所以QK=MQ21要使一MQ+AQ最小，只需使AQ+QK最小，根據(jù)“垂線段最短”，可推出當(dāng)點A、Q、2K在一條直線上時，AQ+QK最小，并且此時的QK垂直于BM,此時的點Q即為所求的點G（圖7）.過A點作AH

8、77;BM于H,則AH與y軸的交點為所求的G點.由OB=6,OM=6j3,可得/OBM=60°,.BAH=30°在RtAOAG中,OG=AOtan/BAH=2百.G點的坐標(biāo)為（0,2J3）（G點為線段OC的中點）.例3(2009年湖州中考題)若點P為ABC所在平面上一點，且/APB=/BPC=/CPA=120：則點P叫做ABC的費馬點.(1)若P為銳角ABC的費馬點，且/ABC=60°,PA=3,PC=4,則PB的值為(2)如圖8,在銳角ABC的外側(cè)作等邊ACB；連結(jié)BB'.求證：BB'過ABC的費馬點P,且BB=PA+PB+PC.圖8解：(1)利

9、用相似三角形可求PB的值為2，3.(2)設(shè)點P為銳角ABC的費馬點,即/APB=ZBPC=ZCPA=120°如圖8,把ACP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°到B'CE,連結(jié)PE,則4EPC為正三角形. ./BEC=/APC=120；/PEO60°BEC+ZPEG=180°即P、E、B'三點在同一直線上 /BPO120：/CPE=60°, ./BPC+ZCPE=180；即B、P、E三點在同一直線上B、P、EB'四點在同一直線上，即BB'過4ABC的費馬點P.又PE=PC,BE=PA,BB=EB'+PB+PE=PA+PbPC.注通過旋轉(zhuǎn)變換，可以改變線段的位置，優(yōu)化圖形的結(jié)構(gòu)在使用這一方法解題時需注意圖形旋轉(zhuǎn)變換的