高中數學錯因正解匯總導數及其應用

1、 導數及其應用-導數及其運算一、知識導學1.瞬時變化率：設函數在附近有定義，當自變量在附近改變量為時，函數值相應地改變，如果當趨近于0時，平均變化率趨近于一個常數c（也就是說平均變化率與某個常數c的差的絕對值越來越小，可以小于任意小的正數），那么常數c稱為函數在點的瞬時變化率。2.導數：當趨近于零時，趨近于常數c?？捎梅枴啊庇涀鳎寒敃r，或記作，符號“”讀作“趨近于”。函數在的瞬時變化率，通常稱作在處的導數，并記作。3.導函數：如果在開區(qū)間內每一點都是可導的，則稱在區(qū)間可導。這樣，對開區(qū)間內每個值，都對應一個確定的導數。于是，在區(qū)間內，構成一個新的函數，我們把這個函數稱為函數的導函數。記為或（

2、或）。4.導數的四則運算法則：1）函數和（或差）的求導法則：設，是可導的，則即，兩個函數的和（或差）的導數，等于這兩個函數的導數的和（或差）。2）函數積的求導法則：設，是可導的，則即，兩個函數的積的導數，等于第一個函數的導數乘上第二個函數，加上第一個函數乘第二個函數的導數。3）函數的商的求導法則：設，是可導的，則5.復合函數的導數:設函數在點處有導數,函數在點的對應點處有導數,則復合函數在點處有導數,且.6.幾種常見函數的導數： (1) (2)(3) (4) (5) (6) (7) (8) 二、疑難知識 1.導數的實質是函數值相對于自變量的變化率2.運用復合函數的求導法則,應注意以下幾點（1）

3、利用復合函數求導法則求導后,要把中間變量換成自變量的函數,層層求導.(2) 要分清每一步的求導是哪個變量對哪個變量求導，不能混淆，一直計算到最后，常出現如下錯誤，如實際上應是。(3) 求復合函數的導數，關鍵在于分清楚函數的復合關系，選好中間變量，如選成，計算起來就復雜了。3.導數的幾何意義與物理意義導數的幾何意義，通常指曲線的切線斜率.導數的物理意義，通常是指物體運動的瞬時速度。對導數的幾何意義與物理意義的理解，有助于對抽象的導數定義的認識，應給予足夠的重視。4. 表示處的導數，即是函數在某一點的導數；表示函數在某給定區(qū)間內的導函數，此時是在上的函數，即是在內任一點的導數。5.導數與連續(xù)的關系

4、若函數在處可導，則此函數在點處連續(xù)，但逆命題不成立，即函數在點處連續(xù)，未必在點可導，也就是說，連續(xù)性是函數具有可導性的必要條件，而不是充分條件。6.可以利用導數求曲線的切線方程由于函數在處的導數，表示曲線在點處切線的斜率，因此，曲線在點處的切線方程可如下求得：（1）求出函數在點處的導數，即曲線在點處切線的斜率。（2）在已知切點坐標和切線斜率的條件下，求得切線方程為：，如果曲線在點的切線平行于軸（此時導數不存在）時，由切線定義可知，切線方程為.三、經典例題例1已知,則 .錯因：復合函數求導數計算不熟練,其與系數不一樣也是一個復合的過程,有的同學忽視了,導致錯解為:.正解：設,則.例2已知函數判斷

5、f(x)在x=1處是否可導？錯解：。分析： 分段函數在“分界點”處的導數，須根據定義來判斷是否可導 . 解： f(x)在x=1處不可導.注：，指逐漸減小趨近于0；，指逐漸增大趨近于0。點評：函數在某一點的導數，是一個極限值，即，x0，包括x0，與x0，因此，在判定分段函數在“分界點”處的導數是否存在時，要驗證其左、右極限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定這點存在導數，否則不存在導數.例3求在點和處的切線方程。錯因：直接將，看作曲線上的點用導數求解。分析：點在函數的曲線上，因此過點的切線的斜率就是在處的函數值；點不在函數曲線上，因此不能夠直接用導數求值，要通過設切點的方法求切線解：即過點

6、的切線的斜率為4，故切線為：設過點的切線的切點為，則切線的斜率為，又，故，。即切線的斜率為4或12，從而過點的切線為：點評： 要注意所給的點是否是切點若是，可以直接采用求導數的方法求；不是則需設出切點坐標例4求證：函數圖象上的各點處切線的斜率小于1，并求出其斜率為0的切線方程.分析： 由導數的幾何意義知，要證函數的圖象上各點處切線的斜率都小于1，只要證它的導函數的函數值都小于1，因此，應先對函數求導后，再進行論證與求解. 解：（1），即對函數定義域內的任一，其導數值都小于，于是由導數的幾何意義可知，函數圖象上各點處切線的斜率都小于1.（2）令，得，當時，；當時，曲線的斜率為0的切線有兩條，其切

7、點分別為與，切線方程分別為或。點評： 在已知曲線 切線斜率為的情況下，要求其切線方程，需要求出切點，而切點的橫坐標就是的導數值為時的解，即方程的解，將方程的解代入就可得切點的縱坐標，求出了切點坐標即可寫出切線方程，要注意的是方程有多少個相異實根，則所求的切線就有多少條. 例5（02年高考試題）已知，函數，設，記曲線在點處的切線為 . （1）求 的方程； （2）設 與 軸交點為，求證： ；若，則分析：本題考查導數的幾何意義，利用其求出切線斜率，導出切線方程 . 解：（1） 切線的方程為即.（2）依題意，切線方程中令y=0得， 由知，例6求拋物線 上的點到直線的最短距離. 分析：可設 為拋物線上任

8、意一點，則可把點到直線的距離表示為自變量的函數，然后求函數最小值即可，另外，也可把直線向靠近拋物線方向平移，當直線與拋物線相切時的切點到直線的距離即為本題所求. 解：根據題意可知，與直線 xy2=0平行的拋物線y=x2的切線對應的切點到直線xy2=0的距離最短，設切點坐標為（），那么, 切點坐標為，切點到直線xy2=0的距離， 拋物線上的點到直線的最短距離為.四、典型習題1.函數在處不可導，則過點處，曲線的切線 （ ） A必不存在B必定存在 C必與x軸垂直 D不同于上面結論2.在點x=3處的導數是_.3.已知，若，則的值為_.4.已知P（1，1），Q（2，4）是曲線上的兩點，則與直線平行的曲線

9、的切線方程是 _. 5.如果曲線的某一切線與直線平行，求切點坐標與切線方程.6若過兩拋物線和的一個交點為P的兩條切線互相垂直.求證：拋物線過定點，并求出定點的坐標.§10.2導數的應用一、 知識導學1.可導函數的極值（1）極值的概念設函數在點附近有定義，且若對附近的所有的點都有（或），則稱為函數的一個極大（?。┲担Q為極大（?。┲迭c.（2）求可導函數極值的步驟:求導數。求方程的根.求方程的根.檢驗在方程的根的左右的符號，如果在根的左側附近為正，右側附近為負，那么函數在這個根處取得極大值；如果在根的右側附近為正，左側附近為負，那么函數在這個根處取得極小值.2.函數的最大值和最小值（1）

10、設是定義在區(qū)間上的函數，在內有導數，求函數在上的最大值與最小值，可分兩步進行.求在內的極值.將在各極值點的極值與、比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.（2）若函數在上單調增加，則為函數的最小值，為函數的最大值；若函數在上單調遞減，則為函數的最大值，為函數的最小值.二、疑難知識1.在求可導函數的極值時，應注意：（以下將導函數取值為0的點稱為函數的駐點可導函數的極值點一定是它的駐點，注意一定要是可導函數。例如函數在點處有極小值=0，可是這里的根本不存在，所以點不是的駐點.(1) 可導函數的駐點可能是它的極值點，也可能不是極值點。例如函數的導數，在點處有，即點是的駐點，但從在上為增函數

11、可知，點不是的極值點.(2) 求一個可導函數的極值時，常常把駐點附近的函數值的討論情況列成表格，這樣可使函數在各單調區(qū)間的增減情況一目了然.(3) 在求實際問題中的最大值和最小值時，一般是先找出自變量、因變量，建立函數關系式，并確定其定義域.如果定義域是一個開區(qū)間，函數在定義域內可導（其實只要是初等函數，它在自己的定義域內必然可導），并且按常理分析，此函數在這一開區(qū)間內應該有最大（?。┲担ㄈ绻x域是閉區(qū)間，那么只要函數在此閉區(qū)間上連續(xù)，它就一定有最大（小）.記住這個定理很有好處），然后通過對函數求導，發(fā)現定義域內只有一個駐點，那么立即可以斷定在這個駐點處的函數值就是最大（?。┲怠Ｖ肋@一點是

12、非常重要的，因為它在應用上較為簡便，省去了討論駐點是否為極值點，求函數在端點處的值，以及同函數在極值點處的值進行比較等步驟.2.極大（小）值與最大（?。┲档膮^(qū)別與聯系極值是局部性概念，最大（小）值可以看作整體性概念，因而在一般情況下，兩者是有區(qū)別的.極大（?。┲挡灰欢ㄊ亲畲螅ㄐ。┲?，最大（?。┲狄膊灰欢ㄊ菢O大（?。┲?，但如果連續(xù)函數在區(qū)間內只有一個極值，那么極大值就是最大值，極小值就是最小值.三、經典例題例1已知曲線及點，求過點的曲線的切線方程.錯解：，過點的切線斜率，過點的曲線的切線方程為.錯因：曲線在某點處的切線斜率是該曲線對應的函數在該點處的導數值，這是導數的幾何意義.在此題中，點湊巧在

13、曲線上，求過點的切線方程，卻并非說切點就是點，上述解法對求過點的切線方程和求曲線在點處的切線方程，認識不到位，發(fā)生了混淆.正解：設過點的切線與曲線切于點，則過點的曲線的切線斜率，又，。點在曲線上，代入得化簡，得，或.若，則，過點的切線方程為；若，則，過點的切線方程為過點的曲線的切線方程為或例2已知函數在上是減函數，求的取值范圍.錯解：在上是減函數，在上恒成立，對一切恒成立，即，.正解:，在上是減函數，在上恒成立，且，即且，.例3當 ，證明不等式.證明：，則，當時。在內是增函數，即，又，當時，在內是減函數，即，因此，當時，不等式成立.點評：由題意構造出兩個函數，.利用導數求函數的單調區(qū)間，從而導

14、出及是解決本題的關鍵.例4設工廠到鐵路線的垂直距離為20km,垂足為B.鐵路線上距離B為100km處有一原料供應站C,現要在鐵路BC之間某處D修建一個原料中轉車站,再由車站D向工廠修一條公路.如果已知每千米的鐵路運費與公路運費之比為3:5,那么,D應選在何處,才能使原料供應站C運貨到工廠A所需運費最省?解 ： 設BD之間的距離為km,則|AD|=,|CD|=.如果公路運費為元/km,那么鐵路運費為元/km.故從原料供應站C途經中轉站D到工廠A所需總運費為:+,().對該式求導,得=+=,令,即得25=9(),解之得=15,=-15(不符合實際意義,舍去).且=15是函數在定義域內的唯一駐點,所

15、以=15是函數的極小值點,而且也是函數的最小值點.由此可知,車站D建于B,C之間并且與B相距15km處時,運費最省.點評： 這是一道實際生活中的優(yōu)化問題,建立的目標函數是一個復合函數,用過去的知識求其最值往往沒有一般方法,即使能求出,也要涉及到較高的技能技巧.而運用導數知識,求復合函數的最值就變得非常簡單.一般情況下,對于實際生活中的優(yōu)化問題,如果其目標函數為高次多項式函數、簡單的分式函數簡單的無理函數、簡單的指數、對數函數,或它們的復合函數,均可用導數法求其最值.由此也可見,導數的引入,大大拓寬了中學數學知識在實際優(yōu)化問題中的應用空間.例5函數，其中是的導函數.（1）對滿足11的一切的值，都

16、有0，求實數的取值范圍；（2）設，當實數在什么范圍內變化時，函數的圖象與直線3只有一個公共點.解：（1）由題意 令，對，恒有，即 即解得故時，對滿足11的一切的值，都有.（2）當時，的圖象與直線只有一個公共點當時，列表： 極大極小又的值域是，且在上單調遞增當時函數的圖象與直線只有一個公共點.當時，恒有由題意得即解得綜上，的取值范圍是. 例6若電燈B可在桌面上一點O的垂線上移動，桌面上有與點O距離為的另一點A，問電燈與點0的距離怎樣，可使點A處有最大的照度？（照度與成正比，與成反比）分析：如圖，由光學知識，照度與成正比，與成反比，即（是與燈光強度有關的常數）要想點處有最大的照度，只需求的極值就可

17、以了.解：設到的距離為，則，于是，.當時，即方程的根為（舍）與，在我們討論的半閉區(qū)間內，所以函數在點取極大值，也是最大值。即當電燈與點距離為時，點的照度為最大. （0，）+-點評：在有關極值應用的問題中，絕大多數在所討論的區(qū)間上函數只有一點使得=0且在該點兩側，的符號各異，一般稱為單峰問題，此時，該點就是極值點，也是最大（小）值點.四、典型習題1已知函數，若是的一個極值點，則值為 （ ）A2 B.-2 C. D.42.已知函數在處有極值為10，則= .3給出下列三對函數：， ，；其中有且只有一對函數“既互為反函數，又同是各自定義域上的遞增函數”，則這樣的兩個函數的導函數分別是 ， .4已知函數

18、有極大值和極小值，求的取值范圍.5已知拋物線，過其上一點引拋物線的切線，使與兩坐標軸在第一象限圍成的三角形的面積最小，求的方程.6設在上的最大值為，（1）求的表達式；（2）求的最大值.§10.3定積分與微積分基本定理一、知識導學1可微：若函數在的增量可以表示為的線性函數（是常數）與較高階的無窮小量之和:（1）,則稱函數在點可微，（1）中的稱為函數在點的微分，記作或.函數在點可微的充要條件是函數在可導，這時（1）式中的等于.若函數在區(qū)間上每點都可微，則稱為上的可微函數.函數在上的微分記作.2微積分基本定理：如果，且在上可積.則.其中叫做的一個原函數.由于，也是的原函數，其中為常數.二、

19、疑難知識1 .定積分的定義過程包括“分割、近似求和、取極限”這幾個步驟，這里包含著很重要的數學思想方法，只有對定積分的定義過程了解了，才能掌握定積分的應用.1）一般情況下，對于區(qū)間的分割是任意的，只要求分割的小區(qū)間的長度的最大者趨近于0，這樣所有的小區(qū)間的長度才能都趨近于0，但有的時候為了解題的方便，我們選擇將區(qū)間等份成份，這樣只要2其中的使就可以了.2）對每個小區(qū)間內的選取也是任意的，在解題中也可選取區(qū)間的左端點或是右端點.3）求極限的時候，不是，而是.2在微積分基本定理中，原函數不是唯一的，但我們只要選取其中的一個就可以了，一般情況下選那個不帶常數的。因為.3利用定積分來求面積時，特別是位于軸兩側的圖形的面積的計算，分兩部分進行計算，然后求兩部分的代數和.三 、經典例題例1求曲線與軸在區(qū)間上所圍成陰影部分的面積S.錯解：分兩部分，在，在，因此所求面積為 2+（-2）=0。分析：面積應為各部分積分的代數和，也就是第二部分的積分不是陰影部分的面積，而是面積的相反數。所以不應該將兩部分直接相加。正解：例2用微積分基本定理證明（）分析：即尋找的原函數代入進行運算。解；設，則= =由微積分基本定理