高三第一輪復(fù)習(xí)理科數(shù)學(xué)等比數(shù)列

1、 等比數(shù)列考綱要求1.理解等比數(shù)列的概念；2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式；3.能在具體的問(wèn)題情境中，識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題；4.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。命題規(guī)律等比數(shù)列與等差數(shù)列同樣在高考中占有重要的地位，是高考出題的重點(diǎn)?？陀^性的試題考查等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、求和公式等基礎(chǔ)知識(shí)和基本性質(zhì)的靈活應(yīng)用，對(duì)基本的運(yùn)算要求比較高，解答題大多以數(shù)列知識(shí)為工具。（1）題型以等比數(shù)列的公式、性質(zhì)的靈活應(yīng)用為主的1至2道客觀題目；（2）關(guān)于等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題或知識(shí)交匯題的解答題也是重點(diǎn)；（3）解決問(wèn)題時(shí)注意數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，象通過(guò)逆推思想、函數(shù)與方程、歸納

2、猜想、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論等，它將能靈活考察考生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力?？键c(diǎn)解讀考點(diǎn)1 等比數(shù)列的概念（1）定義：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè) 數(shù)列就叫做等比數(shù)列。數(shù)列為等比數(shù)列（常數(shù)）（2）注意：等比數(shù)列中任一項(xiàng)均不為零（3）引申：等比數(shù)列中，數(shù)列也成等比數(shù)列；，也成等比數(shù)列；，也成等比數(shù)列。考點(diǎn)2 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式（1）通項(xiàng)公式：（2）推導(dǎo)方法：歸納法，迭代法，累乘法（3）圖像：曲線圖像上的點(diǎn)列，（4）單調(diào)性：若或時(shí)，則數(shù)列為遞增數(shù)列， 若或時(shí)，則數(shù)列為遞減數(shù)列，若時(shí)，則數(shù)列為常數(shù)列，若時(shí)，則數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列（5）引申：，變式考點(diǎn)3 等比

3、中項(xiàng)（1）概念：如果成等比數(shù)列，那么就叫做與的等比中項(xiàng)，也就是 （2）注意：就兩實(shí)數(shù)而言，只有同號(hào)的兩數(shù)才有等比中項(xiàng)且等比中項(xiàng)有兩個(gè)，互為相反數(shù)（3）引申：在等比數(shù)列中，若，則； 若， ，則考點(diǎn)4 等比數(shù)列的前項(xiàng)和（1） 前項(xiàng)和公式： 注意：此公式隱含分類(lèi)討論，運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式時(shí)須對(duì)公比和進(jìn)行討論（2）公式推導(dǎo)方法：錯(cuò)位相減法（3）引申：在等比數(shù)列中，；項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，則考點(diǎn)5 證明數(shù)列為等比數(shù)列的方法(1)定義法:若(2)等比中項(xiàng)法:若(3)通項(xiàng)法:若 (4)前n項(xiàng)和法:若考點(diǎn)突破考點(diǎn)1 關(guān)于基本量的計(jì)算典例1 數(shù)列為等比數(shù)列,求下列各值,(1)已知(2) (3) 解題思路 運(yùn)用等比數(shù)列

4、的基本公式和基本性質(zhì)”知三求二”問(wèn)題。解題過(guò)程 解(1)(2) (3) 易錯(cuò)點(diǎn)撥 轉(zhuǎn)化成基本量解方程是解決數(shù)列問(wèn)題的基本方法。變式1 已知等比數(shù)列中，,求點(diǎn)撥 利用等比數(shù)列的基本量、,根據(jù)條件求出和.答案 或.變式2 設(shè)一個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為,公比為,其前項(xiàng)和為80,而其中最大的 一 項(xiàng)為54,又其前項(xiàng)和是6560,求和.點(diǎn)撥 運(yùn)算等比數(shù)列的求和公式及整體代換思想和分類(lèi)討論思想答案 ，考點(diǎn)2 關(guān)于等比數(shù)列的證明典例1 已知數(shù)列,是它的前項(xiàng)和,且(1)設(shè),求證:數(shù)列是等比數(shù)列(2)設(shè),求證:數(shù)列是等差數(shù)列解題思路 證明數(shù)列是等差數(shù)列還是等比數(shù)列.應(yīng)緊扣定義式;而數(shù)列的前項(xiàng)和已知可求解題過(guò)程 解:(

5、1) ,由此可得是等比數(shù)列且首項(xiàng) (2)可知是首項(xiàng)的等差數(shù)列,易錯(cuò)點(diǎn)撥 為等比數(shù)列是的充分但不必要條件. 若證不是等比數(shù)列,只需證(為常數(shù),且). 變式1 已知數(shù)列和滿足：，其中為實(shí)數(shù)，. 對(duì)任意實(shí)數(shù)，證明數(shù)列不是等比數(shù)列； 試判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論.點(diǎn)撥 證明數(shù)列不是等比數(shù)列，只需舉一個(gè)反例；證明數(shù)列是等比數(shù)列， 常用：定義法；中項(xiàng)法.答案 證明：假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使是等比數(shù)列，則有，即矛盾.所以不是等比數(shù)列. 解：因?yàn)?又，所以當(dāng)，此時(shí)不是等比數(shù)列；當(dāng)時(shí)，由上可知，此時(shí)是等比數(shù)列.考點(diǎn)3 等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用典例1 已知為等比數(shù)列前項(xiàng)和，則 解題思路 結(jié)合題意考慮利用等比數(shù)列

6、前項(xiàng)和的性質(zhì)求解. 解題過(guò)程 解是等比數(shù)列，為等比數(shù)列， .易錯(cuò)點(diǎn)撥 項(xiàng)求項(xiàng)問(wèn)題，先考慮利用等比數(shù)列的性質(zhì)，再考慮基本量法.變式1 在等差數(shù)列中，若，則有等式成立.類(lèi)比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列中，若，則有等式 成立。點(diǎn)撥 等比數(shù)列中，若， ，則答案 變式2 若為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，則的值為（ ）A. B. C. D. 點(diǎn)撥 ，答案 綜合突破突破 等比數(shù)列與其它知識(shí)的綜合典例1 設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知 (1)證明：當(dāng)時(shí)，是等比數(shù)列； (2)求的通項(xiàng)公式解題思路 由遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，主要利用：，同時(shí)注意分類(lèi)討論思想.解題過(guò)程 解：由題意知，且 ， 兩式相減，得，即 當(dāng)時(shí)，由知

7、于是 又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列。 當(dāng)時(shí)，由（）知，即 當(dāng)時(shí)，由得 因此 得 易錯(cuò)點(diǎn)撥 退一相減是解決含有的遞推公式的重要手段，使其轉(zhuǎn)化為不含的遞推公式，從而針對(duì)性的解決；在由遞推公式求通項(xiàng)公式時(shí)，重視首項(xiàng)是否可以吸收是易錯(cuò)點(diǎn)，同時(shí)重視分類(lèi)討論，做到條理清晰是關(guān)鍵. 典例2 設(shè)等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，它的所有項(xiàng)的和等于偶數(shù)項(xiàng)和的4倍，且第二項(xiàng)與第四項(xiàng)的積是第3項(xiàng)與第4項(xiàng)和的9倍，問(wèn)數(shù)列的前多少項(xiàng)和最大？(lg2=0 3,lg3=0.4)解題思路 利用等比數(shù)列的基本量，先求公比，后求其它量。 解題過(guò)程 解法一 設(shè)公比為,項(xiàng)數(shù)為2m,mN*，依題意有：，化簡(jiǎn)得，設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)和為

8、，則=lga1+lga1q2+lga1qn1=lga1n·q1+2+(n1)=nlga1+n(n1)·lgq=n(2lg2+lg3)n(n1)lg3=()·n2+(2lg2+lg3)·n可見(jiàn)，當(dāng)n=時(shí)，最大，而=5,故的前5項(xiàng)和最大，解法二 接前，,于是=，數(shù)列是以lg108為首項(xiàng)，以lg為公差的等差數(shù)列，令0，得2lg2(n4)lg30，n=5.5，由于nN*,可見(jiàn)數(shù)列的前5項(xiàng)和最大。易錯(cuò)點(diǎn)撥 第一種解法利用等比數(shù)列的基本量，先求公比，后求其它量，這是解等差數(shù)列、等比數(shù)列的常用方法，其優(yōu)點(diǎn)是思路簡(jiǎn)單、實(shí)用，缺點(diǎn)是有時(shí)計(jì)算較繁；第二種解法利用等比數(shù)列的性

9、質(zhì)，與“首末項(xiàng)等距”的兩項(xiàng)積相等，這在解題中常用到?？鞓?lè)訓(xùn)練1、(2012安徽理)公比為等比數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，且，則（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 72、(2012新課標(biāo)理)已知為等比數(shù)列，則（ ） A.7 B. 5 C. -5 D. -73、在等比數(shù)列中， ，則公比的值為（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 4、 (2012福建理)已知的三邊長(zhǎng)成公比為的等比數(shù)列，則其最大角的余弦值 為_(kāi)5、(2012浙江理)設(shè)公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為若 ，則_6、已知數(shù)列是等比數(shù)列，前項(xiàng)和，則常數(shù)等于 7、設(shè)為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，則 8、(2012陜西理)設(shè)的公比不為1的等比數(shù)列，

10、其前項(xiàng)和為，且成等差 數(shù)列（1）求數(shù)列的公比；（2）證明：對(duì)任意，成等差數(shù)列提高訓(xùn)練1、在等比數(shù)列中,前項(xiàng)和為,若數(shù)列也是等比數(shù)列，則等于（ ）A B C D2、已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，=5，=10，則=（ ） A. B. 7 C. 6 D. 3、已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，=5，=10，則=（ ） A. B. 7 C. 6 D. 4、 (2012遼寧理)已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列，且，則數(shù)列 的通項(xiàng)公式= 5、等比數(shù)列的前項(xiàng)和為且，則其公比= 6、 已知是等比數(shù)列，項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，它的前項(xiàng)和是這前項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)和的4倍， 若前3項(xiàng)的積為64，則數(shù)列的前項(xiàng)和= 7、 等比數(shù)列的首項(xiàng)為，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，所有的奇數(shù)項(xiàng)之和為，所有的偶數(shù)項(xiàng)之和為， 則這個(gè)等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為 8、設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，其中。 （I）求證：是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列；（II）若，求證：，并給出等號(hào)成立的充要條件。超越訓(xùn)練1、設(shè)是任意等比數(shù)列，它的前項(xiàng)和，前項(xiàng)和與前項(xiàng)和分別為，則下列等式中恒成立的是（ ）A、B、C、D、2、 在等比